propriedades das relações binárias internas

FATEC - SCS
MATEMÁTICA DISCRETA I
PROF. EDISON
PROPRIEDADES DAS RELAÇÕES BINÁRIAS INTERNAS
P.1 REFLEXIVA
R a b c d
a 1
b
1
c
1
d
1
Na tabela (matriz) a diagonal principal está totalmente preenchida
No grafo todos os elementos têm um arco- seta
São reflexivas as relações: mesma altura, mesma cor, divisor de, múltiplo de,etc
P.2 NÃO REFLEXIVA
R a b c d
a 0
b
1
c
1
d
0
Na tabela (matriz) a diagonal principal está parcialmente preenchida
No grafo, há pelo menos um elemento sem arco-seta
P.3 ANTI-REFLEXIVA
R a b c d
a 0
b
0
c
0
d
0
Na tabela (matriz) a diagonal principal está vazia
No grafo, nenhum elemento tem arco-seta
São anti-reflexivas as relações: é pai de, é avô de, é filho de, é maior que, é menor
que,etc
P.4 SIMÉTRICA
R a b c d
a x
1
b
x
c 1
x 1
d
1 x
Na tabela (matriz) os pares são simétricos em relação à diagonal principal
No grafo, as ligações entre elementos distintos têm setas duplas
São simétricas as relações: é irmão de, é amigo de, tem a mesma forma que, tem a
mesma idade que, tem a mesma altura que, etc
P.5 NÃO- SIMÉTRICA
R
a
b
c
d
a
x
1
1
1
b
1
x
1
1
c
1
1
x
1
d
1
1
x
Na tabela(matriz) há pelo menos um par que não tem o seu simétrico; a tabela não é
simétrica em relação à diagonal principal
No grafo, há pelo menos uma ligação que não tem setas nos dois sentidos (dupla)
P.6 ANTI-SIMÉTRICA
R
a
b
c
d
a b c d
x
1 x
1 1 x
x
Na tabela (matriz) não há pares em posições simétricas em relação à diagonal
principal
No grafo, não há qualquer ligação em ambos os sentidos
São anti-simétricas as relações: é pai de, é filho de, é maior que, é menor que, etc
P.7 ASSIMÉTRICA
R a b c d
a 0 0
b 1 0 1
c
0 0
d
0
Na tabela(matriz) a diagonal principal deve ser igual a zero e não pode ocorrer pares
simétricos.
No grafo, se de algum elemento partir seta para outro elemento, não pode haver seta
em sentido contrário
P.8 TRANSITIVA
R a b c d
a
1
1
b
1
c
d
Se (a,b) e (b,d) são pares de R então (a,d) também é par de R.
No grafo, se houver uma seta de a para b e outra de b para d, deverá haver uma seta
de a para d
São transitivas as relações: é menor que, é maior que, mora na mesma rua que, é da
mesma altura que, etc
P.9 NÃO- TRANSITIVA
R a b c d
a
1
b
1
c
d
R é não-transitiva se houver pelo menos um caso em que (a,b) e (b,c) são pares de R
mas (a,c) não é par de R.
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
R é chamada relação de equivalência se R for simultaneamente
REFLEXIVA
SIMÉTRICA
E
TRANSITIVA
Uma relação de equivalência sobre um conjunto determina uma partição desse
conjunto.
Partição de um conjunto A é o conjunto das partes de A tais que:
-a sua união é o conjunto A
-nenhuma é vazia
-sua intersecção é vazia
Essas partes são denominadas classes de equivalência
Chama-se classe de equivalência de um elemento a  A , segundo uma relação R e
representa-se por a ao conjunto de todos os elementos de A que lhe são
equivalentes, isto é, todos os elementos de A que estão relacionados com o elemento a
segundo a relação de equivalência R
RELAÇÃO DE ORDEM
Uma Relação R sobre um conjunto A é de ordem parcial se for simultaneamente
REFLEXIVA
ANTI-SIMÉTRICA
E
TRANSITIVA
SE, ALÉM DAS PROPRIEDADES MENCIONADAS ACIMA, UMA RELAÇÃO R
VERIFICAR TAMBÉM :
a, b  A, (a, b)  R  (b, a)  R a relação R é considerada de ordem total.
O efeito de uma relação de ordem sobre um conjunto A é a formação de uma série
ordenada de elementos de A.