NOME: Fábio Ferreira De Souza Junior Hipérbole A hipérbole é

NOME: Fábio Ferreira De Souza Junior
Hipérbole
A hipérbole é definida como uma seção de um cone. Vamos imaginar então um cone de luz gerado
por uma fonte qualquer. Se posicionarmos um anel paralelamente ao plano de incidência da luz,
obteremos uma sombra com um formato circular. Ao posicionarmos este anel com um pequeno grau
de inclinação, a figura obtida será uma elipse. Se posicionarmos metade deste anel inclinado fora do
cone de luz, a sombra formará uma parábola, e quando o anel estiver perpendicular ao cone de luz,
com um pouco de imaginação você verá um dos ramos de uma hipérbole sendo projetado dentro do
anteparo onde a luz esta sendo refletida. A hipérbole é definida como sendo o lugar geométrico de
um ponto P que se move de modo a manter constante a diferença de suas distâncias a dois pontos
fixos f e f’ denominados focos. A convenção é denominar esta constante de 2a, onde a é um número
positivo. Outra característica da hipérbole é que ela é formada por dois ramos, ramos os quais são
respectivamente descritos por Pf-Pf’=2a e Pf’-Pf=2a. Através destas duas relações, podemos então
obter que a equação da hipérbole completa é descrita por Pf’-PF=+2a. A equação da hipérbole pode
ser facilmente determinada se posicionarmos os dois focos sobre o eixo x e considerarmos que o eixo
y é a mediatriz deste segmento ff’. Vamos chamar a distância entre os focos de 2c. Desta forma,
temos que f=(c,0) e f’=(-c,0). Seguindo com o raciocínio chegamos a
. Isolando o primeiro e depois o segundo membro da equação,
obtemos as fórmulas de raio focal dadas por Pf’=
Pf=
e
. Elevando uma destas equações ao quadrado e simplificando,
obtemos
, o que corresponde a
. Para simplificar ainda
mais esta equação, vamos pensar no triângulo formado por Pff’. Temos então que Pf’ é menor do que
Pf + ff’, pois um lado de um triângulo é sempre menor do que a soma de seus outros dois lados.
Como Pf’-Pf é menor do que ff’, temos que 2a<2c, resultando que c2-a2 é sempre um número
positivo, e pode ser denotado por b2. Logo a equação final de uma hipérbole é dada por
. Uma vez que a equação da hipérbole contém somente potências pares de x e y, ela é
simétrica em relação aos dois eixos coordenados. Por esta razão eles são denominados eixos da
curva e o centro da hipérbole esta na interseção destes eixos. Para y=0, obtemos que x=+a, porém
para o caso de x=0, y é um número complexo. Definimos então o eixo que contém os dois focos
como sendo o eixo principal, o qual intercepta a curva em dois pontos determinados vértices, já o eixo
conjugado não intercepta a curva e é simétrico às duas curvas. Existem também duas retas
concorrentes denominadas assíntotas. Estas retas passam pelo centro da hipérbole e se estendem
tangenciando os ramos da hipérbole. Outro valor que ajuda a definir uma hipérbole é denominada
excentricidade e, e é denotada por c/a=
. A excentricidade de uma hipérbole é sempre
maior do que 1. Quando o valor de b é muito menor do que a, a excentricidade está próxima de 1 e o
ângulo entre as assíntotas e o eixo principal é pequeno. Para valores de b muito maiores do que a, o
ângulo entre as assíntotas é grande, e a hipérbole torna-se achatada nos vértices. Existe também um
caso particular de hipérbole onde b=a. Neste caso, a equação da hipérbole se reduz a x2-y2=+2a.
Neste caso, as assíntotas são perpendiculares entre si, a excentricidade é igual a raiz de 2 e a
hipérbole recebe a denominação de eqüilátera.