Espectro de H e Na - Stoa

Espectro de H e Na
Leandro Donizeti Ribeiro, Marcio Koji Umezawa
Instituto de Física – Universidade de São Paulo
Disciplina FNC 0313 – Prof. Dr. José Roberto Brandão de Oliveira
14 de setembro de 2007
Resumo
No presente trabalho foram analisados os espectros do hidrogênio e do sódio. Para obtenção destes
espectros foram utilizadas lâmpadas de descarga elétrica em gás destes elementos e um espectrógrafo, usando como
padrão de calibração do equipamento o espectro do mercúrio, cujos comprimentos de onda são bem determinados
na literatura. Utilizando o modelo de Bohr, a fórmula de Balmer e a mecânica quântica, foi possível determinar
valores importantes como a constante de Rydberg, potencial de ionização do hidrogênio e do sódio, além de
verificar a validade dos modelos e as limitações das técnicas utilizadas.
elementos químicos apresentam
algumas centenas de linhas.
Introdução1
com
No entanto, o espectro do hidrogênio é
relativamente simples, além de que a maior parte do
universo consiste de átomos de hidrogênio isolados,
de forma que seu espectro é de considerável interesse
prático, o que já são bons motivos para estudá-lo,
além das razões teóricas e históricas.
O espectroscópio é o instrumento tipicamente
usado na medida dos espectros atômicos. A fonte
consiste de uma descarga elétrica que passa através de
uma região que contém um gás monoatômico. Nesse
processo, alguns átomos ficam com energia maior que
teria em seu estado normal, ou seja, o átomo é
excitado, e ao voltar ao seu estado normal o átomo
emite este excesso de energia na forma de radiação
eletromagnética. A radiação é colimada por uma fenda
e depois atravessa um prisma ou, no caso desse
experimento, uma rede de difração, que é então
decomposta em seu espectro de comprimentos de
onda.
A Figura 1 mostra o espectro do hidrogênio
atômico que está dentro da região de comprimentos de
onda de luz visível.
Ao contrário do espectro contínuo da radiação
emitida pela superfície de sólidos a alta temperatura,
por exemplo, a radiação eletromagnética emitida por
átomos livres está concentrada em um conjunto de
comprimentos de onda discretos, convencionalmente
chamados de linhas devido ao formato da fenda. Os
experimentos mostram que cada tipo de átomo
apresenta seu espectro característico próprio. Essa
característica é de grande importância prática porque
faz com que a espectroscopia seja uma técnica muito
útil em análise química. Basicamente por esse motivo,
muito esforço foi empregado no sentido da obtenção
precisa das medidas dos espectros atômicos, e tal
esforço foi necessário pois a maior parte dos
1
espectros
Figura 1 - espectro visível do hidrogênio
Vemos que o espaçamento entre linhas
adjacentes do espectro diminui continuamente a
medida que o comprimento de onda das linhas
diminui, de forma que a série de linhas converge para
o chamado limite da série de 3645,6 Å. Em 1885,
Balmer encontrou uma fórmula empírica que
representa o comprimento de onda () das linhas:
n2
  3646 2
n 4
Equação 1
onde n ≥ 3, sendo que para H n = 3; H n = 4; H
n = 5 etc. Esta fórmula é capaz de prever o
Texto adaptado da referência 1
1
comprimento de onda das nove primeiras linhas da
série, todas conhecidas à época, com precisão superior
a uma parte em mil.
Fundamental:
1 
 1
 RH  2  2 

n 
2
1
Equação 2
En  

(3  s) 2
( n  p) 2

R
(3  p) 2

R
(n  s)
, n  3,4...
 1
1 

n 2 n 2 
i 
 f
  R Z 2 
, n 4,5...
2
Equação 5
Difusa:

R
(3  p)
2

R
(n  d ) 2
n2 2
, n  1, 2, 3...
mZe 2
Equação 9
Quando um elétron sofre uma transição de um
estado ni para um estado nf, ele emite uma radiação
que tem número de onda dada por:
Equação 4
Sharp:
Equação 8
onde m é a massa do elétron, supondo esta massa
desprezível com relação à massa do núcleo para que
não seja necessário calcular a massa reduzida do
sistema núcleo-elétron. De fato, a correção para a
massa nuclear finita é importante quando tratamos
dados com a precisão usual em espectroscopia, mas
para o escopo deste trabalho não vamos considerar
esta correção, pois ela é muito menor que as
incertezas apresentadas.
Para o átomo de sódio, temos quatro séries de
linhas no espectro de comprimento de onda:

mZ 2 e 4 1
, n  1, 2, 3...
(40 ) 2 2 n 2
r  40
onde R é a constante de Rydberg para o elemento
considerado, a e b são constantes para a série
considerada, m é um inteiro fixo para a série
considerada e n é um inteiro variável.
Principal:
, n 4,5...
outro é o raio da orbita do elétron, dado por:
Equação 3
R
(n  f ) 2
Em 1913, Niels Bohr desenvolveu um modelo
que apresentava concordância quantitativa precisa
com dados espectroscópicos, como o espectro do
hidrogênio, por exemplo. Não vamos aqui entrar em
detalhes sobre o desenvolvimento teórico do modelo
atômico de Bohr, tais detalhes podem ser encontrados
na referência [1]. Vamos por hora nos ater aos
resultados mais importantes que a teoria apresenta. O
primeiro deles é sobre a energia elétron em cada
órbita no átomo:
Os átomos de elementos alcalinos (Li, Na,
K etc.) apresentam séries cujas fórmulas têm a
mesma estrutura geral das séries do hidrogênio,
isto é:
 1
1 
 R

2
2

 ( m  a ) ( n  b) 
R
f  0,00.
Fórmulas desse tipo foram obtidas para muitas
séries, por exemplo, sabemos que existem cinco séries
de linhas no espectro do hidrogênio, sendo estas a
série de Lyman (na região de comprimentos e onda do
ultravioleta), a série de Balmer (representada na
Equação 1), e as séries de Paschen, Brackett e Pfunt
(na região de comprimento de onda do
infravermelho).
1

s  1,37;
p  0,87;
d  0,01;
RH  10967757,6(12)m 1
R
(3  d )
2
onde s, p, d e f são os chamados defeitos quânticos,
cujos valores são:
onde RH é a constante de Rydberg para o hidrogênio,
cujo valor é, segundo dados recentes:

R
Equação 7
Esta descoberta iniciou uma busca por
fórmulas empíricas que se aplicasse à séries de outros
elementos. A maior parte deste trabalho foi feita por
Rydberg em 1890, que considerou conveniente lidar
com o número de onda (). A fórmula de Rydberg
pode ser escrita como:


onde
, n 3,4...
 1
R  
 40
Equação 10
2
 me 4

3
 4  c
Equação 11
é a constante de Rydberg teórica.
Tendo-se a constante de Rydberg, se
determina o potencial de ionização do hidrogênio a
partir da Equação 3. Tomando-se a e b iguais a zero
Equação 6
2
(sem defeito quântico) e m = 1 (Série Lyman – nível
de energia que o elétron chega) e n = ∞ (nível de
energia que o elétron “escapa” do átomo), obtemos:
 Ionização 
1
Ionização
 RH
Procedimentos experimentais
Equação 12
Neste
experimento
foi
espectroscópio mostrado na Figura 2.
Equação 13
A luz que se desejava analisar foi colocada em
frente à fenda de abertura regulável. A distância da
fenda à lente acromática do colimador pode ser
ajustada de modo a coincidir com o foco, obtendo-se
assim raios paralelos na região da mesa, onde foi
colocada a rede de difração.
e a energia de ionização é dada por:
E Ionização  hcRH
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da
luz no vácuo.
A explicação para a semelhança entre as
séries de comprimento de onda do espectro dos metais
alcalinos e do hidrogênio vem de que o Li, Na, K, Rb
e Cs (metais alcalinos) são constituídos de um caroço
central formado pelo núcleo e pelos elétrons que
formam camadas fechadas (como na configuração
correspondente aos gases nobres), e um único elétron
externo. Este elétron é chamado elétron óptico, pois
ele é responsável pela emissão de luz por esses
átomos. Essa estrutura com um caroço fechado e um
único elétron externo tem alguma semelhança com a
de um átomo de hidrogênio. Por isso, o interesse em
estudar o espectro de Na.
utilizado
o
O telescópio, que era montado sobre uma base
giratória, cujo ângulo podia ser medido através de
uma escala graduada (vernier), teve seu foco ajustado
previamente, focalizando um ponto o mais distante
possível no laboratório. A luz difratada pode ser então
observada através do telescópio. Para ajustar com
precisão a linha a ser medida no centro do campo de
visão do telescópio, havia um retículo em forma de
cruz no interior deste.
Após o modelo de Bohr, que explicava bem o
átomo de hidrogênio, foram feitos aperfeiçoamentos
posteriores, devidos principalmente a Sommerfeld,
que introduziu a teoria das órbitas elípticas para o
elétron e a correção relativística, que permitiram
explicar os espectros dos metais alcalinos, inclusive a
estrutura fina dos dubletos.
Figura 2 – Esquema do espectroscópio.
Foi utilizada uma rede de difração de 300
linhas/mm para difratar o feixe de luz estudado. O
feixe de luz ao atravessar a rede sofre um desvio como
mostrado na Figura 3. A diferença de caminho ótico
faz com que se formem regiões de máximos e
mínimos das ondas eletromagnéticas, formando as
linhas em estudo.
3
Figura 3 – Difração do feixe de luz pela rede de difração.
Podemos obter o comprimento de onda de
cada linha através da equação:
n  d  sen( difr   inc )
Figura 4 – Comparação entre comprimentos de onda medidos
e tabelados, multiplicados pela ordem de difração, para
calibração do equipamento.
Equação 14
onde n é a ordem de difração da linha, d é a distância
entre as linhas da rede e inc e refr são os ângulos de
incidência e difração, respectivamente, com relação à
normal da superfície da rede. No caso do nosso
experimento, inc é zero.
Este gráfico foi construído pelo método dos
mínimos quadrados usando-se a planilha da referência
[2], e que apresentou coeficiente angular (a) de
0,98872(29) e coeficiente linear (b) de 0,4(31). A
partir desses valores podemos fazer a correção para as
medidas dos comprimentos de onda das linhas do
hidrogênio, através da Equação 15.
A luz foi obtida através de lâmpadas de gases
monoatômicos. Estas lâmpadas são constituídas de um
tubo de descarga de vidro com dois eletrodos de ferro,
no qual foi feito alto vácuo e depois introduzido uma
pequena quantidade do gás.
CORRIGIDO 
Para se fazerem as medidas das linhas dos
espectros do hidrogênio e do sódio com boa precisão,
o espectroscópio foi antes calibrado, medindo-se o
espectro de linhas do mercúrio. Alinhou-se o
telescópio com a fenda através do retículo e ajustou-se
o zero do vernier. A lâmpada de mercúrio foi colocada
em frente à fenda e as linhas formadas pela difração
da luz na rede de difração foram medidas, primeiro
girando o telescópio para a direita e depois para a
esquerda. Para cada linha, foi calculada a média do
ângulo medido à direita e à esquerda e posteriormente
o comprimento de onda utilizando a Equação 14. A
incerteza utilizada nessas medidas foi a metade da
menor divisão do vernier (0,5´´ ou 0,0083º).
MEDIDO  b
a
Equação 15
Da mesma forma que para o espectro de
mercúrio, mediu-se o espectro do hidrogênio, porém
agora os valores obtidos foram divididos pelo valor do
nível de refração e calculou-se a média entre os
valores de comprimento de onda obtidos para cada
linha e, finalmente, aplicou-se a correção da Equação
15. Os valores obtidos são apresentados na Tabela 1.
Valores em Å
Com os valores de comprimento de onda para
as linhas do mercúrio, foi feito um gráfico
relacionando estes valores com os valores tabelados,
(multiplicados pela ordem de difração) que são
conhecidos com grande precisão. O gráfico é
mostrado na Figura 4.
Cor
Tabelado
Medido
Incerteza
Violeta
4101
-
-
Azul
4340
4333
8
Turquesa
4861
4862
7
Vermelho
6562
6566
7
Tabela 1 – Valores medidos para comprimentos de onda do
hidrogênio.
Como se vê na Tabela 1, a linha violeta,
referente ao comprimento de onda de 4101 Å, não foi
observada. Com o equipamento utilizado, foi
disponibilizada também uma câmera de vídeo que
poderia ser acoplada no telescópio em lugar de sua
lente ocular, para que se fossem observados um
número maior de linhas, mas sua operação era difícil
pois era necessário alinhá-la e encontrar o foco ideal
para a observação das linhas, além de ter que se fazer
4
os ajustes de brilho e contraste do vídeo no
computador. Outra dificuldade encontrada foi que não
havia uma referência na tela para centralizar a linha
observada, como existia o retículo na lente ocular.
Portanto após algum tempo de tentativas frustradas de
se usar a câmera, optou-se por abandoná-la dado o
tempo limitado para a aquisição dos dados em aula.
(Å)
4807
4810
4974
5631
5642
5911
5933
6104
Foi observada uma linha que não corresponde
ao espectro de hidrogênio com comprimento de onda
de 5892(7)Å. Esta linha era devida a algum
contaminante no gás da lâmpada (provavelmente
sódio de algum sal), mas não se chegou a nenhuma
conclusão, após consultas às referências, com relação
a qual contaminante poderia ser este.
Série
sharp
sharp
difusa
difusa
difusa
principal
principal
sharp
Nível
7
7
5
4
4
3
3
5
6171
sharp
5
Tabela 2 – Valores medidos para comprimentos de onda do
sódio relacionados com série e níveis.
Após a identificação das séries foi analisada
cada uma delas a partir da equação das séries do
sódio:
Com os valores de três linhas de
comprimentos de onda da série de Balmer do espectro
do hidrogênio pôde-se calcular o valor experimental
para a constante de Rydberg. Usando a Equação 2, foi
construído um gráfico do tipo y = ax + b, onde o
número de onda representa y, o termo entre parênteses
representa x, e b é esperado igual a zero. Portanto, o
valor do coeficiente angular será a constante de
Rydberg. A partir desse método então obteve-se a
constante de Rydberg: RH = 1,1008(50)x107 m-1.
1
R
= Lim 
λ
n + μ 2
Equação 16
com  sendo o comprimento de onda obtido, n o nível
de energia da transição, R a constante de Rydberg,
Lim o limite da série e  o defeito quântico.
Primeiro foi analisada a série difusa, onde a
partir dos dados ajustados foi feito o gráfico de 1/
por 1/n², conforme o gráfico da Figura 5.
A partir desse resultado e da Equação 13
pôde-se calcular o potencial de ionização do
hidrogênio, sendo que a constante de Planck e a
velocidade da luz no vácuo são bem determinadas. O
potencial de ionização é E = 13,65(6) eV.
Usou-se o mesmo procedimento para se obter
o espectro do sódio, inclusive a calibração pelas linhas
do mercúrio, pois as medidas para os espectros de
hidrogênio e sódio foram realizadas em dias
diferentes.
Na curva de calibração do mercúrio obtemos
como coeficientes angular (a) 0,9973(25) e linear (b)
154(51).
A Equação 15 foi novamente usada para obter
os valores corrigidos das linhas. A partir desses
valores ajustados se comparou os dados com valores
tabelados e assim foram identificadas as séries e
níveis de energia correspondentes a cada transição. As
séries encontradas estão na Tabela 2:
Figura 5 - Análise das transições da série difusa.
Para esta série foi considerado que  = 0 (na
verdade seu valor é 0,01). A partir do gráfico foi
obtido que o coeficiente linear apresenta o valor
experimental da constante de Rydberg, que foi de
1,084(32)107 m-1 e o limite da série em
Lim = 2,442(18) m-1 , e que equivale a um
comprimento de onda de 4094(31)Å.
Com esses resultados, passou-se à análise da
série sharp, onde foi utilizado o valor do limite
5
Discussão
encontrado anteriormente para obter os valores da
constante R e , relativos a série sharp. A partir da
Equação 16 se obteu a seguinte equação de reta, que
dá os valores de R e  como coeficientes da reta:
n= R
1
1
Lim 
λ
μ
Na análise do hidrogênio foi verificado que
não é possível observar todas as linhas do espectro
devido a luminosidade do laboratório não ser a ideal
para o equipamento utilizado, pois haviam vários
grupos trabalhando ao mesmo tempo e a luz dos
monitores dos computadores diminuía a visibilidade
das linhas dos espectros. Apesar disso, as linhas
observadas estavam de acordo com valores
comumente encontrados nas referências, como se
pode verificar na Tabela 1. Para a constante de
Rydberg para o hidrogênio, cujo valor era um dos
objetivos deste experimento, foi obtida como
RH = 1,1008(50)x107 m-1, o valor experimental para
esta constante encontrado nas referências é de
1,09677576(12)x107 m-1 e o valor teórico é de
1,09678 x 107 m-1. Vemos que os três valores
apresentados são muito próximos, o que confirma a
validade do modelo teórico utilizado e que as técnicas
utilizadas neste experimento são adequadas para a
medida da constante de Rydberg.
Equação 17
E a partir dessa fórmula e os dados
experimentais fizemos o gráfico da Figura 6:
Para o potencial de ionização do hidrogênio
encontramos o valor de 13,65(6) eV, enquanto que o
valor teórico é de 13,6 eV, confirmando novamente a
adequação da técnica utilizada.
Porém, na análise do espectro do sódio não se
verifica a mesma concordância. Em primeiro lugar, o
valor da constate de Rydberg na série difusa calculado
foi de 1,084(32)107 m-1 e para a série sharp foi de
1,311(19) x107 m-1 , quando estes valores deveriam se
compatíveis pois representam a mesma grandeza,
porém não são, pois diferem de um valor maior que
três desvios padrões.
Figura 6 - Análise das transições da série sharp.
E no gráfico obtemos os
R = 1,311(19) x107 m-1 e  = 0,988(34).
valores
de
A seguir deveria se analisar a série principal,
mas como foi observada apenas uma transição dessa
série não foi possível gerar gráficos para análise da
série.
O valor para o defeito quântico na série sharp
foi calculado de 0,988(34), enquanto que o valor
teórico esperado era de 0,87, novamente apresenta-se
uma diferença maior que três desvios padrões.
A seguir é apresentado o diagrama de
transições do sódio com base nos valores de
comprimento de onda deste experimento.
Figura 7 – Diagrama de transições do sódio.
6
Conclusão
Referências
Para a análise do espectro de hidrogênio, os
objetivos foram alcançados, apesar de não ter sido
possível observar todas as quatro linhas deste
espectro. Os valores da constante de Rydberg para o
hidrogênio e seu potencial de ionização foram
calculados com boa concordância com os dados
experimentais mais atuais encontrados na literatura.
[1] R.Eisberg, R.Resnick, Física Quântica, Ed. Campus,
Rio de Janeiro (1979)
[2]
http://axpfep1.if.usp.br/~labfep/fep114/download/ajuste_de
_reta.xls
{3} J.H.Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, Ed.
Edgard Blücher Ltda, São Paulo (2001)
Porém para a análise do sódio os objetivos
não foram alcançados, pois os dados obtidos em
laboratório foram insuficientes para se conseguir
calcular valores confiáveis para a constante de
Rydberg, defeito quântico e potencial de ionização.
[4] http://labdid.if.usp.br/~estrutura/fnc377/2007/H.pdf
[5]
http://labdid.if.usp.br/~estrutura/fnc377/2007/roteiroespectr
oscopio.pdf
Vários fatores atrapalharam a tomada de
dados:
- a iluminação da sala, pois haviam monitores
de computador dos outros grupos ligados, o que fazia
com que não se distinguissem um número grande de
linhas dos espectros e de não se conseguir relacionar
as linhas medidas à direita e à esquerda do
espectroscópio (a análise da série sharp foi muito
prejudicada por isso). Com medidas de um só lado e
em quantidade reduzida, a confiabilidade dos dados é
comprometida;
- restrição à faixa do visível, devido à escolha
de não usar a câmera de vídeo acoplada ao
espectroscópio por motivos operacionais.
Desta forma, mediram-se poucos dados para o
sódio, onde encontramos apenas uma transição da
série principal.
Os valores da série difusa estão compatíveis
com os valores teóricos, mas os valores da série sharp
não são compatíveis, o que mostra que os dados
obtidos nesse experimento para o espectro do sódio
não são confiáveis e que as escolhas feitas durante as
medidas mostraram-se incorretas.
7