Fisica no boliche

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NRE: Londrina
Município: Londrina
Nome do Professor: Dilza da Silva Almeida e-mail: [email protected]
Escola: NRE Londrina
Fone: (043) 3371-1344
Disciplina: Física
Série: 1ª série do Ensino Médio
Conteúdo Estruturante: Movimento
Conteúdo Específico: Variação da quantidade de movimento = impulso e 2ª Lei de
Newton.
Título: A Física no Boliche
Relação interdisciplinar 1: Educação Colaborador 1: Marília Inês Martins Gomes
Física
Colaborador da disciplina do autor: Leonardo Zanoni
PROBLEMA:
A idéia de força está presente em nosso
cotidiano associada a esforço físico.
No jogo de boliche o objetivo principal do
jogador é fazer um strike, isto é, derrubar os
dez pinos de uma só vez. Para isso, ele exerce
um esforço (força) sobre a bola impulsionandoa em direção aos pinos.
EXISTIRIA UMA DIREÇÃO PRIVILEGIADA
QUE PERMITISSE A QUALQUER JOGADOR
REALIZAR UM STRIKE?
Os campeões de boliche estão constantemente buscando aperfeiçoar esse
esporte, seja por meio da alteração das características da bola, da pista ou outras
condições, a fim de melhorar o desempenho no jogo. E se divertem no jogo, pois
cada vez mais sabem a melhor forma de se fazer um strike.
Será que os campeões de boliche sabem qual Física está presente num jogo
de boliche?
O boliche é considerado um dos esportes mais antigos do mundo. As primeiras evidencias
da prática desse esporte que se tem notícia vêm de 332 a.C., no Antigo Egito, onde um
arqueólogo inglês descobriu em uma tumba de criança egípcia bolas e pinos de maneira
primitiva, mas que poderiam ser do jogo. Nos jogos Pan-Americanos, a modalidade só
teve inicio em 1991, em Havana (Cuba). (Adaptado: www.boliche.com.br/historia.htm)
O objetivo do jogo é derrubar dez pinos que ficam dispostos de maneira
triangular em uma pista de aproximadamente 19 metros de comprimento, através do
lançamento de uma bola.
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Uma partida consiste de dez jogadas (frames), e duas chances em cada uma
delas, para derrubar todos os pinos da pista. Quando os dez pinos são derrubados
em uma única jogada, o jogador marca um strike.
O jogo pode acontecer de forma
individual, equipe ou em dupla.
O que acontece com a velocidade da bola ao ser
arremessada na pista?
Podemos pensar no movimento da bola de
boliche como o rolamento de um corpo rígido sobre uma
superfície. Mas o que seria um corpo rígido?
Podemos pensar um corpo (um carro, uma bola, etc.) como formado por muitas pequenas
partes, as quais, na Física, damos o nome de partícula. Ainda, podemos pensar que as
posições relativas destas partículas permanecem fixas, mesmo quando o corpo está
submetido a forças de qualquer natureza, e desconsiderar qualquer deformação entre dois
ou mais corpos que entrem em contato, isto é, colidem entre si. Pronto, este é o modelo
de corpo rígido que adotaremos: um corpo constituído de muitas partículas que, no limite
idealizado pelos físicos, é indeformável.
Neste texto vamos estudar a translação de um corpo rígido: a bola de boliche. Na
translação, a direção de um segmento que ligue duas partículas do corpo não se altera
durante o movimento, conforme figura ao lado.
Assim, todas as partículas descrevem curvas
paralelas entre si durante o movimento e, ela tem o mesmo
deslocamento no mesmo intervalo de tempo, ou seja, elas
têm a mesma velocidade e a mesma aceleração em
qualquer instante. Definiremos aceleração mais adiante.
Adaptado de: http://www.inf.unisinos.br.
Corpo rígido em movimento de
traslação
Para a realização do boliche o jogador deverá segurar a bola pelos três furos,
os quais servem para que o jogador sustente e impulsione a bola. O dedo indicador
e médio são os que darão o impulso e o efeito à bola, o dedo polegar é o da
sustentação da bola.
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O jogador no momento do arremesso (no caso de um
destro) deve estar com a mão embaixo da bola, flexionar a
perna esquerda e, passar a direita por trás. Então, retira o
dedo polegar da bola, dá um impulso e arremessa apenas
com os outros dois dedos sem flexionar o punho. Toda essa
série de movimentos deve ser feita de maneira rápida,
questão de segundos.
No momento em que o jogador lança a bola (dá um impulso e arremessa)
algo é transferido do corpo do jogador para a bola, cujos efeitos são fazê-la entrar
em movimento e provocar uma variação na sua velocidade.
Quanto menor for a massa da bola, mais fácil movê-la. O contrário, isto é,
com uma massa maior, há mais “coisa” em movimento do que em uma bola de
massa menor, e parar mais “coisa” exige maior esforço para modificar sua
velocidade, ou seu estado de movimento. Essa coisa que é transferida de um corpo
a outro nas translações é o momentum (ou quantidade de movimento) da partícula.
Com qualquer outro corpo rígido, o momentum da bola de boliche depende da
sua massa e da sua velocidade. Dessa forma, para uma mesma bola, o momentum
muda quando muda a velocidade, aumentando quando ela aumentar e, diminuindo
quando ela diminuir.
IMPORTANTE:
Se você ainda não leu o texto “Descrição clássica dos movimentos: Momentum e
Inércia” do seu Livro Didático Público agora é hora de ler. Lá são tratados conceitos
importantes da Física e fundamentais para o entendimento deste texto.
E quanto a pergunta inicialmente colocada, existiria uma direção privilegiada
para realizar um strike? Melhor continuar a leitura do texto, você vai se
surpreender!
Atividade:
Numa situação onde um carro e um caminhão carregado movem-se com a mesma
velocidade o que você acha que é mais fácil parar ou colocar em movimento: o
carro ou o caminhão pesado?
Justifique sua resposta considerando a quantidade
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de movimento de cada um.
Então, a quantidade de movimento pode variar?
Num jogo de vôlei é comum ouvirmos comentaristas falando da impulsão dos
jogadores, inclusive como uma qualidade dos mesmos, durante os bloqueios.
Dissemos anteriormente que o jogador de boliche deve dar um impulso antes de
arremessar a bola. Nesse caso, o movimento do jogador alterou a velocidade da
bola.
Ora, se a massa do corpo não muda e a quantidade de movimento depende
também da velocidade, uma alteração na velocidade tem como conseqüência
imediata a alteração da quantidade de movimento. Por exemplo, pode ocorrer
mudança da quantidade de movimento quando uma bola de vôlei atinge o bloqueio.
Ou ainda, na defesa do pênalti, quando o goleiro impede a entrada da bola no gol.
Na Física, damos um nome para essa variação da quantidade de movimento:
ela foi batizada pelo nome de “Impulso”.
Impulso é a variação da quantidade de movimento.
A variação de velocidade de um corpo num intervalo de tempo é calculada
como a diferença de velocidade entre os dois instantes de tempo considerados t1 e t2
no intervalo. Então podemos escrever a variação da quantidade de movimento de
um corpo como:
Δ Q = m. Δ V
(eq. 1)
onde:
Δ Q =(Q
ΔV =V
2
2
- Q 1) é a variação do vetor quantidade de movimento e,
- V
1
é a variação do vetor velocidade.
Quando pelo menos um corpo que interage com outro pode se mover, pode
ser avaliada a variação da quantidade de movimento que a interação lhe provoca.
Essa interação se dá durante o tempo de contato dos corpos.
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A relação existente entre a variação da quantidade de movimento de um
objeto (Δ Q ) e o intervalo de tempo (Δt) em que ela ocorre esta associada a um
conceito físico muito importante: força (F). Embora muitos tenham estudado e
buscado as leis do movimento, este conceito foi estabelecido por Newton, através da
2ª Lei de Newton, em seu livro o Principia, da seguinte forma:
A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa, e se faz segundo
a linha reta pela qual se imprime essa força (NEWTON, 2008, p.54).
Assim, a força que faz variar a quantidade de movimento de um corpo é
igual à razão entre esta variação e o intervalo de tempo necessário para produzi-la,
e pode ser escrita matematicamente como:
F=
ΔQ
Δt
(eq. 2)
A partir da equação 2 podemos dizer que: “A variação da quantidade de
movimento de um objeto é igual ao produto da força que a provoca pelo intervalo de
tempo em que esta força é aplicada” (GREF, 1993, p.41).
Δ Q = F . Δt
(eq. 3)
Assim, de acordo com a equação 3, para uma mesma variação da quantidade
de movimento, quanto mais intensa for à força, menor será o intervalo de tempo de
aplicação da força, e vice-versa.
Considerando que o impulso é a variação da quantidade de movimento,
podemos reescrever a equação 3:
Δ Q = I = F . Δt
(eq. 4)
Onde I é o impulso exercido pela força no corpo. E, è a força que causa tal
variação.
Assim, dar um impulso em uma bola de boliche significa aplicar uma força à
bola de boliche, num determinado intervalo de tempo, arremessando-a sobre os
pinos, a fim de derrubá-los.
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Da mesma forma que a quantidade de movimento, a velocidade e a
força, o impulso é uma grandeza física vetorial, cuja direção e sentido são os
mesmos da força que o produziu. É por isso, que essas grandezas aparecem com
uma seta em cima da letra que a representa. Para que você entenda melhor sobre
vetores, no final deste texto você encontrara o item “Aprendendo sobre vetores”.
Não deixe de ler!
E agora, você já sabe responder a pergunta inicial: existiria uma direção
privilegiada para realizar um strike? Ainda não! Continue a leitura!
Dando uma nova cara para a força!
Agora vamos retornar a expressão da equação 2 que define matematicamente a
força e, combinando com a equação 1, reescrevê-la de outra forma:
F = m. {Δ V / Δt}
(eq. 5)
A expressão {Δ V / Δt} revela a taxa de variação da velocidade do corpo
{Δ V } em um intervalo de tempo {Δt} e, damos a essa taxa de variação da
velocidade o nome de aceleração, que vamos batizar pela letra a .
a
= Δ V / Δt
(eq. 6)
Combinando a equação 4 com a equação 5 obtemos a expressão, conhecida
como equação de Euler:
F = m. a
(eq. 7)
Nesta expressão a massa aparece claramente como um fator de
proporcionalidade entre a força e a taxa de variação da velocidade por unidade de
tempo, ou seja, a aceleração.
A massa que aparece na expressão
Q = m. V
ou que aparece em F =
m. {Δ V / Δt} é a medida de inércia, no sentido de que quanto maior ela for, mais
difícil será alterar a velocidade.
(GREF, 2001, p. 42)
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A equação F = m. a , explica o comportamento de um corpo sob a ação de
força resultante e nos mostra que, nesse caso, o corpo sofrerá uma aceleração, e
como força e aceleração se relacionam e são grandezas diretamente proporcionais,
se aumentarmos a força, a aceleração aumentará na mesma proporção. A partir
desta equação podemos dizer que aceleração produzida em um corpo por uma
força, é diretamente proporcional à intensidade da dessa força e inversamente
proporcional à massa do corpo.
Se tivermos uma força for constante, podemos estabelecer que a aceleração
também seja constante. Nesse caso o corpo tem iguais variações de velocidade em
intervalos de tempo iguais e o movimento do corpo é chamado de Movimento
Uniformemente Acelerado.
Unidades de quantidade de movimento, impulso, força e aceleração no
Sistema Internacional de Medidas.
No estudo dos movimentos três conceitos (ou idéias) são fundamentais:
espaço, tempo e massa. Para esses conceitos ou entidades físicas existem as
respectivas unidades: metro (m) para o espaço, segundo (s) para o tempo e,
quilograma (kg) para a massa. Todas as outras grandezas físicas têm suas unidades
que podem ser escritas como uma combinação dessas unidades e, as vezes,
recebem nomes especiais.
Definimos aceleração pela equação 6:
a
= Δ V / Δt = (m/s)/s = m/s2
Da mesma forma, definimos impulso I como a variação da quantidade de
movimento. Pela equação 1 temos:
I = Δ Q = m. Δ V = Kg.m/s
Já para a Força devemos lembrar da 2a Lei de Newton, expressa na equação
2, que nos permite escrever:
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F=
ΔQ
2
Δt = (1Kg.m/s)/s = 1kg.1m/s = 1N
A unidade de força é o newton (N). Definimos 1N, como a intensidade
(módulo) da força que atua sobre um corpo de massa (1kg) provoca neste corpo
uma aceleração de (1m/s2).
Atividade
Existem bolas de boliche de diversas massas. Suponha que você jogue, com forças
iguais, três bolas, uma de cada vez. A primeira tem massa m 1= m, a segunda m2=
m/2 e a terceira m3= 2m. Usando a equação F= m.a, e sabendo que as bolas
sofrem a mesma força, determine suas respectivas acelerações.
(Adaptado de: Vestibular PUC- 2002)
Durante a colisão da bola de boliche com os pinos, a quantidade de
movimento se altera?
Chamam-se de choque ou colisões os fenômenos em que os corpos colidem
e exercem um no outro, uma força de mesmo módulo, mas em sentido opostos em
um intervalo de tempo. Assim, durante a colisão, o momento linear é transferido de
um corpo para o outro.
E, quando uma bola de boliche se move em direção aos pinos sobre a pista
de boliche, há uma interação por meio de uma força. Após o contato físico, a bola
continua em movimento e os pinos começam a se mover. Então, se um objeto
exerce uma força em outro, e ambos pertencem ao mesmo sistema, a força será
considerada interna, e se não há força externa presente no sistema, não é possível
haver alteração na quantidade do movimento antes da interação e depois da
interação.
Durante a colisão, a quantidade de movimento total de um sistema não é
alterada pelas forças que os corpos exercem um no outro, ou melhor, a troca de
forças internas entre os corpos do sistema pode variar a quantidade de movimento
9
desses corpos, mas não consegue alterar a quantidade de movimento total do
sistema.
Segundo GREF (1993, p.44) “A quantidade de movimento de um objeto ou
sistema se conserva, se a resultante das forças que nele atuam for zero”. Esta
afirmação corresponde ao Princípio de Conservação da Quantidade de
movimento, em que qualquer sistema isolado de ações de forças externas mantémse o estado de movimento de um objeto.
Lei da Conservação da Quantidade de Movimento: “Em um sistema isolado a
quantidade de movimento total se conserva”
I = zero
Q Final = Q Inicial
(eq. 8)
O impulso das forças externas em um sistema isolado é nulo, a quantidade de
movimento inicial (antes do choque) é igual a quantidade de movimento final
(depois do choque) .
Para que serve o óleo nas pistas de boliche?
Ilustração 1: Pista de boliche: Fonte: www.wikipedia.com.br. Acesso em 25/02/08.
Antigamente os centros de boliche, usavam pistas de madeira sem nenhum
tratamento. Notou-se com o tempo que a madeira apodrecia, e rachava devido o
contato com a bola. Na década de 20, começou-se a passar verniz para proteção
das pistas. Mais tarde o verniz foi substituído pela Laca, mas os problemas de
conservação da pista continuavam e alguns anos após, aplicaram óleo de pista
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(compostos por óleo mineral e solvente), a fim de diminuir o atrito das bolas nas
pistas e as proteger por mais tempo.
A pista oficial pode ser de madeira ou sintética. E diariamente é aplicada uma
camada fina de óleo com a função de atuar como conservante das pistas, além de
proporcionar reações nas bolas de boliche.
Imprimir ou cessar o movimento de um corpo em movimento, desviar a sua
trajetória, ou mudar a sua forma, já vimos que necessita de força. Muitas forças são
exercidas entre as moléculas das superfícies dos corpos em contato direto uns com
os outros. Portanto, a força é o resultado da interação entre corpos.
A componente de uma força de contato que se opõe ao deslizamento e que
atua paralelamente à superfície de contato, recebe o nome de força de atrito. E são
denominadas forças normais quando as mesmas agem na direção perpendicular
ou normal à superfície dos objetos.
A força de atrito provém do contato e os efeitos das forças de contato entre os
corpos não depende apenas do modo em que são aplicadas à superfície (paralela
ou perpendicular), mas também da intensidade da força, do tempo de contato entre
os objetos, da superfície e das características dos objetos. No caso dos objetos
arremessados ao longo de sua superfície horizontal, o responsável pelo término do
seu movimento, ou seja, que faz com ele pare de deslizar sobre a superfície é uma
força que atua sobre a bola (o atrito).
Atividade:
Levando em consideração a equação 2, se fosse possível eliminar todo o atrito da
superfície com o qual um corpo interage, qual seria o tempo necessário para parar
um corpo?
Qual seria a conseqüência do atrito da superfície para o boliche?
Se fosse possível construir uma pista de boliche absolutamente lisa, sem
qualquer atrito, a bola em movimento seguiria em linha reta, ou seja, permaneceria em
movimento, com velocidade constante, para sempre, caso a superfície fosse infinita.
Velocidade constante: o módulo (valor numérico), a direção e o sentido da velocidade
não se modificam durante o movimento.
1
1
Atividade de pesquisa:
A tecnologia para a construção das bolas está sempre evoluindo, buscando
alcançar melhores resultados quanto ao impacto das bolas nos pinos e nas pistas.
Contribuem para esta evolução os conhecimentos físicos e químicos sobre a
natureza dos materiais utilizados. A intensidade da força de atrito depende
consideravelmente do tipo de material.
Qual das superfícies abaixo você acha que absorve mais óleo da pista de boliche:
a confeccionada em Uretano ou a confeccionada em Uretano Reativo? E como o
material da bola interfere na reação com a pista? Pesquise e responda.
Uretano Reativo
Uretano
Fonte: Adaptado www.resbowling.com.br Acesso: 16/02/08
Agora que você já aprendeu um pouco sobre o boliche e os conhecimentos
físicos envolvidos no jogo, que tal realizar a atividade a seguir. Nesta atividade com
certeza vocês compreenderão melhor o princípio de conservação da quantidade de
movimento, e que em certas condições, a quantidade de movimento de um sistema
não se altera, ou seja, conserva-se.
Atividade
Forme uma equipe e vivencie nas pistas de boliche (centros de boliche de
escolha do grupo) a aplicação de conceitos da Física Clássica, vocês se divertirão e
compreenderão ainda mais as leis físicas. Durante o jogo você e sua equipe devem
preencher o quadro colocado a seguir, bem como responder as questões 1 e 2.
Nomes
Tempo
do Tempo da bola Quantidade
de Força
Pontos
1
2
arremesso Δt na pista Δt ( s)
Movimento da bola Q Média
( s)
(Kg.m/s)
(Score)
Fm (N)
1
2
Obs.: Por uma questão de simplificação, além do atrito, despreze o movimento de
rotação da bola.
1 - Existe alguma relação entre a força média aplicada por você com as suas
pontuações (score)?
2 – Depois de lançada, a bola mantém a mesma velocidade até atingir o fim da pista?
Por quê?
E então, será que os campeões de boliche, conhecem o Princípio da
Conservação da Quantidade de Movimento?
E você conseguiu compreender como a Física está presente num jogo de
boliche? Agora, se ainda não fez, é hora de responder a pergunta inicial: existiria
uma direção privilegiada para realizar um strike?
Aprendendo sobre vetores
As grandezas físicas vetoriais necessitam além de um valor numérico,
outros parâmetros para analisá-las mais completamente. Por exemplo, numa viagem
no trecho Curitiba→São Paulo, os passageiros podem estar vindo de São Paulo
para Curitiba ou o contrário. É preciso informar não somente sobre o trajeto, mas
também, o sentido dele, ou seja, de Curitiba para São Paulo ou, de São Paulo para
Curitiba. Assim, para caracterizar o movimento realizado durante a viagem é
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necessário saber o valor das grandezas envolvidas e, também a direção e sentido
de tal movimento.
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O período pré-Cálculo
Com o avanço da Física, principalmente nos últimos séculos, alguns estudos como
os que envolvem forças, atrações elétricas, atrações magnéticas, temperatura entre outros,
passaram a ter uma nova necessidade, mas ainda faltava uma entidade que fornecesse
não só um valor numérico, mas também uma direção definida. Uma seta ou uma flecha,
por exemplo, resolveria este problema, mas, uma seta ou uma flecha com características
especiais, seu tamanho ou módulo nos daria a intensidade da força, ou da atração, e sua
orientação nos forneceria o sentido de atuação, a esta seta ou flecha com tais
características foi dado o elegante nome de vetor – Palavra derivada do latim Vectore, que
significa segmento de reta orientado Willian Rowan Hamilton (1805 – 1865) matemático,
físico e astrônomo, marcou o começo dessa terminologia, que tornou-se uso comum nos
dias de hoje em teorias físicas–. Pronto, nosso vetor já nasceu com características
próprias, ou seja, seu início pode ser um ponto qualquer no plano ou no espaço, assim
como seu fim, não importa, o fato é que este ente geométrico deve possuir módulo e
sentido. Precisamos agora escolher uma letra para indicar um vetor, que tal a letra V, para
melhorar ainda mais esta nomenclatura, coloquemos uma seta acima da letra, V , desta
maneira ficamos seguros que não haja confusão. O vetor V = 4u (quatro unidades) pode ser
representado graficamente como a figura a seguir.
Agora que já temos a definição de vetor,
vejamos um exemplo de soma vetorial. Sejam três
cidades A, B e C (figura ao lado), de forma que uma
pessoa queira ir da cidade A para a cidade C, mas antes
deverá passar pela cidade B e em seguida rumará à
cidade C, é lógico que podemos indicar a soma desses
trajetos como:
AC = AB + BC
Se as distâncias entre as cidades forem AB = 5 km, BC = 4 km a distância AC de
maneira alguma será 9 km, pois os vetores AB e BC não apontam na mesma direção.
Desta maneira tiramos nossa primeira e fundamental regra, na soma de dois vetores valem
as regras da geometria a não da Álgebra, assim na soma 4 + 5 o resultado poderá ser no
mínimo 1 (direções opostas) e no máximo 9 (direções iguais).
Utilizando o mesmo esquema, imaginemos que um navio parta da cidade A rumo à
cidade C, mas a corrente marítima nesta área possui velocidade V 2, então o navio deve
seguir sentido a cidade B com velocidade V 1 pois a corrente marítima se encarregará de
desviá-lo para a cidade C, de forma que resultante da soma dos vetores velocidades será
V R, assim podemos escrever que:
V
R
= V
1
+ V
2
Imaginemos agora um grande bloco de pedra, a ser puxado ou empurrado por sete
homens. Supondo que todos tenham a mesma força, com três opções de posicionamento,
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onde V 1 e V2 representam uma força equivalente ao número de homens e V
resultante,conforme figura colocada a seguir.
R
é a força
Na figura um bloco de pedra é empurrado por sete pessoas de três diferentes formas.
No primeiro caso, temos todos os homens puxando de um mesmo lado, então a
força ou vetor resultante será máximo V R = 7, e o bloco deslizará no sentido horizontal.
No segundo caso, três homens puxam para um lado e quatro para o outro, formando um
ângulo de 90o entre eles, então por Pitágoras tiramos que a resultante será V R = 5, e o
bloco deslizará no sentido indicado pela resultante. No terceiro caso temos três e quatro
homens puxando em sentidos totalmente opostos, então V R = 1. Fica fácil verificar que
quando dois vetores estão no mesmo sentido, a resultante atinge seu valor máximo, e
quanto maior for o ângulo entre eles (até 180o) menor o valor da resultante.
Com os vetores até mesmo as operações Matemáticas mais comuns adquirem um
significado totalmente novo, quando dois vetores são somados ou subtraídos o resultado
não é simplesmente um número, é um novo vetor.
Definição de um vetor
Um vetor V = AB é definido como sendo a diferença de dois pontos V
desta definição decorre que, seja o ponto P, então P + V = Q.
= B – A,
Sendo o vetor nulo dado por 0, então temos:
1. V + 0 = V
2. Se A + V = B + V então A = B
3. Se A + V = B + U então V = U.
A figura mostra a representação de um vetor V
Adição de vetor
Na figura a seguir, de acordo com a definição de vetor V 2 = D - A. Com os vetores
acontecem coisas interessantes: um se um vetor A tiver o mesmo módulo, a mesma
direção e o mesmo sentido de um outro vetor B, não importa onde ele está representado
1
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no espaço, o vetor A é igual ao vetor B! Dessa forma podemos escrever que V
2
= C - B.
ou
V
1
=B–A
+ V
2
=C-B
V
1
+ V
2
=C–A= V
A figura mostra a resultante V , soma dos vetores V 1
e V
2
Este procedimento pode ser estendido para a soma de qualquer número de vetores.
No caso de dois vetores é conhecido como regra do paralelogramo, pois basta montar o
paralelogramo a partir dos dois vetores para obter a resultante.
Subtração de dois vetores
A diferença de dois vetores V
mais o oposto do segundo, ou
V = V
1
1
e V
2
é definida como sendo a soma do primeiro
+ (- V 2)
Sejam os vetores:
V
1
=B–A e V
V = V
1
2
=D–A
+ (- V 2) ⇉ V = (B- A) + (A – D)
⇉ (B – D)
Representação da subtração de dois vetores.
Adaptado de: (Contador, 2007, p. 364-369)
Cálculo do vetor resultante da soma entre dois vetores:
Segundo Newton:
Um corpo, submetido a duas forças simultaneamente, descreverá a diagonal de um
paralelogramo no mesmo tempo em que ele descreveria os lados pela ação daquelas
forças separadamente (Newton, 2008, p.55).
Em outras palavras, o tempo gasto para ir de A até C é o mesmo que gasta
para ir de A até B somado ao tempo gasto para ir de C até C.
1
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Mas como encontrar o módulo do vetor resultante?
O quadro abaixo mostra como encontrar o paralelogramo ABCD, em cuja
diagonal está o vetor resultante V da soma de dois outros vetores V1 e V2.
A partir da extremidade do vetor V1 traça-se
uma paralela ao vetor V2. Repete-se o
processo traçando uma paralela ao vetor V2.
V2. O vetor resultante V tem origem em a e
extremidade em C, ponto de encontro das
duas paralelas traçadas.
α é o ângulo entre V1 e V2.
Para construir o retângulo da figura anterior prolonga-se a paralela a V2 e
traça-se uma perpendicular passando por A até encontrar o ponto C’: observe que o
triângulo ABC’ formado pelas linhas tracejadas é retângulo em C’. Da mesma forma,
prolongamos V2 e encontramos o triângulo CDA’. Observe que os dois triângulos
encontrados são semelhantes. Assim, tiramos as seguintes relações a partir da
figura:
h = h1
B – C’ = D – A’ = x
V=a
cosα = x/V1 →
senα = h/ V1 →
V=b
x = V1cosα
h = V1senα
Nosso objetivo é encontrar o módulo do vetor resultante V. Para isso vamos
utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo AC A’, retângulo em A’:
V22 = (V2 + x) 2 + h 2
(equação 1)
Resolvendo a equação 1 encontramos:
V22 = V22 + x 2 + 2V2x + h 2
(equação .2)
Agora, vamos substituir o valor de x e de h na equação 2, e encontramos:
V22 = V22 + (V1cosα)
2+
2V2(V1cosα) + (V1senα)
2
V22 = V22 + V12cosα2 + 2V2V1cosα + V12senα2
V22 = V22 + 2V2V1cosα + V12(senα2 + cosα2)
(equação 3)
1
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A expressão (senα2 + cosα2) é uma identidade trigonométrica e que vale 1, a
equação 3, finalmente, pode ser escrita como:
V22 = V12 + V22 + 2V2V1cosα ↔ equação 4: Lei dos cossenos
↓
Na Física é chamada Lei do paralelogramo
A Lei dos cossenos permite calcular o módulo do vetor resultante entre dois
outros vetores e vale para quaisquer dois vetores, ainda que eles não tenham
origem comum. (Lembre-se da definição de vetor!)
Procedimento idêntico pode ser feito para encontrar o vetor resultante da
subtração de dois vetores. Mas, essa tarefa fica para você. Que tal?
REFERÊNCIAS
CONTADOR, P. R. M. Matemática uma breve história. 2. ed. São Paulo: Editora
Livraria da Física, 2007.
LIVRO DIDÁTICA PÚBLICO – Física Ensino Médio. Curitiba: SEED-PR, 2006.
GRUPO DE REELABORAÇÃO DO ENSINO DE FÍSICA/GREF-USP, Física 1:
mecânica 3ª Edição. São Paulo: Edusp, s/d.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física v.1: mecânica, oscilações e ondas
termodinâmica. 5.ed. Rio de Janeiro:LTC,2006, p.94-95.
NEWTON, I. Principia: Princípios Matemáticos de Filosofia Natural – Livro 1 – 2.ed.
São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2008.
Obras Consultadas
LIVRO DIDÁTICO PÚBLICO – Educação Física Ensino Médio. Curitiba: SEED –
PR, 2006.
Documentos consultados on-line: www.diaadiaeducacao.pr.gov.br
http://www.bolichepinguim.com.br
www.resbowling.com.br