Circuitos RC e RL – Freqüência de Corte
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Circuitos RC e RL – Freqüência de Corte Introdução Utilizando conceitos de fontes de tensão alternadas, estudaremos os circuitos RC e RL, relacionando os componentes de cada circuito com determinadas freqüências da fonte, concluindo que os circuitos podem ser vistos como filtros de freqüências. Objetivos Inicialmente, encontraremos a relação matemática que rege os efeitos dos dois circuitos RC V e RL. Então,construímos o gráfico da curva de resposta de freqüência ( C f ) do circuito V0 RC; deste gráfico, extraímos a freqüência de corte f C , encontrada pela interseção das retas no gráfico referido. Feito isso, montamos um circuito RL e repetimos o procedimento. Concluindo, interpretamos os resultados, indicando porque estes circuitos podem ser filtros “passa baixa” e “passa alta”. Modelo Teórico Circuito 1: Resistor – Capacitor em série: Filtro de freqüência I) Figura I: Circuito 1 Para esse circuito, temos que: : VC 1 (1) 1 V0 2 2 2 2 2 1 4 f C R VR V0 R 2 1 R 2fC 2 1 2 (2) VC diminui com o aumento de f, assim, V0 apenas os sinais de baixa freqüência aparecem na saída. Por isso, dizemos que este é um circuito que funciona como um filtro passa baixa. Analisando a expressão acima, notamos que VR aumenta com o aumento da freqüência ( f ), ou seja, apenas os V0 sinais de alta freqüência aparecem na saída, sendo esta nova configuração um filtro “passa V V alta”. Ver curva teórica a seguir com as curvas do C e R . V0 V0 Já na expressão (2), Curva Teórica 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 Vc/V0 Vr/V0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Frequência (Hz) Figura 2: Gráfico da Curva teórica de C= 1F . VC V0 e VR . Os valores utilizados R=100 e V0 Neste circuito, quando a resistência R se iguala a reatância Capacitiva XC, a freqüência observada é chamada de “freqüência de corte” – f C . Para calcula-la fazemos: 1 , substituindo W 2f , temos WC 1 1 R fC 2f C C 2RC R XC Além disso, o gráfico da curva teórica nos mostra que neste valor da freqüência, os valores V VR e C são iguais, ou seja, os gráficos se cruzam. Podemos comprovar essa observação V0 V0 fazendo: VC VR 1 R 1 R2 1 1 1 V0 V0 1 2fCR 1 2fCR 2 2 R2 1 2 2fC 2 R 2 2fC R2 1 2fC 2 R 2 (1 2fCR) 2 f 1 fC 2RC da equação (1), fazendo f f C (2RC ) 1 , temos: VC V0 1 2RC 1 2RC 1 2 1 2 VC 0,7071 V0 fazendo o mesmo na equação (2), temos: VR VC R 2 2RC 2 R 2C 1 2 R (2 R 2 ) 1 2 VR 0,7071 V0 Portanto, para esta freqüência, a tensão no capacitor e no resistor é a mesma, indicando aproximadamente 70,7% da tensão máxima do gerador (V0). (II) Circuito II: Resistor – Indutor em série: filtro de freqüência Os filtros de freqüência também podem ser visualizados a partir de um circuito RL. V Podemos portanto, encontrar a relação L e, de forma análoga ao circuito I determinar V0 quando ele se comporta como um filtro de passa alta e baixa, encontrando também a freqüência de corte. Assim, temos: VL , X L WL XL V0 Z .L , I 2 Z R XL 2 VL V0 2 2 V V V X2 V0 R X L L 2 L 2 L XL R XL V0 V0 2 1 R 1 2fL 2 1 2 2 L 1 R 1 WL 2 (III) Agora, colocando no canal 2 do osciloscópio a resistência R do circuito 2, encontramos VR : V0 VR V0 Z I , Z R 2 X L2 R V V R V0 R 2 X L2 R R , X L WL 1 R V0 2 2 2 R X L I VR V0 R R 2 2fL 1 2 2 (IV) O comportamento das equações (III) e (IV) é mostrado abaixo: Curva Teórica - filtro com Indutor 1,00 0,80 0,60 Vc/V0 0,40 Vr/V0 0,20 0,00 0 1000 2000 3000 4000 5000 Frequência (Hz) Figura 3: Valores utilizados R=100 e L=3mH. 6000 VL , a tensão no indutor é baixa para baixas freqüências e V0 vice-versa. Portanto, esta montagem do circuito II é vista como um filtro passa-alta. Já para V a curva R , notamos que ocorre exatamente o inverso, sendo as maiores tensões no resitor V0 atingidas para menores freqüências. Esta montagem é, portanto, vista como um filtro passa baixa. Novamente, a freqüência de corte é atingida quando a reatância do indutor (X L) se iguala à resistência R, ou seja, Deste gráfico vemos que para R X L WL 2f C L fC R 2L Para verificar as relações entre tensões dos componentes R e L e de fonte para a freqüência de corte, através de suas amplitudes, temos: VR V0 VL V0 R 2 2RL 2 R 2L 1 2LR 2 1 2LR 1 2 1 2 R R 2 1 2 VR 0,7071 V0 VL 0,7071 V0 neste circuito a tensão nos componentes também fica a 70,1% da tensão total V0 fornecida pela fonte quando a freqüência de corte é ajustada, como no circuito I. Montagem Experimental Inicialmente, monta-se o circuito como na figura 1 e mede-se os valores V0 e VL para diversas freqüências. Então, liga-se o canal 2 do osciloscópio no resistor e mede-se para V V diversas freqüências os valores de VR e V0. Assim, constrói-se o gráfico R e C em V0 V0 função da freqüência, determinando o valor da freqüência de corte. Posteriormente, monta-se o circuito 2 e, de modo análogo ao anterior, encontra-se a freqüência de corte deste circuito. Previsões Circuito I: RC Sabendo que R=100ohm e C= 1F , podemos pré determinar “fC” fC 1 1 f C 1592,35Hz 2RC 2 100 10 6 Circuito II: RL Temos R=100ohm e L=50mH fC R 100 318,47 Hz 2L 2. .0,05 Dados Experimentais Após montar um circuito como mostrado na figura1, colhemos dados para tensão sobre o capacitor (VC) e tensão fornecida pela fonte (V0) para diferentes valores de freqüências do gerador (f). alternando a posição do canal 2 do osciloscópio, fazendo-o ficar focalizado sobre o resistor deste mesmo circuito, podemos também obter medidas para a tensão sobre o resistor (VR) em função de cada freqüência, analogamente. Esses dados são mostrados na tabela abaixo. Freq 1,10 1,16 1,22 1,30 1,35 1,40 1,50 1,57 1,63 1,72 1,77 1,83 1,90 1,96 2,00 Vo 1,030 1,015 1,010 0,990 0,990 0,975 0,965 0,950 0,950 0,940 0,935 0,930 0,930 0,925 0,925 Vc 0,800 0,780 0,752 0,722 0,708 0,684 0,656 0,632 0,612 0,592 0,580 0,564 0,546 0,534 0,526 Vc/Vo 0,777 0,768 0,745 0,729 0,715 0,702 0,680 0,665 0,644 0,630 0,620 0,606 0,587 0,577 0,569 Teór. 0,823 0,808 0,794 0,774 0,763 0,751 0,728 0,712 0,699 0,679 0,669 0,656 0,642 0,630 0,623 Erro 6% 5% 6% 6% 6% 7% 7% 7% 8% 7% 7% 8% 9% 8% 9% Freq 1,08 1,16 1,22 1,31 1,37 1,45 1,51 1,58 1,64 1,72 1,77 1,86 1,89 1,97 2,00 Vo 1,295 1,285 1,265 1,245 1,240 1,220 1,215 1,205 1,195 1,190 1,185 1,170 1,165 1,165 1,165 Vr 0,774 0,798 0,814 0,834 0,848 0,862 0,872 0,882 0,892 0,902 0,906 0,918 0,924 0,926 0,930 Vr/Vo 0,598 0,621 0,643 0,670 0,684 0,707 0,718 0,732 0,746 0,758 0,765 0,785 0,793 0,795 0,798 Teórico 0,562 0,589 0,608 0,636 0,652 0,673 0,688 0,705 0,718 0,734 0,744 0,760 0,765 0,778 0,782 Erro 6% 5% 6% 5% 5% 5% 4% 4% 4% 3% 3% 3% 4% 2% 2% Tabela 1: dados experimentais do circuito I, mostrando tensão do capacitor (VC) e tensão do resistor (VR) e tensão do gerador (V0) em função da freqüência (f). Com os dados da tabela 1, pudemos traçar o gráfico mostrando a relação da tensão sobre o V capacitor pela do fonte C e a freqüência (f) e a razão entre a tensão sobre o resistor pela V0 V fonte R V0 em função também da freqüência. Este gráfico é mostrado na figura a seguir: Medidas Realizadas - filtro com Capacitor 0,85 0,80 0,75 0,70 Vc/Vo 0,65 Vr/Vo 0,60 0,55 0,50 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 Freqüência (kHz) 2,00 Figura 4: V Verificando o gráfico “ C ” da figura acima, podemos verificar que antes de cruzar o V0 outro gráfico (ponto P), o circuito deixava passar uma parcela alta da voltagem fornecida. A partir dessa freqüência, somente uma baixa parcela da tensão total fornecida. A partir dessa freqüência, somente uma baixa parcela de tensão toral fornecida deixa-se passar. Por isso, dizemos que este circuito é denominado Passa Baixa. V O fenômeno inverso ocorre com o gráfico “ R ”. Após o ponto P quase que toda a V0 tensão fornecida é permitida pelo circuito. Assim, esta montagem (onde o canal 2 do osciloscópio concentra-se no resistor) é vista como um filtro passa alta. No ponto “P” onde os gráficos se cruzam, a freqüência lida é chamada freqüência de corte, a partir da qual cada montagem acima filtra as tensões. Neste gráfico, pudemos encontrar a freqüência de corte que ficou em torno de 1500 conforme esperado. Montamos então um segundo circuito, utilizando um indutor. Então, analogamente ao processo anterior obtivemos os seguintes valores, medidos com o auxilio do osciloscópio. Passa baixa com Indutor Freq [Hz] 200 298 499 698 898 1052 1200 1295 1404 1502 1600 1705 1800 2000 2470 +/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/- 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Passa alta com indutor Freq [Hz] 200 298 499 698 898 1052 1200 1295 1404 1502 1600 1705 1800 2000 2470 +/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/- 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Vo [V] 1,52 +/- 0,05 1,52 +/- 0,05 1,52 +/- 0,05 1,53 +/- 0,05 1,54 +/- 0,05 1,54 +/- 0,05 1,55 +/- 0,05 1,55 +/- 0,05 1,56 +/- 0,05 1,57 +/- 0,05 1,57 +/- 0,05 1,57 +/- 0,05 1,58 +/- 0,05 1,57 +/- 0,05 1,58 +/- 0,05 15,20 15,20 15,20 15,30 15,40 15,40 15,50 15,50 15,60 15,70 15,70 15,70 15,80 15,70 15,80 Vo [V] +/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/+/- 0,22 0,30 0,45 0,60 0,73 0,82 0,90 0,95 1,00 1,04 1,08 1,12 1,15 1,21 1,31 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 Vl [V] +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 +/- 0,02 0,14 0,20 0,30 0,39 0,47 0,53 0,58 0,61 0,64 0,66 0,69 0,71 0,73 0,77 0,83 Vl/Vo Teór. Erro +/- 0,67 0,13 9% +/- 0,38 0,20 1% +/- 0,19 0,32 6% +/- 0,12 0,42 7% +/- 0,09 0,51 8% +/- 0,08 0,58 7% +/- 0,07 0,63 7% +/- 0,06 0,65 6% +/- 0,06 0,68 6% +/- 0,06 0,71 7% +/- 0,05 0,73 6% +/- 0,05 0,75 5% +/- 0,05 0,77 5% +/- 0,05 0,80 4% +/- 0,04 0,86 3% Vr [V] 13,80 +/- 0,02 13,80 +/- 0,02 13,20 +/- 0,02 12,80 +/- 0,02 12,40 +/- 0,02 11,90 +/- 0,02 11,50 +/- 0,02 11,30 +/- 0,02 10,90 +/- 0,02 10,70 +/- 0,02 10,30 +/- 0,02 10,00 +/- 0,02 9,80 +/- 0,02 9,40 +/- 0,02 8,20 +/- 0,02 Vr/Vo 0,91 0,91 0,87 0,84 0,81 0,77 0,74 0,73 0,70 0,68 0,66 0,64 0,62 0,60 0,52 Teór. 0,99 0,98 0,95 0,91 0,86 0,82 0,78 0,76 0,73 0,71 0,68 0,66 0,64 0,60 0,52 Erro 8% 7% 8% 8% 6% 6% 5% 4% 4% 3% 4% 3% 3% 0% 0% Tabela 2: dados experimentais do Circuito 2 (RL), mostrando tensão do gerador, (V0), do indutor (VL) e do resistor (VR) em função da freqüência (f). Traçamos então, o gráfico seguinte, mostrando novamente uma comparação entre os dados experimentais e a curva teórica, obtida pelos modelos III e IV determinados na seção “Modelos teóricos”. Medidas Realizadas - filtro com Capacitor Medidas Realizadas - filtro com Indutor 1,00 0,90 0,80 0,80 Vc/ Vo 0,70 Vc/ Vo 0,40 Vr/ Vo Vr/ Vo 0,20 0,60 0,00 0,50 1,00 0,60 1,20 1,40 1,60 1,80 F r e q üên c i a ( k H z ) 2,00 0 500 1000 1500 2000 F r e q üên c i a ( H z ) 2500 3000 Neste gráfico, também verificamos modelos vistos como filtros passa baixa e alta. No caso V do gráfico “ L ”, após o ponto Q (referente a freqüência de corte) altas tensões (altas V0 V porcentagens) podem ser verificadas. Este é, portanto um filtro passa alta. Já o gráfico R , V0 somente uma baixa parcela da tensão fornecida pode ser verificada após a freqüência de corte. Este é, portanto, um modelo de filtro passa baixa. A freqüência de corte obtida pelo gráfico ficou em torno de 300 , conforme esperado. Conclusão Situando maiores concentrações de pontos nos gráficos da seção Dados Experimentais em torno da freqüência de corte de cada um, verificamos em ambos os casos uma boa concordância entre os valores experimentais da freqüência de corte e o valor teoricamente calculado na seção “Previsões”. Nos dois casos, o erro percentual mostrou-se baixo. Talvez este êxito se explique por uma grande quantidade de pontos obtidos durante o experimento. Apesar de pequena, a variação existente ocorre devido a alguma alteração nos valores nominais dos instrumentos, vistos que neste experimentado foi utilizado o valor nominal, ao invés de medir cada componente.
