Aulas 10-11

ALGUNS CONCEITOS DE TERMODINÂMICA
A) Durante sua evolução, ESTRELA sofre contrações e
expansões,
em pelo menos parte de suas camadas internas.
 Se forem suficientemente lentas, ≡ ≡
≡ ≡ sistema em equilíbrio a qualquer momento ►
► processo quase-estático, ou reversível
(i.é, pode ocorrer no sentido inverso)
 Processos ocorrendo corriqueiramente no interior
estelar  podem , assim, ser tratados como adiabáticos
B)  1ª lei da termodinâmica (1LT),
,
sendo
o calor absorvido pelo sistema,
a variação da
energia interna e
o trabalho realizado pelo  .
1
 2ª lei da termodinâmica (2LT),
sendo
a variação de entropia do sistema, ►
►
;
C) Calores Específicos (gases perfeitos):
▲ Algumas relações termodinâmicas p/ os gases
perfeitos:
»» de
onde agora
, com E = E(T)  ►
≡ "volume específico".
»» Introduzamos agora os
calores específicos a volume constante e a pressão constante:
2
» Pode-se mostrar que a razão dos calores específicos,
chamada de "Índice Gama", é:
 como, para um gás perfeito monoatômico,
►►
 = 5/3, que é um valor clássico da termodinâmica.
 É possível mostrar que  depende de f ≡ ,
f ≡ número de graus de liberdade da partícula, sendo
 = 1 + 2 ⁄ f , e para f = 3,

 =5⁄3
3
☺☻ Sobre a Expansão Adiabática de um Gás:
»» Da 1a. Lei da Termodinâmica (p/ massa), 
e como
com
se obtém
Como, para um gás ideal
Reif
cP e cV são ctes.,
 Integrando   T V -1 = constante
(4.16)
►► outras formas dessa equação:
PV  = cte. , P 1-  T  = cte. , T = cte.  -1
(4.17)
4
V: ESTRELAS POLITRÓPICAS
(de polis + tropos = maneiras)
»» Estuda-se a estrutura estelar  determinar
P(r,t), T(r,t), n(r,t) em função da MASSA e XYZ das 
Isto é, procura-se sistema de equações que descrevam
isso.
»» Existem modelos muito simplificados que o fazem
modelos que 
 soluções analíticas ou numéricas
muito simples:
 Esses modelos são as chamadas
estrelas politrópicas, ou politropos.
5
5.1: Variacões Politrópicas
»» P/ gás perfeito completamente
ionizado, c/ efeitos da Pr numa variação adiabática,
(5.1)
NOTA:
, sendo
 d ln P 
  dP 

  

d
ln

P
d


A

A
» Se dp/d = constante, pode-se definir:
"Variação Politrópica de índice n" como:
(5.2),
sendo n = constante
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» n é o Índice Politrópico, e as variações
de P c/  (ou outro parâmetro) ≡
"Variações Politrópicas" (copyright by R. Emdem)
»» das eqs. anteriores,
(5.3)
, e para n=cte,
 numa variação adiabática politrópica,
Casos limite:
Pg>>Pr ≡ ;
= cte.
Pg<<Pr ≡
» Da mesma forma, com relações anteriores,
(5.4)
, e
(5.5)
7
»» Ou seja, um Politropo é caracterizado pelas
relações
(n = cte.) ,
e
sendo p. ex.,
,
 d ln P 
  dP 

  

 d ln   A P  d  A
»» Utiliza-se essas relações +
+ as equações básicas da estrutura estelar 
 soluções para o objeto 
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 das três relações entre , T e P 
 casos especiais de variações politrópicas:
a)
≡
≡
≡
caso (adiabático) convectivo,
 serve também p/ gás DG não
relativístico, onde
.
b)
≡
≡
≡
≡ "modelo padrão" para o Sol
 serve também p/ gás DG relativístico,
onde
.
9
c)
≡ politropo de P = constante
{ já que, das eqs. 5.2 ou 5.5, dlnP / dln = 0
e P = K 0 }
d)
≡ politropo de  = constante
{ já que, da eq. 5.4, dln / dlnT = 0 e  = K'P 0}
e)
≡ politropo de T ≃ constante
{ já que, da eq. 5.4, com
, dlnT / dln ≃0,
ou, T = cte. }
5.2
5.5
5.4
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Comentários:
1) n = 3 corresponde a estrelas em equilíbrio
radiativo, como o Sol em sua > parte.
2) n = 3/2 corresponde a estrelas em equilíbrio
convectivo adiabático, ≡ interior completamente
convectivo, com movimentos rápidos, sem troca
de calor entre duas regiões da ;
Ex.: estrelas anãs vermelhas (dMe)
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»» A equação de Lane-Emdem:
seja a eq. do politropo:
fazendo
; como P   T ,
e
y é uma medida de T ;
as condições de contorno no centro e na
superfície das s 
e
(5.6)
é a eq. de Lane-Emdem
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5.2: Exs. de soluções da eq. de Lane-Emdem:
 1) n = 0 (densidade constante) { P, T não definidos}
 a solução da equação de Lane-Emden é
e
(fig. 6.1 de Maciel)
y'0
» seja uma  com


e
;
e
e
do Sol , e
= constante
13
 2) n = 1:
 a solução da equação de Lane-Emden é
(fig. 6.2, Maciel's)

e

e
com
e
;
p/ essa solução,
ou,
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 3) n = 3: "MODELO PADRÃO" (
,
)
(Eddington, 1925  s em equilíbrio radiativo)
 a solução da equação de Lane-Emden está
na fig. 6.3 e na Tab. 6.2 (Maciel's).

Com

(modelo preciso do Sol:
≃ 150 g/cm3,
Pc ≃ 3 x 1017 din/cm2 , Tc ≃ 1,6 x 107 
(fig. 6.3)
 nc > 3 )
15
»» Modelo Padrão: variação de
(
≡
:
)  Tab. 6.3 + figs.
16
mod. solar padrão de Lang (92)
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5.3: A Massa Limite de Chandrasekhar (Anãs Brancas)
É a massa limite que pode suportar a pressão
de elétrons degenerados relativísticos;
Pode ser obtida a partir da fronteira entre:
um gás de e- relativísticos no centro da AB (n=3, P  4/3)
e um gás de e- não-relativísticos nas partes externas 

(n= 3/2, P  5/3):
7 x 106 g/cm3
(AB de He :
)
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»» Ex. de comportamento
bizarro da matéria DG:
M  R-n :
(DG Ñ relativístico) ;


; do eq. hidrostático,
≡

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Exercício:
a) aplique a solução de um politropo de n=3 a uma estrela
com a massa designada para cada um, deduzindo o raio
da relação massa-raio para a SP. Obtenha os valores
centrais de densidade, pressão e temperatura, e as
variações dessas quantidades com a posição na estrela;
b) Um modelo para o interior de uma estrela com núcleo
convectivo e envelope radiativo mostra que P = 7x1016
din/cm2 para r =4x1010 cm, e P = 1x1015 din/cm2 para
r =6x1010 cm. Compare esse modelo com seus resultados.
Compare e comente seus resultados com aqueles de
massas proximas da sua.
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4.2: Expansão Adiabática de um Gás:
»» Da 1LT (p/ unidade de massa) ►
e como
com
se obtém
Como, para um gás ideal
Reif
cP e cV são ctes.,
 Integrando   T V -1 = constante
(4.16)
►► outras formas dessa equação:
PV  = cte. , P 1-  T  = cte. , T = cte.  -1
(4.17)
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»» em termos das variações adiabáticas dos parâmetros,
podemos escrever:
(4.18)
e
(4.19)
variações adiabáticas num gás perfeito não degenerado.
»» O Gradiente Adiabático é uma grandeza que aparece
amiúde no interior das s :
Entropia constante
(4.20)
Para um gás perfeito (eq. 4.18),
.
(4.21)
.
»» Ex.: gás perfeito monotômico ►
►
 = 5/3 e
= 2/5
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4.4: Efeito da Pressão de Radiação
»» s + massivas
: Pr pode ser importante → Pg .
 Examinemos a expansão adiabática de um gás
ideal, não DG e monoatômico, levando em conta Pr :
(4.21)
Ptotal
A energia interna ≡ energia cinética do gás:

e,
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» Por outro lado, da 1ªLT,
e das eqs. anteriores,
Como a expansão é adiabática,
(4.22)
, onde
,
e
Analogamente,
(4.23) .
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»» Por analogia com o gás de partículas,
 ► define-se
os
Expoentes Adiabáticos de Chandrasekhar,
de modo a conservar a forma das eqs.:
(4.24)
(4.25)
,
(4.25)
; das relações acima obtém-se:
(4.26)
»» E quanto vale
e
.
para um gás com patclas. + radiação?
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 da definição do gradiente,

e de
(4.27)
»» Outras relações que podem ser obtidas para os  :
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»» Exs. Práticos de valores dos  e
: (
)
≡ ≡ gás de partículas, sem radiação;
≡ ≡ gás só de fótons

= 5/3

= 5/3
»» Finalmente, Gradientes de T, P e  podem ser deduzidos
das eqs. dT/T... e dP/P...: exs.,
Euler
Lagr.
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