O mdc é o produto dos fatores primos comuns => mdc(36,90) = 2 x 3

AULAS 17 A 22 – MATEMÁTICA
DIVISÃO
EXPLICAÇÕES
Aprender divisão é mais que dividir
Não basta ensinar o algoritmo. A garotada precisa
analisar os termos da operação, inclusive o resto.
Muitas vezes, ele faz parte da resposta
Tatiana Pinheiro ([email protected])
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=== PARTE 1 ====
Você sabe que as crianças lidam com a divisão no dia a dia desde a Educação Infantil. Por exemplo:
para distribuir 6 balas para 3 colegas de maneira que todos ganhem a mesma quantidade, elas usam
estratégias como desenhar os doces e os amigos e traçar linhas, contar nos dedos, montar tabelas para
relacionar os dados ou fazer somas sucessivas.
As dificuldades com a operação começam quando aparece a conta armada - a estrutura dela não revela
de modo claro outras operações utilizadas durante o processo: a multiplicação e a subtração. É preciso,
então, ir além do algoritmo. Ao considerar os modos de resolução dos estudantes e apresentar questões
que envolvem mais que a resolução dos cálculos, a turma é desafiada a explorar a quantidade global
envolvida e não somente o valor posicional dos números.
Para trabalhar com a garotada de 4º e 5º anos, duas atividades são essenciais: o estudo das relações
entre os termos da divisão e a análise do resto. Confira como cada uma delas deve ser encaminhada.
Estudo das relações entre os termos
Proposta que vai além de mostrar aos alunos que o quociente multiplicado pelo divisor e somado ao
resto equivale ao dividendo (q x d + r = D). O objetivo é apresentar problemas como o do quadro na
página seguinte. Eles foram resolvidos por alunos do 5º ano da Escola Projeto Vida, na capital paulista.
A tarefa solicitada não é calcular, mas analisar os valores para que a relação entre eles faça sentido. "As
crianças podem começar testando diversos números e conferir a validade deles montando a conta, para
depois sistematizar o aprendizado. Aí a regra faz sentido", explica Ana Maria Hungria, professora da
turma. Com o avanço no domínio dessas relações e dos papéis de cada termo, Mercedes Etchemendy e
Paola Tarasow, pesquisadoras argentinas especialistas em Didática da Matemática, sugerem apresentar
à meninada questões como esta: "Proponha uma conta de dividir em que o divisor é 45 e o resto 12.
Existe apenas uma? Ou mais? Por quê?". O objetivo, nesse caso, é compreender que, para achar o
dividendo, é necessário conhecer o quociente, mas, como não há restrições ao valor dele, é possível
usar qualquer número inteiro positivo - e, portanto, as soluções são infinitas (D = 45 x 0 + 12, D = 45 x 1
+ 12, D = 45 x 2 + 12 etc.). Outro exemplo: "Proponha uma conta de dividir em que o divisor é 5 e o
quociente é 12. Existe apenas uma? Ou mais?" Para reponder, os alunos precisam levar em conta que o
resto só pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 e 4, pois tem de ser menor que o divisor. Levando isso em
conta, as possibilidades são cinco (D = 5 x 12 + 0 = 60; D = 5 x 12 + 1 = 61; D = 5 x 12 + 2 = 62; D = 5 x
12 + 3 = 63, D = 5 x 12 + 4 = 64).
Agora
Estudo das relações entre os termos Os problemas apresentam alguns elementos e os alunos têm de
calcular o que falta. Assim, eles constroem a ideia de que o dividendo é o resultado da multiplicação
entre o quociente e o divisor somado ao resto.
Agora é sua vez! Faça os cálculos prolongando-os como no exemplo:
a-) 320 ÷ 3
b-) 1500 ÷ 5
c-) 782 ÷ 4
d-) 876 ÷ 6
e-) 512 ÷ 11 f-) 1.390 ÷ 12 g-) 2.473 ÷ 24
Fonte: http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/aprender-divisao-mais-dividir-679990.shtml
Máximo Divisor Comum
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre
eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses
números. Usamos a abreviação m.d.c.
Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores
primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 =
2x3x3x5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles,
cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.
Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).
Regra prática:
1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)
2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim
sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)
18 / 12 = 1 (com resto 6)
12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6=2x3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dica: Veja números primos aqui http://www.somatematica.com.br/fundam/primos.php
Agora é sua vez!
EXERCÍCIOS – MDC
1. Um marceneiro quer aproveitar no máximo sua 3 tábuas e quer cortar elas sem perder madeira.
Sabendo que uma tábua mede 240, outra 120 e 200 cm. Qual será o tamanho de cada tábua cortada?
2. Dona Estela vai cortar duas peças de tecidos de tamanho igual. Esse tamanho deve ser o maior
possível. Uma peça tem 90 metros, a outra tem 78 metros. De que tamanho Dona Estela deve cortar cada
pedaço de tecido?
3. Um marceneiro recebeu 40 toras, com 8 metros de comprimento cada uma, e 60 toras, com 6 metros de
comprimento cada uma eles devem cortar todas estas toras em pedaços de mesmo tamanho e o maior
possível. Qual será o tamanho de cada pedaço. E quantos pedaços serão obtidos?
4. Uma florista tem 24 rosas e 30 violetas. Ela quer fazer o maior número possível de ramos
iguais.Quantos ramos poderá fazer?
5. Num festival de música há 60 sopranos, 30 contraltos e 12 baixos. Pretende-se distribuir os cantores em
grupos de modo que em cada grupo, haja o mesmo número de sopranos, o mesmo número de contraltos
e o mesmo número de baixos. Qual o maior número de grupos que é possível formar?
6. Calcule
m.d.c.(8,16) m.d.c. ( 14,24) m.d.c. ( 03,10) m.d.c. ( 24,30) m.d.c. ( 15,25)