Lista de Exercícios 1

Cefet-Ba
Física Geral e Experimental III
Lista de Exercícios 1 – Campo Elétrico, Lei de Gauss e Potencial
Elétrico
Prof. Niels F. Lima
Exercícios extraídos de “Física”, vol. 2, de Keller, Gettys e Skove (Capítulos 20, 21 e 22)
20.Q1 – Suponha que os módulos da carga no elétron e no próton não fossem os
mesmos, diferindo, digamos, em 0,1%. O mundo seria diferente? Explique.
20.Q2 – Suponha que os sinais de carga nos prótons e elétrons fossem invertidos,
positivo para o elétron e negativo para o próton. O mundo seria muito diferente?
Explique.
20.Q7 – Após dois pares de meias serem retirados de um secador de roupas, o par A
permanece unido por um longo tempo, mas o par B não. Qual dos pares é feito de
material que é melhor condutor?
20.Q10 – Uma esfera condutora suspensa por um cordão é atraída para um bastão
carregado positivamente. A esfera tem necessariamente uma carga negativa? Outra
esfera condutora suspensa é repelida pelo bastão carregado positivamente. Essa
esfera tem necessariamente carga positiva?
20.Q11 – Uma esfera condutora carregada positivamente, suspensa por um cordão, é
repelida por um bastão carregado positivamente em longas distâncias, porém atraída
em pequenas distâncias. Mediante esboços, mostre como isso acontece.
20.Q21 – Quando liberada a partir do repouso em um campo elétrico, uma partícula
carregada positivamente começará a se mover ao longo de uma linha de campo
(admitindo que a força elétrica seja a força resultante). (a) A trajetória da partícula
seguirá a linha de campo se essa for reta? (b) Se não for reta? Se não seguir a linha
de campo, então sua trajetória irá se encurvar mais ou menos do que a linha de
campo?
20.Q23 – Explique por que as linhas de campo não podem se interceptar. Suponha
que as linhas se interceptem em um ponto; que significaria isso quanto à força
elétrica sobre uma partícula carregada naquele ponto?

20.Q27 – Considere um dipolo em um campo uniforme E; . Existe uma força elétrica
resultante sobre o dipolo? Em caso afirmativo, qual é a direção da força em relação a


E; ? Se o momento de dipolo é orientado perpendicularmente a E; , há um torque
sobre o dipolo? Em caso afirmativo, esse torque tende a orientar o dipolo

paralelamente ou em oposição a E; ?
20.Q28 – Suponha que um dipolo esteja em um campo elétrico e que seu momento



de dipolo p; aponte na direção de E; . Além disso, suponha E; não uniforme, de tal

forma que seu módulo aumente na direção de E; . Há uma força elétrica resultante

sobre o dipolo? Em caso afirmativo, a força elétrica resultante tem a direção de E; ou

a direção oposta a E; ? Reconsidere esta questão para o caso em que o módulo de


E; decresce na direção de E; .
20.E5 – (a) Se um objeto tem carga de +1,0 nC, quantos de seus elétrons estão
faltando? (b) Se um objeto tem carga de -3,0 nC, quantos elétrons extras contém? R
– (a) 6,25 × 109; (b) 1,875 × 1010.
1-6
20.E6 – Estime o número total de elétrons em um bloco sólido de 0,5 kg, admitindo
que o material tenha aproximadamente o mesmo número de prótons e nêutrons. Se o
bloco tem um excesso de carga de +10 nC, qual é a fração dos elétrons que faltam?
20.E11 – Três partículas com igual carga q estão nos vértices de um triângulo
eqüilátero de lado d. Qual é a força sobre cada uma das partículas? R - ;3 kq2/d2
dirigida a partir do centro do triângulo.
20.E15 – A força elétrica exercida por uma distribuição de carga sobre uma partícula
de +2,6 nC de carga, quando colocada em uma posição P, é dirigida verticalmente

para cima, com F = 0,58 N. (a) Em P, quanto é E; devido à distribuição? (b) Qual é
a força elétrica exercida por este campo sobre uma partícula colocada em P com carga
de -13 nC? (Nota: Para resolver este problema com as informações dadas, é preciso
admitir que a carga das partículas não seja demasiadamente grande a ponto de
perturbar a distribuição de cargas.) R- (a) 220 N/C para cima; (b) 2,9 mN para baixo.
20.E17 – Dentro da atmosfera da terra existe um campo elétrico, de módulo médio
igual a 150 N/C, que aponta para baixo. (a) Determine a razão carga/massa (em
C/kg) que um objeto deve ter para ficar suspenso no ar por forças gravitacionais e
elétricas. (b) Admita que o número de prótons e nêutrons seja o mesmo e determine
a fração dos elétrons em excesso dentro do objeto. Faça um comentário sobre a
viabilidade de tal experimento. R – (a) – 0,065 C/kg; (b) 1,4 × 10-9.
20.E19 – Coloca-se na origem uma partícula com carga de +5,8 nC. (a) Determine as
componentes cartesianas do campo elétrico devido à partícula nas posições (x,y,z)
dadas por: (15 cm, 0, 0); (15 cm, 15 cm, 0); (15 cm, 15 cm, 15 cm);
(10 cm, 20 cm, 0). (b) Determine E (módulo do campo) nas posições indicadas na
parte (a). R – (a) (Ex, Ey, Ez) = (2300 N/C, 0, 0); (820 N/C, 820 N/C, 0);
(450 N/C,450 N/C, 450 N/C); (470 N/C, 930 N/C, 0); (b) E = 2300 N/C; 1160 N/C;
770 N/C; 1040 N/C.
20.E24 – Um dipolo centrado na origem consiste em duas partículas, uma com carga
+1,6 × 10-19 C em z = +0,41 × 10-10 m e a outra com carga  1,6 × 10-19 C em

z =  0,41 × 10-10 m. (a) Determine p; . (b) Determine o campo elétrico no plano xy
devido ao dipolo, à distância de 1,0 m da origem. (c) Refaça a parte (b) para uma
distância de 2,0 m.
20.E27 – (a) Mostre que a integral que dá Ez para uma linha de carga no exemplo
20.6 é
Ez = Error!
(b) Mostre que Ez = 0.
(Nota: O exemplo 20.6 trata de uma linha de carga de comprimento 2ℓ com densidade
linear de carga uniforme igual a  disposta sobre o eixo z, com centro na origem, e
nele calcula-se o campo elétrico produzido num ponto qualquer contido no plano xy.)
20.Exercício extra: (a) Considere um anel carregado de raio a com carga total Q
distribuída uniformemente sobre seu perímetro. O anel está no plano yz e seu centro
na origem, o que significa que o eixo x lhe é perpendicular e passa por seu centro.
Mostre que, para um ponto qualquer no eixo x, as componentes do campo elétrico
são:
Ex = Error! ; Ey = Ez = 0.
(vide exemplo 20.7)
(b) Use o resultado obtido em (a) para mostrar que o campo elétrico produzido em
um ponto qualquer sobre o eixo x pela carga contida numa coroa circular de raio a e
2-6
largura infinitesimal da centrada na origem, parte de uma distribuição superficial
plana de carga com densidade  localizada no plano yz, é
dEx = Error! ; dEy = dEz = 0.
(c) A partir do resultado acima mostre que o campo elétrico produzido por um disco
plano de raio R0 carregado com densidade superficial de carga sobre um ponto num
eixo perpendicular ao disco que passa em seu centro, à distância da superfície do
disco d  R0, é aproximadamente igual a  na direção perpendicular ao disco, no
sentido que vai do disco ao ponto considerado (vide exemplo 20.8).
20.E39 – A grandeza, função da partícula, que determina a aceleração de uma
partícula carregada em um campo elétrico (supondo desprezíveis outras forças que
não a força elétrica) é a razão carga/massa da partícula. (a) determine, em C/kg, a
razão carga/massa para o elétron e para o próton. (b) Determine os módulos da
aceleração de um elétron e de um próton em um campo de módulo 1 N/C. (c) De
acordo com os resultados obtidos na parte (b), qual é a razão da aceleração do próton
para a do elétron? R – (a) 1,76 × 1011 C/kg, 9,58 × 107 C/kg; (b) 1,76 × 1011 m/s2,
9,58 × 107 m/s2; (c) 5,46 × 10-4.
20.E41 – Uma partícula carregada acelera do repouso em um campo elétrico uniforme
de módulo E = 5,6 × 103 N/C até uma velocidade de 5,7 × 105 m/s após percorrer
uma distância de 0,30 m. (a) Qual é a razão carga/massa da partícula? (b) Essa
partícula é um próton ou um elétron? R – (a) 9,7 × 107 C/kg; (b) próton.
20.E50 – Um canhão de elétrons em um TRC (tubo de raios catódicos) acelera os
elétrons por uma distância de 4,1 mm em um campo de módulo 5,9 kN/C. Qual é a
velocidade dos elétrons emitidos?
20.E51 – Em um TRC as placas defletoras têm dimensão de 57 mm ao longo da
direção do feixe de elétrons que entra, o módulo do campo entre as placas é 280 N/C
e os elétrons entram no campo deflector com uma velocidade de 2,9 × 106 m/s. Qual
é o ângulo de deflexão do feixe? R – 18°.
Atividade: Faça a atividade com o applet no final da página sobre a lei de Gauss do
curso online da UFRGS, pintando as áreas do círculo de vermelho ou azul conforme a
carga contida nas regiões seja respectivamente positiva ou negativa. Qual a carga
total no círculo cinza? (veja também
http://penta3.ufrgs.br/physlet/fisica/physlets/capit_9/ch9_problems/ch9_2_gauss/ga
uss9_2_4.html).
21.Q1 – Se E = 0 em todos os pontos de uma superfície, o fluxo para a superfície é
necessariamente zero? Supondo a superfície fechada, que se pode dizer quanto à
carga encerrada pela superfície?

21.Q2 – Se o fluxo para uma superfície é zero, é necessariamente verdade que E; =
0 em todos os pontos da superfície? Explique
21.Q3 – Se não há excesso de carga em nenhum ponto interior a uma superfície
fechada, o campo em cada ponto dessa superfície é necessariamente zero? O fluxo
para a superfície é necessariamente zero?
21.Q4 – Se o fluxo para uma superfície fechada é zero, pode existir excesso de carga
em pontos interiores? Explique.
21.Q5 – Se a carga líquida no interior de uma superfície fechada é zero, é possível
linhas de campo atravessarem a superfície? Se existem linhas de campo que
realmente atravessam a superfície, que se pode dizer sobre o número de linhas
dirigidas para o interior do volume delimitado, em comparação com o número de linha
dirigidas para fora?
3-6
21.Q8 – Uma faixa de Möbius é uma superfície unilateral que se constrói dando uma
torção em uma tira de papel e colando as extremidades. Pode-se achar o fluxo para
uma faixa de Möbius em um campo uniforme? Explique.
21.Q19 – Um condutor neutro de forma irregular encerra uma região oca de forma
também irregular, que contém uma partícula com carga q = +10 nC. Qual é a carga
na superfície interna do condutor? Qual é a carga na superfície externa do condutor?
Suponha que a partícula se mova para uma posição diferente na região oca. O valor
das cargas nas superfícies interior ou exterior seria afetado? As densidades
superficiais de carga, em pontos das superfícies interior ou exterior, seriam afetadas?
O campo exterior ou interior ao condutor seria afetado?
21.E7 – Uma superfície plana de 2,8 m2 está orientada de modo que seu vetor de
superfície é paralelo a um campo uniforme e 98 linhas de campo a atravessam. Qual é
o ângulo entre a direção do campo e o vetor de superfície quando a superfície é
orientada de modo que 38 linhas de campo a atravessem? R: 67º.
21.E9 – Uma superfície gaussiana esférica de raio 1,0 m está centrada em uma
partícula com carga de 1,0 nC. (a) Qual é a área da superfície gaussiana? R: 13 m2.
(b) Quanto é E em cada ponto da esfera gaussiana? R: 9,0 N/C. (c) Determine o fluxo
para a esfera gaussiana, com base em suas respostas das partes (a) e (b) R: 110
Nm2/C . (d) Refaça as partes (a), (b) e (c) para uma esfera gaussiana de raio 2,0 m.
R: 50 m2, 2,2 N/C, 110 Nm2/C.
21.E14 – Próxima da superfície da Terra existe um campo elétrico médio de cerca de
150 N/C dirigido para baixo. Estime a carga resultante sobre a Terra. Supondo que a
essa carga seja uniformemente distribuída sobre a superfície da Terra, estime a
densidade superficial de carga.
21.E15 – O campo elétrico dirigido para baixo na atmosfera da Terra decresce em
módulo com o aumento da altitude acima da superfície. Suponha E = 100 N/C a 200
m e E = 50 N/C a 300 m acima da superfície da Terra. Estime a densidade de carga
de volume média na atmosfera terrestre no intervalo de altitudes de 200 a 300 m. R:
4,4 x 10-12 C/m3.
21.E21 – Uma haste delgada retilínea tem uma carga de – 230 nC distribuída
uniformemente ao longo do seu comprimento de 6,3 m. (a) Determine a densidade

linear de carga. R: – 37 nC/m. (b) Estime E; próximo ao meio da haste a uma
distância perpendicular de 25 mm. R: 26 x 103 N/C para a haste.
21.E29 – Suponha um campo elétrico de 284 kN/C dirigido radialmente para fora, a
uma distância r = 15 mm do centro de uma distribuição uniforme esférica de carga de
volume. (a) Com base apenas nesta informação, determine as grandezas que puder:
a carga Q, o raio r0, a densidade de carga . (b) Com a informação adicional de que E
= 370 kN/C em r = 30 mm, determine as grandezas da parte (a) que puder.
21.E35 – O campo elétrico imediatamente exterior a um ponto P da superfície de um
condutor de forma irregular é 620 N/C dirigido para fora da superfície. Qual é a
densidade superficial de carga no ponto P? R: 5,5 nC/m2.
21. Problema 3 – Uma linha de carga coaxial com um tubo condutor. Um filamento
metálico, delgado, retilíneo, de 12 m de comprimento e Q = -74 nC, com densidade
linear de carga uniforme, é coaxial com um tubo condutor neutro do mesmo
comprimento; o raio interno é de 6,0 mm e o raio externo é de 9,0 mm. (a) Estime as
densidades de carga induzidas nas superfícies interna e externa do tubo. (b) Para
pontos no plano bissetor perpendicular, faça um gráfico de E versus R no intervalo de
R = 1,0 mm a R = 15 mm, onde R é a distância perpendicular ao filamento.
4-6

22.Q3 – Considere um ponto em que E; = Eî. A partir desse ponto, dê uma direção
(em termos de um vetor unitário) em que o potencial (a) aumente, (b) diminua, (c)
permaneça o mesmo.
22.Q7 – Suponha que uma pessoa lhe diga que a vida em Marte é impossível porque a
superfície do planeta tem uma voltagem de 20.000 V. Essa pessoa estaria certa?
Explique.
22.Q8 – Se a diferença de potencial entre dois pontos é zero, existe necessariamente
um trajeto ligando esses dois pontos sobre o qual o campo seja zero em cada ponto?
D~e um exemplo que corrobore sua resposta.
22.Q9 – Se existe uma trajetória sobre a qual o campo seja zero em cada ponto, a
diferença de potencial entre esses dois pontos é necessariamente zero? Dê um
exemplo que corrobore sua resposta.
22.Q20 – Em eletrostática, por que tem sentido falar do potencial de um objeto
condutor, mas não de um objeto isolante?
22.Q22 – É possível que um condutor com carga resultante positiva esteja em um
potencial negativo? Em caso afirmativo, descreva tal situação. Caso contrário, por
quê?
22.E3 – Suponha que uma partícula de teste com carga q0 = -6,0 nC e massa
m0 = 0,22 kg seja liberada do repouso a uma distância de 78 mm de uma partícula
fixa com carga q = 55 nC. Se a força elétrica é a única força atuando sobre a partícula
de teste, então (a) qual é sua energia cinética e (b) sua velocidade, quando está à
distância de 32 m da partícula fixa?
22.E9 – Uma partícula com carga de 27 nC está em uma posição onde o potencial (em
relação a V∞ = 0) é 450 V. Qual é a energia potencial da partícula (em relação a U∞ =
0)?

22.E15 – Considere um campo elétrico uniforme E; = -(220 V/m)î. (a) Qual é a
diferença de potencial entre a origem e (1,5 m , 0 , 0)? (b) Entre a origem e (1,5 m ,
1,0 m , 0)? (c) Entre (1,5 m , 0 , 0) e a origem? (d) Entre a origem e (3,0 m , 0 , 0)?
(e) Entre (1,5 m , 0 , 0) e (3,0 m , 0 , 0)?
22.E17 – O módulo da carga de cada placa de um capacitor de placas planas paralelas
é 260 nC, a separação entre as placas é 0,32 mm, e a área lateral de cada placa é
2,2 x 10-2 m2. Supondo as placas suficientemente próximas umas das outras para que
o campo seja considerado aproximadamente uniforme, (a) determine o módulo do
campo elétrico E entre as placas e (b) determine a diferença de potencial elétrico V
entre as placas.
22.E23 – Faça uma estimativa aproximada do potencial em pontos da superfície da
Terra (em relação a V∞ = 0). Suponha que o módulo do campo elétrico seja 150 V/m
na superfície da Terra, que decresça linearmente com a altura acima da superfície, até
zero na altura de 50 km, e que seja zero acima de 50 km. O campo é dirigido para o
centro da Terra. (O módulo de sua resposta terá um excesso múltiplo de 10 em razão
de nossas hipóteses rudimentares.)
22.E24 – Lembre-se que o módulo do campo longe das extremidades de uma linha de
carga longa, com densidade de carga linear uniformemente distribuída, é de
aproximadamente
E ≈ Error!
onde R é a distância perpendicular a partir da linha de carga. O campo é sempre
dirigido a partir da linha de carga (supondo  positiva). Mostre que a diferença de
5-6
potencial aproximada entre dois pontos a e b distantes dos extremos da linha de
carga é
Va – Vb = Error!ln Error!
onde Ra e Rb são ambos muito menores do que o comprimento da linha de carga.
22.E27 – O potencial em uma região do espaço é dado pela expressão
V = Error!
(a) Dado que A = 200 V.m e a = 0,5 m, determine V em x = 0,5 m. (b) Determine
4


uma expressão para E; na região. (c) Calcule E; em x = 0,5 m.
22.E31 – O campo elétrico em uma região do espaço entre x = 1,0 m e x = 3,0 m é
dado pela expressão

E; = [(380 V/m)e

x
a
]î
onde a = 2,0 m. Determine a diferença de potencial entre x = 3,0 m e x = 1,0 m,
V = V(3,0 m) – V(1,0 m). R: -290 V.
22.E34 – Uma distribuição de carga esfericamente simétrica tem raio de 41 mm e
potencial (em relação a V∞ = 0) de 600 V em sua superfície. (a) Qual é o raio da
superfície eqüipotencial de 300 V? (b) Qual é o raio da superfície eqüipotencial de 150
V? (c) Qual a quantidade total de carga distribuída na esfera?
22.E37 – Considere uma haste longa carregada uniformemente, centrada na origem e
orientada ao longo do eixo z. Esboce linhas de campo no plano xy e a interseção das
superfícies eqüipotenciais com o plano xy. Admita que a haste seja suficientemente
longa para que possa ser tratada como de comprimento infinito. Exiba quatro
superfícies eqüipotenciais e faça com que seus raios correspondam à mesma diferença
de potencial entre cada par sucessivo de superfícies (veja exercício 22.24).
22.P3 – Modelo de Bohr do hidrogênio. O modelo de Bohr do hidrogênio tem o elétron
orbitando o próton, da mesma maneira que um planeta órbita o Sol. Suponha que o
elétron tenha uma órbita circular e que o próton, de massa muito maior, permaneça
fixo. (a) Use a segunda lei de Newton aplicada ao movimento circular uniforme (F =
mv2/r) e a lei de Coulomb para mostrar que a relação entre a energia cinética K e a
energia potencial U é 2K = -U. (Note que U < 0). (b) Mostre que a energia mecânica
(K + U) para essa órbita circular, em termos da distância de separação elétronpróton, é –e2/80r. (c) A energia de ionização é a quantidade de energia necessária
para colocar o elétron a uma grande distância do próton. Isto é, é a diferença em
energia mecânica entre o estado ligado desse sistema [pela parte (b) acima] e o
estado em que a energia potencial e a energia cinética são ambas zero. Dado que a
energia de ionização é 13,6 eV, determine o raio da órbita do elétron. (d) Ache a
velocidade do elétron em sua órbita.
6-6