serie1

Física Quântica da Matéria
Série 1
I
1- Se a distância média percorrida entre 2 colisões sucessivas entre electrões livres num fio
de cobre é 4 x 10-8 m, quantas colisões por segundo sofre um electrão, se a sua velocidade
média no cobre é 1.21x 106 m/s?
2- Sabendo que embora nem todos os átomos tenham a mesma densidade (e.g. chumbo
versus alumínio), todos os seus núcleos têm a mesma densidade,
a) que relação há entre o raio nuclear e o número A de nucleões num núcleo?
Relembre que o núcleo do átomo é o core central onde se acumulam as cargas positivas e
uma estrutura compacta de A protões e neutrões, partículas com massas da ordem de 1.6 x
10-27 kg e um raio de um fermi, 1Fm=10-15m. Então,
b) calcule o número de nucleões por unidade de volume no núcleo.
c) compare a densidade dos núcleos com a da água e a densidade média da Terra.
De facto, o valor experimental que deveria ser usado de b) a c) para a constante de
proporcionalidade entre o raio nuclear e A1/3 é 1.07 fm, enquanto o raio do protão é 0.77 fm,
o que mostra que a densidade varia com A para os núcleos muito leves.
d) considerando o núcleo dividido em "caixas" cúbicas com volume V/A, e comparando o
comprimento de cada lado dessa caixa com o raio do protão, estime a distância entre 2
nucleões no núcleo atómico.
3- Um cubo de cobre com 2.5 cm de lado, tem uma massa de 1.46 x 10 -1 kg. Sabendo que a
massa de um átomo de cobre é 1.06 x10 -25 kg, determine o número de átomos presente na
amostra e estime o raio do átomo de cobre, supondo uma estrutura cúbica.
4- Suponha que na estrutura do diamante, os átomos de Carbono, com um raio de 2.5x10 -8
cm, são como esferas justapostas, inscritas em cubos.
a) se essa fosse a estrutura do diamante quantos átomos de carbono existiriam por cm 3
de diamante?
b) nas mesmas condições, que fracção de volume poderia ser ocupado por impurezas?
c) A densidade do diamante varia entre 3.15 e 3.53. Comparando este número com o que
resultaria da estrutura considerada em a) , que conclui sobre a estrutura do diamante, o tipo
de ligação química ou a sobreposição de átomos de carbono no diamante?
d) Determine o número de Avogadro a partir da densidade e massa molar do NaCl .
Para isso, considere que o NaCl cristaliza numa estrutura cristalina cúbica simples, e que o
comprimento da aresta dessa estrutura se conhece por difracção de raios-X.
5- Partículas coloidais apresentam um volume não desprezável quando dispersas num
líquido. Considere a dispersão em água de uma substância coloidal de densidade 1.23g/cm 3.
Sabendo que à temperatura de 00 no fundo do recipiente da preparação existem duas vezes
mais partículas que à altura de h=0.003 cm, determine o diâmetro das partículas dispersas
na água.
6- Duas partículas que não interagem entre si encontram-se num poço infinito de potencial a
uma dimensão de largura L.
a) Escreva a parte espacial dos estados estacionários do sistema e a expressão para as
energias possíveis.
b) Determine a energia do primeiro estado excitado e a sua degenerescência.
c) Escreva, com a devida normalização, a função de onda do estado a que corresponde 5/2
E0 , em que E0 é a energia do estado fundamental, se as duas partículas forem fermiões.
d) Porque é que os estados correspondentes a n 2E0 são proibidos para dois fermiões num
poço?
7- Compare o valor médio do quadrado da diferença x1-x2 das posições de duas partículas
1 e 2 discerníveis em estados ortogonais com o valor médio do quadrado da diferença x1-x2
que obtem se
a) 1 e 2 forem fermiões
b) 1 e 2 forem bosões
c) que conclui sobre a relação entre as distâncias relativas médias de aproximação para
bosões, fermiões e partículas discerníveis.
8- a) Use o resultado da alínea d) do exercício 2 para determinar a energia e a temperatura
de Fermi dos nucleões num núcleo.
b) Diga porque é que num núcleo os nucleões se comportam de acordo com a estatística
quântica, constituindo um gás degenerado.
c) Diga se (e quando?) os núcleos se poderiam comportar como um sistema clássico de
muitas partículas.
9- Considere que o operador do momento dipolar eléctrico de um ião ou um átomo com um
electrão, é dado por e<r>, onde r designa o vector de posição do electrão relativamente ao
núcleo,
a) diga em que caso é que essa expressão é exacta, e não apenas uma aproximação.
b) Construa o estado do ião (átomo) que corresponde a uma sobreposição de dois estados
estacionários ψnlm e ψn´l´m´ , com coeficientes c e c´, respectivamente.
c) Determine a frequência de oscilação no tempo da densidade de probabilidade.
d) determine duas regras de selecção para a transição (dita dipolar eléctrica, naturalmente)
entre os dois estados provocada pela acção de um campo eléctrico.
e) Calcule explicitamente as 3 componentes das amplitude de transição dipolar eléctrica, no
caso particular da transição de Lyman 2p→ 1s.
10- a) Escreva a função de onda do estado fundamental do ortohélio (spin 1) na aproximação
de se desprezar a interacção entre os dois electrões.
b) Determine a energia e degenerescência desse estado.
c) Diga se em teoria de perturbações de primeira ordem, a repulsão electrão-electrão no
átomo de hélio levanta a degenerescência da energia do estado.
11- a) Determine em teoria de perturbações de primeira ordem o efeito na energia no
primeiro estado excitado do
1-parahélio
2-ortohélio
b) escreva esse efeito em termos do operador S 1·S2 , com Si o spin dos electrão i (i=1,2) ou
das respectivas matrizes de Pauli.
12- Considere 2 partículas de massa igual interagindo através de um potencial do oscilador
linear harmónico a uma dimensão.
a) separe o movimento do centro de massa do movimento relativo e determine a energia do
sistema.
b) escreva a função de onda do estado fundamental
1- se as partículas forem discerníveis,
2- se as partículas forem idênticas e tiverem spin 0,
3- se as partículas forem idênticas e tiverem spin 1/2.
c) discuta a degenerescência do espectro da energia nas condições 1, 2 e 3.