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Matemática Aula 1
Prof. Marcílio
Fatoração, Conjuntos Numéricos e equações
1. Fatore as expressões abaixo:
a) 6x 2 - 7xy – 3y 3
b) 2x 2 - 3xy -2y 2 - xz + 7yz - 3z 2
2. A expressão ( a + b + c + d ) 2 + ( a + b - c - d ) 2 + ( a - b + c - d ) 2 + ( a - b -c -d ) 2 é
equivalente a:
a) 4(a 2 - b 2 + c 2 - d 2 )
b) 4(a 2 + b 2 - c 2 - d 2 )
c) 4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )
d) 4(a 2 + b 2 - c 2 + d 2 )
e) 4(a 2 - b 2 - c 2 - d 2 )
3. Demonstrar que para quaisquer números reais a, b e c tem-se:
a 2 + b 2 + c 2  ab + ac + bc
4. Sabendo que a + b+ c = 0, demonstre que a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
5. Decompor em fatores a expressão ( x + y + z ) 3 - x 3 - y 3 - z 3
6. ( UNICAMP-SP) Um número inteiro de três algarismos termina em 7. Se este
último algarismo for colocado antes dos outros dois, o novo número assim formado
excede de 21 o dobro do número original. Qual é o número inicial? Justifique sua
resposta.
7. ( UNICAMP-SP) Demonstrar que o número N = n 3 - n é divisível por 6 para
qualquer n natural.
8. ( ITA-SP) Determine todas as raízes da equação
x2  3
x
3
x
=
x 3 2
2
9. As raízes da equação x 2 + px + q = 0 aumentadas de uma unidade, são raízes da
equação x 2 - px + 2pq = 0. Determinar p,q e o conjunto solução de cada equação.
10. Resolver a inequação
contrários.
ax 2  b
< x, sabendo-se que a e b são números reais de sinais
ax  b
11. Encontrar todos os valores reais de r para os quais ( r 2 -1 )x 2 + 2(r – 1)x + 1> 0
qualquer x real.
12. Demonstrar que a expressão 3(
y
x2
y2
x
+
) – 8( + ) + 10 não é negativa
2
2
x
y
y
x
qualquer x e y não negativo.
Exercícios Extras
13. Fatore as expressões abaixo:
a) 2a 4 b 6 - a 2 b 3 - 3
b) a 6 + b 6
c) 3x 2 - 5xy + 2y 2 - 2xz + yz - z 2
d) ( b – c ) 3 + ( c – a) 3 + ( a + b) 3
14. Sabendo que x + y + z = 8, xyz = 2 e xy + xz + yz = 12, calcule o valor da
x2  y2  z2
expressão
xyz
x 2  ax  2
15. Para que valores de a   tem-se: -3< 2
<2, para todo x real?
x  x 1
16. Sabendo que a solução da equação x 2 - x - 6 = 0 são as raízes da equação
x 2 - ax + b = 0, podemos afirmar que:
a) a = 1 e b = 6
b) a = 0 e b = -6
c) a = 1 e b = - 6
d) a = 0 e b = - 9
e) não existem a e b que x 2 - ax + b = 0 contenha as raízes da equação dada.
17. Resolver a equação (m 2 -4) x = m -2, na variável x , onde m é um número real.
18. Demonstrar que para quaisquer valores de a, b, c e d é válida a desigualdade
a 4 b 4  c 4  d 4  4abcd .