Aula1_Sil2008
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Introdução aos Conjuntos Difusos • INCERTEZA: aleatoriedade x imprecisão • CONJUNTOS CLÁSSICOS: caracterização • CONJUNTOS DIFUSOS: caracterização Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Clássicos: caracterização DEFINIÇÃO: elemento, propriedade e função característica. • CONCEITOS: cardinalidade, complemento, união e intersecção. • PROPRIEDADES DE OPERAÇÕES: involução, comutatividade, associatividade, distributividade, idempotência, absorção, identidade. • LEIS: contradição, meio excluído, Morgan • OUTRAS PROPRIEDADES: conjuntos disjuntos, partição. Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Difusos: caracterização • • • • • CONJUNTO: Difuso/Nebuloso/Fuzzy FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA NOTAÇÃO DE UM CONJUNTO DIFUSO PROPRIEDADES: α-cut, suporte, núcleo, altura, convexidade OPERAÇÕES-PADRÃO: complemento, união (t-conorma), intersecção (t-norma) • TIPOS DE CONJUNTOS DIFUSOS: ordinário e intervalovalorado. Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] IGNORÂNCIA ERRO DISTORÇÃO TIPOS DE INCERTEZA INCOMPLETUDE INCERTEZA ALEAT ORIEDADE REDES BAYESIANAS IRRELEVÂNCIA VAGUEZA / IMPRECISÃO AUSÊNCIA AMBIGUIDADE FUZZY Figura 1 . Taxinomia da Ignorância (adaptado de Bracarense, 1999*) Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] *Um enfoque segundo a teoria dos conjuntos difusos para a meta-análise, Tese, PPGEP/UFSC,1999, pags 17 e 18. INCERTEZA: aleatoriedade x imprecisão(vagueza) • Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto A” aleatoriedade : probabilidade de ocorrer o conjunto A a proposição ou é V (certamente x pertence ao conjunto A) ou é F (certamente x não pertence ao conjunto A) distinção precisa, não ambígua, entre ser membro ou não do conjunto A Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Incerteza:aleatoriedade x imprecisão • Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto A” imprecisão : grau de pertinência ao conjunto fuzzy A esta proposição NÃO necessariamente é V ou F pode ser Verdadeira somente com algum grau, o grau em que x é membro de A A é um conjunto fuzzy se seus limites não são precisos. Assim, a pertinência a um conjunto fuzzy não é uma afirmação ou negação, mas uma intensidade de pertinência. Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos: Clássicos x Difusos • Conjuntos Clássicos: • Conjuntos difusos: limites precisos limites imprecisos pertence ou não pertence grau de pertinência a transição de pertencer a expressam a transição não pertencer é brusca Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] gradual de pertencer a não pertencer representam conceitos vagos expressos em linguagem natural Conjunto A: { homem careca } • Abordagem Clássica: PROBABILIDADE de ocorrência do conjunto A: [0;1] Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] • Abordagem fuzzy: GRAU DE PERTINÊNCIA ao conjunto A: [0;1] Conjuntos Clássicos ou Crisp: definições • Definição de um conjunto crisp A: lista de seus membros: A={a1, a2, ...., an} propriedade P satisfeita pelos seus membros: A={x|P(x)} função característica A , declara que elementos do conjunto universal X são membros de A: A (x) = 1 para x A 0 para x A Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Crisp:conceitos • Cardinalidade de A: |A| é igual ao número de elementos de um conjunto finito A • Complemento relativo de A em relação ao conjunto B: B-A B-A={x| xB e xA} • Complemento absoluto de A em relação ao conjunto universal X: A Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Crisp:conceitos • União: A B AB={x| xA OU xB} • Intersecção: A B AB={x| xA E xB} Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Crisp: propriedades de operações • Involução: (Ac)c = A • *Comutatividade: AB = BA ; AB = BA • *Associatividade: (AB)C = A(BC) A(BC) = (AB)C • Distributividade: A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB) (AC) Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Crisp: propriedades de operações • *Idempotência: AA = A ; AA = A • *Absorção: A(AB)=A ; A(AB)=A • Identidade: A=A ; AX=A Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Clássicos: lattice Um sistema A = (, f1,f2,...,fn) onde o elemento é um conjunto e os outros elementos são operações definidas neste conjunto então A é denominada uma estrutura algébrica. • Uma estrutura algébrica é uma lattice se atende às seguintes propriedades: Idempotência Comutatividade Associatividade Absorção Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Crisp: leis • Lei da Contradição: AAc = • Lei do Meio Excluído: AAc = X • Leis de Morgan: Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] (AB)c = Ac Bc (AB)c = Ac Bc Conjuntos Crisp: propriedades • Conjuntos disjuntos: • Partição: A1 Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] AB = (A) = {Ai | iI , Ai A} AiAj= e Ai =A A2 A3 A4 A Conjuntos Difusos (Fuzzy): função de pertinência • Seja A um conjunto fuzzy e X um conjunto universal crisp então a função de pertinência dos elementos de X ao conjunto A é denotada por: A : X [0;1] A : X [0;1] números difusos variáveis difusas Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Números Fuzzy: exemplos de função de pertinência 1 1 2 1 Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] 2 1 2 2 Grau de Pertinência Variável Fuzzy: exemplo de função de pertinência 1 a1 Baixo 1 Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] a2 Médio Altura(cm) Alto Conjuntos Difusos: notação • Seja A um conjunto difuso e ai o grau de pertinência do elemento xi de X ao conjunto A • Sejam xi’s os elementos suporte de A • Notação: A = a1/x1 + a2/x2 + ... + an/xn A = ai/xi Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] ou A = A(x)/x x Conjuntos Difusos: conceitos básicos • • • • - cut suporte core ou núcleo altura: normal subnormal • conjunto difuso convexo Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Difusos: conceitos básicos • - cut e strong - cut : Dado um conjunto fuzzy A definido em X e um número [0; 1] um conjunto - cut é um conjunto crisp definido por A= { x| A(x) } +A= Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] { x| A(x) } strong - cut Conjuntos Difusos: propriedades -cut e strong -cut Dado um conjunto fuzzy A definido em X e o par 1 e 2 [0; 1] tal que 1 2 então: 1 A 2 A e 1+ A 2+ A (1 A 2 A) = 2 A e (1+ A 2+ A) = 2+ A (1 A 2 A) = 1 A e (1+ A 2+ A) = 1+ A Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Difusos: conceitos básicos • Suporte de A São conjuntos crisp que contém todos os elementos de X para 0+A e 1A. • Núcleo de A 1 núcleo Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] suporte Notação:S(A) ou supp(A) Conjuntos Difusos: conceitos básicos h(A) normal: se h(A) = 1 subnormal: se h(A) 1 Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] height • Altura de A: Conjuntos Difusos: operações padrão • Cardinalidade escalar: | A | |A| = A(x) xX “sigma count” Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Difusos: operações padrão • Complemento: A(x) A(x) = 1 - A(x) pontos de equilíbrio: são os elementos de X onde Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] A (x) = A(x) Conjuntos Difusos: operações-padrão Sejam dois conjuntos difusos A e B: • União : t-conormas ( AB ) x = max[ A(x), B(x)] • Intersecção: t-normas ( AB ) x = min[ A(x), B(x)] Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Convexidade: conjunto crisp • Seja A um conjunto em Rn . A é um conjunto convexo IFF para todos os pares de pontos r e s de A para todo numero real [0;1] o ponto t definido por t = r + (1-) s também está em A Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Convexidade: conjunto difuso • conjunto difuso convexo: -cut 1 0.8 Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Difusos: tipos • Ordinário: grau de pertinência a cada elemento de X pode ser associado um particular número real pode ser especificada uma função de pertinência A: X [0;1] • Intervalo-valorado: intervalo de grau de pertinência A: X [0;1] Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Conjuntos Difusos: intervalo-valorado 1 a1 2 A = { aproximadamente 2 } Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected]
