calculo variacional

CÁLCULO VARIACIONAL
Necessidade de solução de alguns problemas da época.
Relaciona-se com os funcionais (função de uma função).
Seja a expressão
Para cada valor de y(x), I terá um valor característico e
também não dependerá de x pois a integração é feita sobre
esta variável.
Como exemplo, seja F(y(x),x) = xy sendo os limites de
integração x1=1 e x2=2.
a) Se y = x2 então
b) Se y = x3 então I = 31/5. Portanto, I depende da função
y(x).
Diz-se que I é um funcional de y e representa-se por
I=I[y]
EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE
Questão: Para que função y(x) que passa pelos pontos P1 e P2
tem-se um I extremo(máximo ou mínimo)?
y
P2
P1
x
Para sabermos se uma função y(x) é um extremo(máximo
ou mínimo) fazemos
Onde y(x) extremo implica em dy = 0. Expandindo em
série de Taylor o 1º termo da equação acima, encontramos
Portanto, a condição de y(x) extremo é
Para os funcionais é diferente, pois I depende do tipo de
curva y(x). Seguindo o mesmo caminho anterior, temos:
a) Passamos para uma curva infinitamente próxima a
y(x), isto é, y(x) + δy
b) Procuramos a variação correspondente δI.
c) A curva correspondente y(x) será um extremo se δI=0.
y
P2
δy
dy
P1
x
x+dx
Perceba a diferença entre dy e δy. Determinar o extremo de
I, significa fazer
Expandindo o termo da 1ª integral , temos
Aplicando a condição δI=0, obtemos
Seja a função
. Neste caso,
I=I [y,y’].
Assim,
Expandindo o termo da 1ª integral e substituindo na
equação acima chegamos ao resultado
(1)
Onde o 2º termo da integral pode ser reescrito como
Fazendo
,
,
e
e integrando por partes, obtemos
O 1º termo é nulo as curvas y(x) e y(x+dx) passam pelos
pontos, isto é, δy(x2) = δy(x1) = 0.
Assim, a equação (1) se torna
Portanto, I será um extremo se δI = 0. Logo,
Esta é a equação de Euler-Lagrange.