1º) Na geladeira de Ana há 15 litros de refrigerante, dispostos tanto

1º) Na geladeira de Ana há 15 litros de refrigerante, dispostos tanto em
garrafas de um litro e meio, quanto de 600 ml. Qual é a quantidade de garrafas
de cada capacidade sabendo-se que são 13 garrafas no total?
Talvez a maior dificuldade ao resolvermos sistemas de equação do 1° grau com 2 incógnitas, não seja a
resolução do sistema em si, pois basta escolhermos um dos dois métodos de resolução de sistemas apresentados
aqui e pronto, mas sim a dificuldade de equacionarmos o sistema.
Neste problema estamos tratando de garrafas em duas capacidades: 1,5 l e 600 ml que convertidos em litros são
0,6 l. Sabemos também que temos um total de 15 l de refrigerante, acondicionados em 13 garrafas.
Então vamos montar duas equações. Uma tratando a quantidade de garrafas e outra tratando a quantidade de
refrigerante.
Vamos atribuir x à quantidade de garrafas com capacidade de 1,5 l e y às garrafas de 0,6 l.
Segundo o enunciado temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l que totalizam 15 l. Então temos a
primeira equação:
O enunciado também nos leva a concluir que temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l em um total de
13 garrafas. Temos então a segunda equação:
Eis portanto o nosso sistema:
Para solucionarmos o problema pelo método da adição, vamos começar multiplicando todos os termos da
segunda equação por -0,6:
Escolhemos -0,6 por ser o oposto do coeficiente de y na primeira equação.
Repare agora que ao somarmos as duas equações estaremos eliminando a variável y:
Agora para encontramos o valor de x, basta passarmos o coeficiente 0,9 para o segundo membro, dividindo o
termo 7,2:
Agora que temos o valor de x, vamos substituir o x da segunda equação por 8 para encontrarmos o valor de y:
Portanto para ordenado (8, 5) é a solução do referido sistema.
Na geladeira de Ana há 8 garrafas de 1500 ml e 5 garrafas de 600 ml.
2º) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$
7,00. Seu irmão Joãozinho comprou uma coxinha e um refrigerante a mais,
pagando R$ 11,50. Qual é o preço do refrigerante e o da coxinha?
Para montarmos as equações vamos utilizar a incógnita c para representar a quantidade de coxinhas e a variável
r para a representação da quantidade de refrigerantes.
Como Pedrinho comprou 2 coxinhas e 1 refrigerante a R$ 7,00, temos:
Como Joãozinho comprou uma unidade a mais de cada item, ele comprou 3 coxinhas e 2 refrigerantes a R$
11,50, temos:
Temos então o seguinte sistema:
Neste exercício vamos utilizar o método da substituição. Para isto vamos começar isolando no primeiro
membro, a incógnita r da primeira equação:
Escolhemos o isolamento desta variável, pois ela possuía coeficiente 1, o que tornaria as operações mais
simples e rápidas. Em não havendo uma variável nesta situação, devemos escolher a que mais nos pareça
simplificar a resolução do sistema.
Agora vamos substituir r na segunda equação:
A partir de c = 2,5 vamos obter o valor de r:
Então: O valor unitário do refrigerante é R$ 2,00 e o da coxinha é R$ 2,50.
3º) Possuo R$ 2.300,00 em notas de R$ 50,00 e R$ 100,00, totalizando 30
notas. Quantas notas possuo de cada valor?
Representando por x as notas de R$ 50,00 e por y as notas de R$ 100,00, a partir das informações do problema
podemos equacionar o seguinte sistema:
Vamos utilizar o método da adição e para que não fiquemos com nenhum termo negativo após efetuarmos a
soma, vamos escolher eliminar a variável x e não a y. Para isto iremos multiplicar por -50 todos os termos da
primeira equação, valor este simétrico ao coeficiente de x na segunda equação:
Após executarmos a soma e isolarmos y temos:
E por fim, substituindo o valor de y na primeira equação:
Logo: Possuo 14 notas de R$ 50,00 e 16 notas de R$ 100,00.
4º) Comprando 5 unidades de um produto A mais 3 unidades de um produto B,
terei que desembolsar R$ 90,00. Se eu comprar 15 unidades do produto A e 9
unidades do produto B, pagarei R$ 250,00. Qual é o preço unitário de cada um
dos produtos?
Os dados do problema nos levam ao seguinte sistema:
Vamos solucioná-lo pelo método da adição. Iremos começar multiplicando a primeira equação por -3:
Agora realizaremos a soma:
Note que chegamos a uma sentença inválida, portanto o sistema é impossível, não admitindo soluções.
Logo: Não é possível obtermos o preço unitário de cada um dos produtos.
5º) Em um pasto há tanto bois quanto cavalos, num total de 50 animais.
Somando-se o número de patas de bois ao número de patas de cavalos,
obtemos um total de 180 patas. Quantos cavalos temos no pasto, sabendo-se
que todos os animais são normais?
Vamos representar os cavalos pela incógnita C e o bois pela incógnita B e a partir destas variáveis
expressarmos as duas equações que nos permitirão formar um sistema de equações com duas variáveis.
Inicialmente o enunciado nos diz que:
Como cavalos e bois normais possuem 4 patas, do enunciado tiramos a segunda equação:
Podemos então montar o seguinte sistema:
Na primeira equação, vamos isolar a variável B, já que estamos em busca do número de cavalos. Se
estivéssemos em busca da quantidade de bois, iríamos isolar a variável referente aos cavalos:
Agora vamos substituir B na segunda equação para obtermos o número de cavalos. Foi por isto que no passo
anterior isolamos a variável B e não a C:
Como já vimos, esta sentença inválida no indica que este sistema não possui soluções, o que já era de se
esperar, já que sendo normais os animais, teríamos que ter 200 patas no total e não apenas 180, mas neste caso
ainda assim não teríamos como identificar o número de cavalos, já que o sistema seria possível indeterminado,
visto que no final iríamos obter a sentença 0 = 0.
Logo: Não é possível se calcular o número de cavalos, pois estamos diante de um sistema impossível.
6º) A soma de dois números é 530 e a diferença entre eles é 178. Quais são
estes números?
Representando por x o número maior e por y o número menor, temos o seguinte sistema a resolver:
É bastante claro para nós que ao somarmos as equações iremos eliminar os termos com a variável y e é isto o
que iremos fazer para apuramos o valor de x:
Agora vamos obter o valor de y trocando o x na primeira equação pelo valor encontrado:
Pronto: Os números são 354 e 176.
Resolva os sistemas formados pelas equações
a) x + y = 1
4x + 7y = 10
b) 3x + y = 13
x – 2y = 2
c) 2x + y = 4
3x – y = 1
d) 2x + y = 5
x–y=1
e) x + y = 4
3x + 2y = 9
S= {(-1, 2)}
S= {(4, 1)}
S= {(1 ,2)}
S= {(2, 1)}
S= {(1, 3)}