lista 02 - m.u.v

CURSO PROGRESSÃO
Prof. Portes
LISTA 02 - MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.U.V.)
ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA (aM)
É o quociente da variação de velocidade (∆v) pelo
intervalo de tempo correspondente (∆t):
OBS: A regra do 3,6 NÃO VALE PARA A
ACELERAÇÃO
É o movimento que possui aceleração escalar constante
(e não-nula).
No movimento uniformemente variado (MUV) a
aceleração escalar é a mesma em todos os instantes e coincide
com a aceleração escalar média, qualquer que seja o intervalo de
tempo considerado.
FUNÇÕES HORÁRIAS DO MUV
Caso 01: Função horária dos espaços
ACELERAÇÃO ESCALAR
INSTANTÂNEA (a)
É o valor-limite a que tende
∆𝑣
∆𝑡
quando ∆t tende a
zero. Suas unidades são cm/s², m/s², km/h² etc.
Caso 02: Função horária da velocidade
MOVIMENTO ACELERADO
É o movimento em que o módulo da velocidade
escalar aumenta no decurso do tempo. No movimento
acelerado v e α têm o mesmo sinal.
Caso 01: Movimento acelerado progressivo
EQUAÇÃO DE TORRICELLI PARA O MUV
VELOCIDADE ESCALAR
MÉDIA NO MUV
Caso 02: Movimento acelerado retrógrado (ou regressivo)
No MUV, a velocidade escalar média entre dois instantes
é igual à média aritmética das velocidades escalares
instantâneas:
MOVIMENTO RETARDADO
𝑣𝑚 =
É o movimento em que o módulo da velocidade
escalar diminui no decurso do tempo. No movimento
retardado v e α têm sinais contrários.
𝑣 + 𝑣𝑜
2
OBS: Essa equação é útil, além de quando for pedida a
velocidade média do M.U.V, mas também quando não for
necessária a aceleração
Caso 01: Movimento retardado progressivo
𝑣𝑚 =
∆𝑆
𝑣 + 𝑣𝑜
=
∆𝑡
2
EQUAÇÃO DA VELOCIDADE
Determine a equação da velocidade para as seguintes
equações horárias
Caso 02: Movimento retardado retrógrado (ou regressivo)
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE
VARIADO (MUV)
Física
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3t²
- 4t²
t²
2t
3t
4t
3t + 4
3t – 2
4t - 2t² + 5
2t² - 6t + 1
-t + 4t²-1
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IDENTIFICAÇÃO DE GRANDEZAS
Obtenha a posição inicial, velocidade inicial e a
aceleração, nos respectivos problemas:
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
S
S
S
S
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3 + 4t – 6t²
2 – 3t + 2t²
4t – 5t²
6 – 3t²
2t² - 6t + 1
20 + 4t + 5t²
40 – 13t + t²
– 2t + 4t²
– 2 + 0.5t²
[m;s]
[km;h]
[km;h]
[S.I.]
[S.I.]
[m,s]
[m,s]
[km,h]
[km,h]
v
v
v
v
=
=
=
=
3 + 4t
5 – 2t
6t – 2
4t
[km;h]
[m;s]
[cm;s]
[km;h]
42. Um corpo de aceleração média 2 m/s², percorre 12 m, com
velocidade inicialmente de 11 m/s. Qual é o tempo gasto neste
percurso?
43. Um veículo move-se com velocidade escalar de 10m/s,
quando adquire uma aceleração de 3m/s². Sabendo-se que esta
aceleração é mantida por 6 s. Qual a distância durante este
percurso?
44. Um automóvel em movimento uniformemente variado, com
velocidade inicial nula, percorre 40m nos primeiros 4s. Calcule
sua aceleração escalar
DEFINIÇÃO DE ACELERAÇÃO
25. Um carro tem velocidade de 15 m/s e chega a ter
velocidade de 20 m/s em 5 segundos. Qual é a aceleração,
em m/s²?
26. Um automóvel que possui velocidade de 30 m/s e
chega a ter velocidade de 50 m/s em 5 s. Determine a
aceleração média.
27. Um carro parte do repouso e atinge a velocidade de 50
m/s em 25 s. Qual é a aceleração média, m/s²
28. Um corpo parte do repouso e chega a ter uma
velocidade de 36 km/h em 10 s. Qual é aceleração média?
29. Um corpo parte do repouso e chega a ter uma
velocidade de 72 km/h em 4 s. Qual é aceleração média?
30. Um corpo parte do repouso e chega a ter uma
velocidade de 108 km/h em 15 s. Qual é aceleração média?
31. No instante t1 = 10 s a velocidade escalar de um móvel
é v1 = 5,0 m/s, e no instante t2 = 16 s a velocidade escalar
de um móvel é v2 = 23 m/s. Qual é a aceleração escalar
média no intervalo de t1 a t2, em m/s²?
32. Em 2 segundos um guepardo varia de 0 a 72 km/h.
Qual é a sua aceleração média em m/s²?
33. Um carro que está com 108 km/h e pisa no freio
reduzindo a sua velocidade 36 km/h, em 4 s. Qual é
aceleração em m/s²?
34. Um objeto movendo-se em linha reta tem no instante
4,0 s, a velocidade de 6,0m/s e, no instante 7,0s a
velocidade de 12,0 m/s. Sua aceleração média nesse
intervalo de tempo é em m/s²?
EQUAÇÃO DO MRUV
35. Um ponto material parte do repouso com movimento
uniformemente acelerado de aceleração escalar 5 m/s².
Qual a velocidade do corpo após 10 s?
36. Qual é a velocidade de um corpo após 10 s que parte
do repouso com aceleração de 3 m/s²?
37. Um corpo com velocidade de 36 km/h e depois de um
tempo atinge a velocidade de 40 m/s, e com aceleração de
10 m/s². Quanto tempo foi gasto para mudar o tempo?
Física
39. Qual o tempo em segundo necessário para um corpo que
estava a 360 km/h chegar ao repouso. Sabido que sua
aceleração escalar média tem módulo de 4m/s².
40. Qual é o deslocamento de um carro que parte do repouso e,
possui aceleração média de 2 m/s², após 2 s?
41. Um corpo parte do repouso e percorre 245 m após 7 s. Qual
é aceleração média?
Obtenha a velocidade inicial e a aceleração, nos
respectivos problemas:
21.
22.
23.
24.
38. Um móvel que parte do repouso tem aceleração constante
de 0,8 m/s². Qual é a velocidade escalar atingida após 2 min e
05 s de movimento, em km/h?
45. Qual é a velocidade final de um corpo que parte do repouso
e com aceleração constante de 10 m/s² após percorrer 20 m?
46. Determine a velocidade de um corpo após andar 12 m, com
aceleração de 6 m/s², partindo do repouso?
FRENAGEM
47. Um carro está a 90 km/h é freado uniformemente com a
aceleração escalar de 2.5 m/s² (em módulo) até parar.
Determine a variação do espaço do móvel desde o início da
frenagem até parar.
48. Um caminhão, com velocidade escalar de 72 km/h, é freado
uniformemente até parar. Sabe-se que o caminhão desloca-se
100 m durante a frenagem. Qual é aceleração média e o tempo
de frenagem?
49. Um carro movimentando-se com velocidade de 20 m/s. Ao
avistar um obstáculo, o motorista reduz uniformemente a
velocidade do carro para 5 m/s. Se durante a redução da
velocidade o carro percorreu 50 m, qual é aceleração do carro
nessa fase?
50. Um móvel estava a 144 km/h e pisa no freio e percorre 50m
até parar. Qual é o módulo da aceleração?
51. Um automóvel a 108 km/h aciona os freios e pára após
percorrer 60m. Considere a aceleração constante e a determine e
também o tempo da frenagem.
INVERSÃO DE SENTIDO
Determine o instante que o corpo inverte o sentido, no
S.I.
52.
53.
54.
55.
SI
v
v
v
v
=
=
=
=
4 – 2t
3t – 6
2t – 5
6t + 4
Determine o instante que o móvel inverte o sentido, no
56. S = 20t – 5t²
57. S = 500 + 30t – t²
58. S = 36 + 2t² - 100
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59. (AFA) Uma partícula move-se com velocidade de 50
m/s. Sob a ação de uma aceleração de módulo 0,2 m/s²,
ela chega a atingir a mesma velocidade em sentido
contrário. O tempo gasto, em segundos, para ocorrer essa
mudança no sentido da velocidade é
60. (EAAR) Um móvel ao percorrer uma trajetória retilínea
obedece a seguinte função horária: S = – 4 + 16t – 2t² (no
S.I.). Em que instante, em segundos, o móvel inverte o
sentido do movimento?
61. (Espcex – 04) Um móvel movimenta-se sobre uma
trajetória retilínea obedecendo a função horária da posição
S = 4 + 5t – t², onde S é a posição t é o tempo (todas as
grandezas estão no Sistema Internacional de Unidades). O
instante, em segundos, que o móvel inverte o sentido do
movimento.
ORIGEM DOS ESPAÇOS
Determine o instante que o móvel passa pela
origem dos espaços, no SI.
62.
63.
64.
65.
S
S
S
S
=
=
=
=
MOVIMENTO PROGRESSIVO
Determine o intervalo que o corpo terá movimento
progressivo
v
v
v
v
=
=
=
=
16 - 4 t
18 + 9t
- 20 + 5t
3 + 3t
[
[
[
[
cm ; s ]
m;s]
km ; h ]
km ; s ]
v
v
v
v
=
=
=
=
10 – 5t
6 + 3t
- 5 + 5t
12t + 6
𝑆𝐴 = 4𝑡 2 − 3
𝑆𝐵 = 5𝑡² − 4𝑡
Onde os espaços são medidos em metros e o tempo em
segundo. Determine quando e onde as partículas vão se
encontrar.
80. Um automóvel A entra em movimento com aceleração
constante e igual a 3 m/s² no mesmo instante em que passa por
ele outro automóvel B, com velocidade escalar constante e igual
a 30 m/s. Os dois veículos percorrem a mesma estrada, no
mesmo sentido.
81. (EFEI – MG) Em uma estrada de pista única, um carro de 4
m de comprimento, movendo-se a 22 m/s (aproximadamente 80
km/h), quer ultrapassar um caminhão de 28 m que está a
velocidade constante de 10 m/s. O motorista do carro inicia a
ultrapassagem quando a frente de um caminhão encontra-se a
50 m de uma ponte. Supondo que o carro faça uma
ultrapassagem com aceleração de constante e igual a 4 m/s².
a)
b)
Calcule o tempo que leva para ultrapassar o caminhão;
O carro consegue fazer a ultrapassagem antes de entrar na
ponte.
a) Qual o tempo gasto em percorrer a distância AB?
b) A que distância se encontrará A decorridos 10 s da passagem
de B?
c) Qual a sua velocidade nesse instante?
[cm ; s]
[ cm; min]
[ m; min]
[m ; h]
VELOCIDADE MÉDIA NO MRUV
75. Qual é a velocidade média de um móvel que está com
velocidade de 10 m/s e em frações de segundos chega a 20
m/s?
76. Em 5 s, a velocidade escalar de um móvel variou de 10
m/s para 25 m/s. Determine:
a) A velocidade escalar média do móvel nesse intervalo de
tempo.
b) A distância percorrida pelo móvel
77. A velocidade escalar de um móvel varia com o decorrer
do tempo segundo a função horária v = 6 + 8t. Determine:
a) A velocidade escalar média do móvel entre os instantes
2 s e 10 s;
b) A distância percorrida pelo móvel nesse intervalo
Física
79. Duas partículas A e B deslocam-se ao longo de uma
trajetória. Suas funções horárias, definidas a partir do mesmo
referencial, são dadas por:
82. (U.F. PR) Um corpo tem num ponto A de sua trajetória
retilínea, a velocidade de 36 km/h, e um ponto B, a 100 m de A,
a velocidade de 54 km/h. O movimento é uniformemente
variado;
MOVIMENTO RETRÓGRADO
71.
72.
73.
74.
78. (Ufal) Um movimento descreve um movimento retilíneo
obedecendo à função horária: e = 40 + 10 t – 2,5t², onde e é o
espaço percorrido do móvel em, em metros, ao mudar de
sentido:
a) Considerando o to = 0 quando A partiu, determine o instante
que A alcança B;
b) Calcule a velocidade de A nesse instante.
20t + 5t²
t² - 5t + 6
t² – t – 12
t² – 16
66. (AFA) Um móvel desloca-se com movimento retilíneo
horizontal segundo a função horária s = 50 + 15t – 5t2,
onde s é medido em metros e t, em segundos. A posição,
em metros, em que pára e o instante, em segundos, em
que passa pela origem valem, respectivamente:
67.
68.
69.
70.
EXTRAS
83. (U. MACKENZIE – SP) Um carro parte do repouso de um
ponto A com uma aceleração constante em módulo igual a 10
km/h². Quando sua velocidade atinge o valor de 20 km/h passa
a se mover com movimento uniforme durante um intervalo de 15
minutos. No fim desse tempo aplicam-se os freios
constantemente e o carro pára num ponto B, distantes de 15 km
do ponto onde foi iniciado o movimento retardado. Determine a
distancia entre A e B.
84. (E.E. MAUÁ – SP) Um móvel parte do repouso de um ponto
A executando um movimento retilíneo, uniformemente acelerado
sobre uma reta AB. No instante parte do ponto B, rumo a A, um
outro móvel que percorre a reta AB com velocidade constante. A
distância entre os pontos A e B é l = 50 m. Depois de 10 s da
partida os móveis se cruzam, exatamente no meio da distancia A
e B. Determine:
a) A velocidade do móvel que partiu de B;
b) A velocidade que o móvel com que o móvel que partiu de A
irá chegar em B?
85. (FUVEST – SP) Um ciclista A inicia uma corrida a partir do
repouso, acelerando 0,50 m/s². Nesse instante passa por ele um
outro ciclista B, com velocidade constante de 5,0m/s e mesmo
sentido que o ciclista A.
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a) Depois de quanto tempo após a largada o ciclista A
alcança o ciclista B?
b) Qual a velocidade de ciclista A ao alcançar o ciclista B
86. (OSEC – SP) Um móvel percorre uma trajetória
retilínea, em relação a um dado sistema de referência, com
movimento uniforme variado. Ao passar pelo ponto A, sua
velocidade é de 2m/s e, no ponto B, sua velocidade é de 6
m/s. Sabendo que a distância BC é o dobro de AB, a
velocidade do móvel no ponto C, em m/s.
87. (ITA – SP) De uma estação parte de um trem A com
velocidade constante vA = 80 km/h. Depois de certo tempo,
parte dessa mesma estação um outro trem com velocidade
vB = 100 km/h. Depois de um tempo de percurso, o
maquinista de B, verifica que se encontra a 3 km de A; a
partir desse instante ele aciona os freios indefinidamente,
comunicando ao trem uma aceleração a = - 50 km/h². O
trem A continua no seu movimento anterior. O que houve
com o trem?
a) não houve encontro dos trens
b) depois de duas horas o trem B para e a distância que o
separa de A é de 64 km
c) houve encontro dos trens depois de 12 minutos
d) houve encontro dos trens depois de 36 minutos
e) não houve encontro dos trens; eles continuam
caminhando e a distância que os separa agora é de 2km.
88. (U. MACKENZIE – SP) Um trem de 120 m de
comprimento se desloca com velocidade escalar de 20 m/s.
Esse trem ao iniciar a travessia de uma ponte, freia
uniformemente, saindo completamente da mesma 10 s,
após com velocidade escalar de 10 m/s. O Comprimento da
ponte é:
89. Deslocando-se com velocidade de 30 m/s um vagão
ferroviário é desacelerado até o repouso com aceleração
constante. O vagão percorre 100 m antes de parar. Qual é
a aceleração do vagão?
90. Dois moveis A e B, percorrem a mesma trajetória,
desenvolvendo velocidade de acordo com as funções
horárias:
𝑉𝐴 = −5 + 3𝑡 e 𝑉𝐵 = 3 − 𝑡
(cm; s)
Quando as velocidades se coincidem?
91. (FMABC-DP) A função horária do movimento de uma
partícula é expressa por 𝑆 = 𝑡² − 10𝑡 + 24 (𝑆𝐼). Qual é a
posição do móvel ao mudar de sentido?
92. (FCMSC-SP) Uma partícula parte do repouso, no
instante inicial com aceleração uniforme e percorre 18 m
em 3,0 s. Aos 4,0 s de movimento uniformemente variado,
a velocidade instantânea é igual a quantos metros por
segundo?
93. (MACK-SP) Um trem de 100 m de comprimento, com
velocidade de 30 m/s com velocidade a frear com
aceleração constante de modulo de 2 m/s², no instante em
que inicia a ultrapassagem de um túnel. Esse trem para no
momento em que seu ultimo vagão está saindo do túnel. O
comprimento do túnel é igual a quantos metros?
94. (MACK-SP) Um carro parte do repouso de um ponto A
com aceleração constante, em modulo, igual a 10 m/s².
Quando atinge o valor de 20 km/h, passa a se mover com
movimento uniforme durante um intervalo de 15 min. No
Física
fim desse tempo, aplicam-se os freios constantemente e o carro
para num ponto B, distante 15 m de onde o foi iniciado o
movimento. Determine a distancia de A até B.
95. (FEEI- SP) Um móvel parte de um certo ponto com um
movimento que obedece à seguinte equação horária S = 4t²,
valida no SI; s é a abscissa do móvel e t o tempo. Um segundo
depois, parte o outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com
movimento uniforme seguindo a mesma trajetória. Qual é a
menor velocidade que devera ter esse segundo móvel afim de
encontrar o primeiro?
96. (EEM – SP) Por questões de segurança, uma composição do
metro não deve ultrapassar os seguintes máximos:
Velocidade = 20 m/s;
Frenagem = 2,0 m/s²;
Aceleração = 4,0 m/s²
Qual é a o menor tempo que a composição leva para
partir de uma estação a outra e parar em outra distante entre si
de 4,0 km?
97. (EEM – SP) Um ponto material parte do repouso e percorre
uma trajetória retilínea, de tal forma que, em cada intervalo de
tempo de 1 s, a distancia por ele percorrida é igual ao dobro da
percorrida no segundo anterior. Sabe-se que, a contar do inicio
do movimento, ele leva 4 s para percorrer 30 m.
a) Determine a velocidade média do móvel entre os instantes 2 s
e 3 s;
b) Pode-se afirmar que esse movimento seja uniformemente
acelerado? Por quê?
98. (Mackenzie) O recordista mundial dos 100 m rasos cumpriu
o percurso num intervalo de tempo próximo dos 10 s. Se o
movimento do corredor fosse uniformemente acelerado a partir
do repouso e durante toda a corrida, sua velocidade escalar no
instante da chegada seria próxima de:
99. (Mackenzie-SP) Uma partícula inicialmente em repouso
descreve um movimento retilíneo uniformemente variado e em
10 s, percorre metade do espaço total previsto. A segunda
metade desse espaço será percorrida em, aproximadamente:
100. (Mackenzie – SP) Uma partícula desloca-se em trajetória
retilínea e, a partir do instante t = 0 s, sua posição (S), em
metros, varia segundo a função S = – 4 + 2t. Desde o instante t
= 5 s, a mesma passa a sofrer um freamento uniforme e pára
após um intervalo de 4 s. A posição da partícula no instante da
parada é:
101. (E. E. Mauá – SP) Um ponto material executa um
movimento retilíneo uniformemente variado pelas equações:
𝑥 − 𝑥𝑜 = 𝑎𝑡 2
e
𝑣 − 𝑣𝑜 = 𝑏𝑡
Determine os valores de vo e a relação de b/a
102. (ITA –SP) Um móvel de origem do eixo x com velocidade
constante igual a 3 m/s. No instante t = 6s o móvel sofre uma
aceleração de – 4 m/s². A equação horária a partir do instante t
= 6s será:
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a) 𝑆 = 3𝑡 − 2𝑡²
b) 𝑆 = 18 + 3𝑡 − 2𝑡²
c) 𝑆 = 18 − 2𝑡²
d) 𝑆 = −72 + 27𝑡 − 2𝑡²
e) 𝑆 = 27𝑡 − 2𝑡²
103. (ITA-SP) Um móvel A parte da origem O, com
velocidade inicial nula, no instante to = 0 e percorre o eixo
OX com aceleração constante a. Após um intervalo de
tempo ∆𝑡, contado a partir da saída de A, um segundo
móvel B parte de O com uma aceleração igual a n.a, sendo
n > 1, B alcançará A no instante:
a)
t=(
√n
√n−1
b)
t=(
c)
t=(
√n−1
d)
t=(
√n+1
e)
t=(
√n
√n−1
√n
√n
√n
√n−1
+ 1) ∆𝑡
− 1) ∆𝑡
) ∆𝑡
) ∆𝑡
) ∆𝑡
104. (Alonso e Finn) Um carro percorre a linha OX com
movimento uniformemente acelerado. Nos instantes t1 e t2,
suas posições são x1 e x2, respectivamente. Mostrar que a
aceleração do carro é:
𝑥2 𝑡1 − 𝑥1 𝑡2
𝑎 = 2(
)
𝑡1 𝑡2 [𝑡2 − 𝑡1 ]
105. (Alonso e Finn) Dois carros A e B, movem-se no
mesmo sentido com velocidade VA e VB, respectivamente.
Quando o carro A está a distancia d atrás de B, o motorista
do carro A pisa no freio, o que causa uma desaceleração
constante a. Demonstrar que, para não haver colisão entre
A e B, é necessário que 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 > √2𝑎𝑑
Física
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GABARITO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
V = 6t
V = -8t
V = 2t
V=2
V=3
V=4
V=3
V=3
V = 4 - 4t
V = 4t – 6t
V = -1 + 8t
3 m , 4 m/s, -12m/s²
2 km, - 3 km/h, 4 km/h²
0, 4 km/h, -10 km/h²
6 m; 0 m/s; -6 m/s²
1 m/s; - 6 m/s, 4 m/s²
20 m; 4 m/s; 10 m/s²
40 m; - 13 m/s; 2 m/s²
0, - 2 km/h, 8 km/h²
– 2 km; 0; 1 km/h²
3 km/h, 4 km/h²
5 m/s; - 2 m/s²
-2 cm/s; 6 cm/s²
0; 4 km/h²
1 m/s²
4 m/s²
2 m/s²
1 m/s²
5 m/s²
2 m/s²
3 m/s²
10 m/s²
– 5 m/s²
2 m/s²
50 m/s
30 m/s
3 m/s²
360 km/h
25 s
4m
10 m/s²
1s
114 m
5 m/s²
20 m/s
12 m/s
125 m
– 2 m/s² e 10 s
– 3,75 m/s²
16 m/s²
- 7,5 m/s² e 4 s
2s
2s
2,5 s
Nunca
2s
15 s
25 s
250 s
4s
2,5 s
Nunca, só no instante da partida
3s
4s
4s
5s
Física
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
Nunca
t>0s
t>4h
t>0s
t>2s
Nunca
0<t<1
Nunca
15 m/s
a)
b)
17,5 m/s
87,5 s
a)
54 m/s
b)
432 m
78.
2s
79.
1 s e 4 m ou 3 s e 33 m
80.
a)
20 s
b)
60 m/s
81.
a)
2s
b)
Sim
82.
a)
8s
b)
171,5 m
c)
21,25 m/s
83.
40 km;
84.
a)
2,5 m/s
b)
5√2 m/s
85.
a)
20 s
b)
10 m/s
86.
10 m/s
87.
C
88.
30 m
89.
– 4,5 ,m/s²
90.
2s
91.
–1m
92.
16 m/s
93.
125 m
94.
5016,5 m
95.
16 m/s²
96.
107,5 s
97.
a)
4 m/s
b)
Sim
98.
20 m/s
99.
4 √5 s6 m
100. 0 e b/a = 2
101. D
102. E
103. Demonstração
104. Demonstração.
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