elementos fundamentais da geometria

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Módulo I
1. ELEMENTOS FUNDAMENTAIS DA GEOMETRIA
O desenho é a expressão gráfica da forma, e deste modo não é possível desenhar sem o
conhecimento das formas a serem representadas.
Chamam-se elementos fundamentais da geometria o ponto, a linha e o plano. Este último é um
caso particular da superfície.
1.1. PONTO - O ponto determina uma posição no espaço, é um ente ideal, isto é, existe apenas
se relacionado a outros elementos. Ele não possui tamanho algum, mas por necessidade de
representação: chama-se ponto gráfico ao resultado do toque de um lápis no papel e de ponto
geométrico à interseção de duas linhas, sendo identificado por uma letra maiúscula de nosso
alfabeto.
Ex:
A
B
C
1.2. LINHA – A linha pode ser entendida como a representação gráfica obtida pelo
deslocamento de um ponto. É concebida como infinita, e a parte dela representada será
identificada por uma letra minúscula de nosso alfabeto.
Ex:
r
1.3. SUPEFÍCIE – A superfície pode ser definida como a representação gráfica obtida pelo
deslocamento de uma linha em direção diferente dela própria.
O PLANO, é um caso particular de superfície, também concebido como ilimitado, é
representado graficamente através de um paralelogramo, identificando-o por uma letra do
alfabeto grego. É o caso das letras: (alfa),  (beta), e  (gama).O plano tem duas dimensões:
sobre ele podemos medir comprimentos e larguras, mas nele jamais podemos medir
espessuras.Se tomarmos uma reta qualquer de um plano, dividimos o plano em duas partes,
chamadas semiplanos.
Num plano existem infinitos pontos.

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Desenho Técnico
2
2. LINHA
Quando deslocamos a ponta da grafite sobre a superfície do papel, temos como conseqüência à
representação gráfica de uma linha, que receberá denominação própria dependendo da
configuração resultante.
As linhas classificam-se em:
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Módulo I
2.1. LINHA RETA – Gerada pelo deslocamento de um ponto no espaço em uma única direção,
por definição, não possui início e nem fim, é ilimitada nos dois sentidos, podendo ser percorrida
em dois sentidos, pelo ponto gerador. Um destes sentidos se chama sentido positivo, e o outro
sentido negativo. A reta só tem uma dimensão: sobre ela só podemos medir comprimentos.
È aquela que pode ser geometricamente entendida como a menor distância entre dois pontos.
 É possível afirmar que por um ponto passam infinitas retas, porém, por dois pontos
quaisquer somente é possível passar uma única reta.
r
Notação: r – lê-se reta r
2.1.1 SEMI-RETA – É a representação obtida a partir da marcação sobre uma reta, de um ponto.
Cada semi-reta obtida será também identificada por uma letra minúscula do alfabeto latino com
um segmento orientado em um só sentido.
r
A
Notação: Ar - lê-se semi-reta Ar .
2.1.2. SEGMENTO DE RETA - É a representação obtida sobre uma reta pela marcação de dois
pontos distintos sobre a mesma. O segmento de reta será identificado pelas letras que o limita,
com um pequeno traço acima das mesmas.
A
B
r
 A reta a qual o segmento pertence é denominada de reta suporte. No exemplo anterior temos
que r é a reta suporte do segmento AB.
2.1.3. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO – Ponto médio é o ponto que divide um
segmento em dois outros segmentos congruentes.
A
Ponto Médio
O

B
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Desenho Técnico
2.1.4. MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO – É uma reta perpendicular que passa pelo ponto
médio do segmento.
Obs. Qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades do segmento.
2.1.5. SEGMENTOS COLINEARES – São segmentos que pertencem a uma mesma reta
suporte, como, por exemplo: AB e CD.
A
B
C
D
m
2.1.6. SEGMENTOS CONSECUTIVOS – São aqueles que possuem um ponto, início ou fim,
em comum, como por exemplo: AB, BC e CD.
B
D
A
C
2.1.7. SEGMENTOS COLINEARES E CONSECUTIVOS – São aqueles que satisfazem
simultaneamente as condições relativas a cada um desses segmentos, isto é, quando pertencendo
a uma mesma reta suporte a origem de um coincide com o final do outro. No exemplo abaixo,
AB e BC, BC e CD.
A
B
C
D
2.1.8. SEGMENTOS CONGRUENTES – Dois ou mais segmentos são congruentes quando têm
a mesma medida, exemplo: AB é congruente a CD. Indica-se: AB  CD.
A
C
B
D
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Módulo I
3. POSIÇÃO ABSOLUTA DA RETA NO ESPAÇO
A reta pode estar em posição vertical, horizontal ou inclinada.
- Vertical é a reta que coincide com a direção do prumo, instrumento utilizado pelo pedreiro
para verificar a verticalidade das paredes.
- Horizontal é a reta que segue a linha do horizonte (linha que separa o céu e o mar);
- Inclinada é a reta intermediária das posições horizontal e vertical tomadas como limites.
VERTICAL
HORIZONTAL
INCLINADA
4. POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS
 REVERSAS: são retas contidas em planos diferentes.
 COPLANARES: são retas contidas em um mesmo plano. Podem ser:
 PARALELAS, quando mantém sempre a mesma distancia entre si, prolongadas
até o infinito, não têm ponto em comum; as retas paralelas formam ângulo de 0°;
o paralelismo pode ser indicado pelo sinal 
 COINCIDENTES, quando possuem todos os pontos em comum.
 CONCORRENTES, quando possuem um ponto em comum. E podem ser:
o PERPENDICULARES quando, encontrando-se, formam entre si um ângulo de
90; a perpendicularidade pode ser indicada pelo sinal .
o OBLÍQUAS quando formam um ângulo diferente de 90° e 0°.
o CONVERGENTES – Quando se direcionam para um mesmo ponto, denominado
Ponto de Convergência.
o DIVERGENTES – Quando se originam de um mesmo ponto, então denominado
Ponto de Divergência.
PARALELAS
PERPENDICULARES
RETAS CONVERGENTES
OBLÍQUAS
RETAS DIVERGENTES
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6
Desenho Técnico
5. LINHA CURVA – Além de ser primitivamente entendida como toda linha não reta, a curva
pode ser também definida com figura gerada por um ponto que muda constantemente de posição
no espaço.
A linha curva pode ser: Côncava quando a curvatura está voltada para o observador e quando
acontece o inverso é conhecida como convexa.
Côncava
Convexa
6. LINHA COMPOSTA – É aquela formada pela reunião de linhas de mesma classe ou de
classes distintas e pode ser assim classificada.
7. LINHA POLIGONAL – Linha formada por segmentos de retas consecutivos e não
colineares.
Também conhecida como linha quebrada.
8. LINHA MISTA – É a linha formada por linhas retas e curvas.
9. LINHA SINUOSA – É a linha formada por uma sucessão de curvas em sentidos contrários.
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Módulo I
10. ÂNGULOS
É a região do plano formada por duas semi-retas de mesma origem.
V – vértice do ângulo
r e s – lados do ângulo
 - abertura do ângulo= medida do ângulo
Amplitude = Medida em grau,
radiano ou grado

Representação: r v s – lê-se ângulo r v s ou ângulo v ou  - lê-se ângulo alfa.
Os ângulos podem ser identificados de diferentes maneiras:
1- Letras minúsculas do alfabeto grego com acento circunflexo sobre ela;
2- Letra do alfabeto latino, maiúscula ou minúscula, com acento circunflexo sobre ela;
3- Quando o ângulo for formado por segmento de reta, ele será identificado pelas três letras
correspondentes aos pontos notáveis com acento circunflexo sobre a letra correspondente
ao vértice.
 Em um ângulo não importa a extensão dos seus lados, mas sim o espaço compreendido entre
eles.
11. BISSETRIZ, de um ângulo – é a semi-reta que tem origem no vértice e divide o ângulo em
dois ângulos congruentes (mesma medida).
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Desenho Técnico
12. CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
12.1. Quanto a sua grandeza:
 Ângulo Reto – quando seus lados formam um ângulo de 90.
 = 90º
V
 Ângulo Agudo – quando a abertura é menor do que um ângulo reto.
<90º
V
 Ângulo Obtuso – é o ângulo que possui sua abertura maior do que um ângulo reto e
menor que o ângulo raso (180°).
90º<  < 180º
V
 Ângulo Raso ou de Meia Volta – é o ângulo que 180, isto é, dois ângulos retos.
Tomando-se por referência o vértice, os seus lados são semi-retas opostas.
 = 180º
V
as
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Módulo I
 Ângulo Pleno ou de Volta Inteira – é o ângulo com medida igual a 360.
 = 360º
v
 Ângulo Nulo – é um ângulo que mede 0°.
v
12.2. Classificação quanto ao valor das somas das medidas:
 Ângulos Complementares – são dois ângulos que somados medem 90, ou seja, quando
os lados não-comuns são perpendiculares entre si.Complemento de um ângulo que falta
para que a soma das medidas seja 90°.
 é complemento de  e vice-versa
α + β = 90°


v
 Ângulos Suplementares – quando os lados não-comuns têm a mesma reta - suporte, ou
seja, são semi-retas de sentidos opostos. Portanto, dois ângulos são suplementares quando
sua soma vale 180°.

 é suplemento de  e vice-versa.
α + β = 180°
v

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Desenho Técnico
 Ângulos Replementares – quando o vértice e os dois lados desses ângulos são
coicidentes, ou seja, são aqueles que somados medem 360.
 é replemento de  e vice-versa.
α + β = 360°

v

13. FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
Uma figura qualquer é plana quando todos os seus pontos situam-se no mesmo plano. As
principais figuras planas são:
Círculo
Retângulo
Pentágono
Triângulo
Paralelogramo
Losango
Quadrado
Trapézio
Hexágono
Obs. As figuras planas com três ou mais lados são chamadas de PÓLIGONOS.
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Módulo I
14. TRIÂNGULOS
Triângulo é uma figura plana fechada por três linhas que se encontram. É o polígono de menor
número de lados, que resulta da interligação de três segmentos de reta consecutivos nãocolineares.
Obs. Condição de existência do triângulo: a < b + c.
14.1. ELEMENTOS:
-Lado – é uma das linhas que, em conjunto com outras, forma o triângulo, a linha que está
apoiada chama-se base;
-Ângulo – é o espaço interno compreendido entre duas linhas;
-Mediana – é a reta que sai do ponto médio de um dos lados do triângulo e encontra o vértice do
lado oposto;
-Altura – é a distância do vértice à base do triângulo (h).
Obs: A soma dos três ângulos internos de um triângulo é 180°
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Desenho Técnico
14.2. CLASSIFICAÇÃO:
14.2.1. Quanto ao tamanho dos lados:
EQUILÁTERO
(Três lados iguais)
ISÓSCELES
(Dois lados iguais)
ESCALENO
(Três lados diferentes)
14.2.2. Quanto à abertura dos ângulos:
ACUTÂNGULO
(Três ângulos agudos)
OBTUSÂNGULO
(Tem um ângulo obtuso)
RETÂNGULO
(Tem um ângulo reto)
Os lados que formam o ângulo reto
chamam-se cateto e o lado oposto
a 90° chama-se hipotenusa.
cateto
hipotenusa
cateto
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Módulo I
14.3 CEVIANAS
É todo segmento que tem uma extremidade num vértice qualquer de um triângulo e aoutra em
um ponto qualquer do lado oposto.
São três as cevianas: altura, mediana e bissetriz.
a) Altura: é a perpendicular traçada de um dos vértices ao lado oposto.
Obs: é a única ceviana que pode ser externa (no caso do triângulo obtusângulo).
B
B
hb
Hc
ha
ha
C
Hb
hb
hc
ha
hb
hc
A
Ha
Ha B Hc
Ha
A
Hb
C
A= Hb= Hc
C
hc
b) Mediana: é o segmento que liga um dos vértices ao ponto médio do lado oposto.
B
B
B
Ma
Mc
ma
mc
mb
C
A
A
Mb
C
C
A
c) Bissetriz: segmento que divide o ângulo interno em dois ângulos congruentes.
B
B
B
Ba
Bc
ba
A
bc
bb
C
A
Bb
C
A
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C
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Desenho Técnico
14.4. PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO:
a) ORTOCENTRO (H): É o ponto de encontro das alturas de um triângulo.
Obs: 1- no triângulo retângulo o ortocentro é o ângulo reto.
2- no triângulo obtusângulo o ortocentro se encontra no exterior.
B
hb
Hc
Ha
H ha
Hb
Ha
Hc
B
ha
hb
hc
ha
hb
hc
A
B
H
Ha
C
A
C
Hb
A= H
hc
C
b) BARICENTRO: É o ponto de encontro das medianas de um triângulo.
Obs: 1- está sempre no interior do triângulo.
B
mb
Mc
Ma
G
mc
ma
A
C
Mb
c) INCENTRO (I): É o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo.
Obs: O incentro é o centro da circunferência inscrita e para determinar o raio dessa
circunferência, faz-se necessário a determinação de um ponto de tangência, obtido traçando
uma perpendicular pelo incentro em direção a um dos lados.
B
T3
A
I
T2
T1
C
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Módulo I
d) CIRCUNCENTRO (O): É o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo.
Obs: 1- o circuncentro é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo.
2- no triângulo retângulo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa
B
O
A
C
14.5 CONSTRUÇÕES:
Triângulo Eqüilátero;
Triângulo Isósceles;
Triângulo Escaleno;
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Triângulo Retângulo;
15. QUADRILÁTEROS
São polígonos que possuem quatro vértices, quatro lados e quatro ângulos.
Obs: em todo quadrilátero a soma dos ângulos internos é sempre igual a 360°.
15.1. CLASSIFICAÇÃO: PARALELOGRAMOS, TRAPÉZIOS e TRAPEZÓIDES.
PARALELOGRAMOS : (lados opostos paralelos) Quadrado,Retângulo,Paralelogramo,Losango.
TRAPÉZIOS: (lados opostos paralelos denominados bases) Trapézio Retângulo, Trapézio
Isóscele, Trapézio Escaleno.
TRAPEZÓIDES – não possuem lados paralelos.
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Módulo I
15.2. Paralelogramo, é um polígono de quatro lados, tendo os lados opostos paralelos dois a
dois e ângulos opostos iguais.
Construção:
15.2.1 Quadrado, é um paralelogramo que possui os lados e os ângulos iguais.
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Desenho Técnico
Construção:
15.2.2. Retângulo, é um paralelogramo com lados paralelos iguais dois a dois, que formam
quatro ângulos retos.
Construção:
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19
Módulo I
15.2.3 Losango, é um paralelogramo com lados iguais, porém com ângulos não retos (agudos e
obtusos).
Construção:
15.3. Trapézio, é um quadrilátero que apresenta somente dois lados opostos paralelos entre si.
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Desenho Técnico
Construção:
15.3.1. Trapézio Escaleno;
(é o que tem quatro lados diferentes)
Construir um trapézio escaleno, conhecendo-se
A base maior, a base menor, o lado e um ângulo
Da base maior.
B = 5,0 cm
B = 2,5 cm
 = 60°
15.3.2. Trapézio Isósceles;
(apresenta dois lados iguais)
Construir um trapézio isósceles, dadas as bases e
a altura.
B = 5,0 cm
B = 3,0 cm
H = 4,0 cm
15.3.3. Trapézio Retângulo;
(apresenta dois ângulos retos)
Construir um trapézio retângulo, conhecidos:
A base maior (AB), base menor (CD) e um dos
Lados (BC).
B = 6,0 cm
b = 4,0 cm
l = 5,0 cm
16. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
Circunferência é a figura plana formada por uma linha curva e fechada, cujos pontos são
eqüidistantes (têm a mesma distância) de um ponto fixo chamado centro.
O – centro
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Módulo I
A circunferência divide o plano em duas regiões, uma interna e outra externa a ela.
CÍRCULO é a porção do plano limitada pela circunferência.
16.1. ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
– Raio: É o segmento de reta que une o centro a qualquer ponto da circunferência.
– Corda: É o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência
-Diâmetro: É qualquer corda que passa pelo centro da circunferência. É, pois, a maior corda e
divide a circunferência em duas partes iguais.
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-Arco: É uma parte qualquer da circunferência.
– Flecha: É a porção do raio perpendicular à corda.
s – Secante: É a reta que corta a circunferência em dois pontos. Sendo a reta- suporte da corda.
t – Tangente: É a reta ( t ) que toca a circunferência em um só ponto ( T ), chamado Ponto de
Tangência.
G
D
E
C
B
F
O
A
t
s
16.2. POSIÇÕES RELATIVAS DAS CIRCUNFERÊNCIAS
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Módulo I
16.3. REGIÕES DO CÍRCULO
16.4. ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA
17. POLIGONOS
A palavra Polígono é originária do Grego, Poli (muitos) e Gono (ângulo), sendo, portanto a
figura geométrica formada por muitos ângulos, ou seja, por uma linha poligonal, fechada.
17.1 ELEMENTOS DO POLÍGONO
- Vértice (E): é o ponto comum a dois lados consecutivos.
- Lado (AB): é o segmento que forma o polígono, une os vértices
- Ângulo Interno (b): ângulo convexo formado por dois lados consecutivos
- Ângulo Externo (a): ângulo suplementar do ângulo interno
- Diagonal (DF): segmento de reta que une vértices não-consecutivos
- Centro (O): ponto eqüidistante dos vértices, centro da circunferência inscrita e circunscrita nos
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Desenho Técnico
polígonos regulares
- Raio (OF): distância do centro ao vértice
- Apótema (OM): distância do centro ao ponto médio de um lado do polígono
- Ângulo Central (d): ângulo formado por dois raios consecutivos
D
E
Raio
C
O
Apot éma
F
A
M
B
17.2. CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS:
17.2.1. REGULARES – quando todos os seus lados e ângulos forem iguais.( Eqüilátero e
Equiângulo)
17.2.2. IRREGULARES – quando possui pelo menos um lado desigual.
Obs. Independente da regularidade de seus de seus lados, um Polígono pode ser ainda:
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Módulo I
17.2.3. CONVEXO – quando ao prolongarmos qualquer de seus lados, os mesmos não
interceptam nenhum outro lado. Todos os ângulos internos são convexos (menores que 180°).
17.2.4. CÔNCAVO (não convexo) – quando ao prolongarmos um lado, este intercepta pelo
menos um outro lado.Possui ângulo interno maior que 180°.
17.3. POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS
N° DE LADOS / DENOMINAÇÂO
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Tridecágono
Tetradecágono
Pentadecágono
Hexadecágono
Heptadecágono
Octadecágono
Eneadecágono
Icoságono
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Desenho Técnico
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17.4. POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS – quando os seus lados são cordas de uma
circunferência, por conseqüência, todos os vértices situam-se sobre a linha da circunferência.
17.5. POLÍGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS – quando estando a circunferência
inscrita, todos os seus lados, por conseqüência, são tangentes à mesma (circunferência).
18. DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS E INSCRIÇÃO DE
POLÍGONOS REGULARES.
A divisão da circunferência e conseqüentemente a inscrição de polígonos, podem ocorrer por
diversos processos. Temos como exemplos abaixo:
18.1. PROCESSO ÂNGULO CENTRAL, este processo deve ser utilizado somente quando o
quociente da divisão de 360° por N for exato, sendo N o número de lados do polígono:
Exemplo: uma circunferência corresponde a 360°. Se a dividirmos em partes iguais (arcos),
as cordas definidas serão congruentes entre si.
Hexágono – ângulo central: 360° = 60°
6
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Módulo I
18.2. PROCESSOS PARTICULARES
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Desenho Técnico
19. ÁREAS E PERÍMETROS
UNIDADES DE ÁREA.
A área de uma superfície é medida em metros quadrados (m2) ou num dos múltiplos ou
submúltiplos do metro quadrado, como por exemplo, o quilômetro quadrado (km2) e o
centímetro quadrado (cm2).
Recordemos que:
1 m2 é a área de um quadrado de lado de 1m;
1 km2 é a área de um quadrado de lado de 1km;
1 cm2 é a área de um quadrado de lado de 1cm.
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
área =6 cm2
área = 1 cm2
Quando dizemos área do quadrado, estamos nos referindo à área da superfície quadrada ou a
região quadrada que é constituída pelo quadrado e seu interior.
O mesmo acontece para outros polígonos. Portanto, a área do retângulo é a área da superfície ou
da região retangular, a área do triângulo é a área da superfície ou da região triangular, etc.
UNIDADES DE PERÍMETRO
O perímetro de uma superfície é medida em metros (m) ou num dos múltiplos ou submúltiplos
do metro, como por exemplo, o quilômetro (km) e o centímetro (cm).
Recordemos que:
Um quadrado (figura com 4 lados iguais), de lado = 1m, terá por perímetro a soma dos lados,
conseqüentemente, 4 lados x 1 m = 4 m;
Se a unidade utilizada for km, o perímetro será de 4 km;
1 cm
1 cm
perímetro = 4 cm
19.1. RETÂNGULO
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Módulo I
h
b = Base
h = Altura
b
ÁREA
A área de um retângulo é igual ao produto da medida da base pela da altura.
Indicando:
A=bxh
A = Área
Exemplo: Calcular a área de um retângulo de base 5 cm e altura 3 cm.
A = b x h = 5 x 3 = 15
Portanto, a área do retângulo é 15 cm2.
PERÍMETRO
O perímetro de um retângulo é igual à soma dos seus lados, ou seja, duas vezes a base mais duas
vezes à altura.
Indicando:
P = Perímetro
P = 2b + 2h
Exemplo: Calcular o perímetro de um retângulo de base 5 cm e altura 3 cm.
P = 2b + 2h = 2x5 + 2x3 = 10 + 6 = 16
Portanto, o perímetro do retângulo é 16 cm.
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30
Desenho Técnico
19.2. QUADRADO
l = Lado
l
l
ÁREA
A área de um quadrado é igual ao produto da medida da base pela da altura, como a medida da
base é igual à da altura e ambas representadas por l o lado do quadrado.
Aplicando a fórmula da área do retângulo para b = l e h = l, temos:
A=bxh=lxl=l2
Logo, a área do quadrado é igual ao quadrado da medida do lado:
A=l2
Exemplo: Para um quadrado de lado 4 cm, temos:
A = l 2 = (4) 2 = 16
Logo, a área do quadrado é 16 cm2.
PERÍMETRO
O perímetro de um quadrado é igual à soma dos seus lados, ou seja, quatro vezes a base ou
quatro vezes a altura.
P=4xl
Exemplo: Calcular o perímetro de um quadrado de lado igual a 3 cm.
P = 4 x l = 4 x 3 = 12 m.
Portanto, o perímetro do quadrado é 12 cm.
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Módulo I
19.3. PARALELOGRAMO
b = Base
h = Altura
l = Lado
l
h
b
b
ÁREA
A área do paralelogramo é igual à área do retângulo.
l
h
h
b
b
b
A área do paralelogramo é igual ao produto da medida da base pela da altura:
h
b
A=bxh
Exemplo: A área de um paralelogramo de base b = 5 cm e altura h = 4 cm.
A = b x h = 5 x 4 = 20
Portanto, a área do paralelogramo é 20 cm2.
PERÍMETRO
O perímetro de um paralelogramo é igual à soma dos seus lados, ou seja, duas vezes a base mais
duas vezes o lado.
P = 2b + 2l
l
b
b
Exemplo: Calcular o perímetro de um paralelogramo de base 6 cm e lado 5 cm.
P = 2b + 2l = 2x6 + 2x5 = 12 + 10 = 18
Portanto, o perímetro do paralelogramo é 18 cm.
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Elisabete Ulisses e Sônia Reis
32
Desenho Técnico
19.4. TRIÂNGULO
h
h
b
b
ÁREAS (FÓRMULA GERAL).
Podemos considerar qualquer um dos três lados como base do triângulo, que será representada
por b. A altura relativa à base será indicada por h.
h
h
b
b
A área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo. Concluímos que a área de um
triângulo é igual ao produto da medida da base pela da altura dividido por dois:
A= bxh
2
b
b
h
h
h
b
Exemplo:
A área do triângulo desenhado ao lado é:
A
=
bxh
4 x 4 = 16 8 cm2
=
=
2
2
2
h = 4cm
2
Portanto, a área do triângulo é 8 cm .
b = 4 cm
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Elisabete Ulisses e Sônia Reis
33
Módulo I
PERÍMETRO
O perímetro de um triângulo é igual à soma dos seus lados.
P=a+b+c
a
c
b
Exemplo: O perímetro do um triângulo isósceles com a base de 5 cm e lados 6 cm é de 17 cm.
P = a + b + c = 6 + 5 + 6 = 17 cm
19.5. TRAPÉZIO
b
b = Base menor
B = Base maior
h = Altura
a
h
B
ÁREA
A área de um trapézio é igual à soma das bases multiplicadas pela altura e divididos por dois.
Indicando:
A = Área
A = (B + b) x h
2
Exemplo: Calcular a área de um trapézio de base maior 6 cm, base menor 4 cm e altura 3 cm.
A = (B + b) x h = (6 + 4) x 3 = 5 x 3 = 15 cm2
2
2
Portanto, a área do trapézio é 15 cm2.
Profas. Ana Rita Reis, Catarina Alves, Elisa Casaes
Elisabete Ulisses e Sônia Reis
34
Desenho Técnico
PERÍMETRO
O perímetro de um trapézio é igual à soma dos seus lados.
Indicando:
P=B+b+h+a
P = Perímetro
Exemplo: Calcular o perímetro de um trapézio de lados: B = 6 cm, b = 4 cm, h = 3 cm e a = 2
cm.
P = 6 + 4 + 3 + 2 = 15
Portanto, o perímetro do trapézio é 15 cm.
19.6. LOSANGO
d = Diagonal menor
D = Diagonal maior
d
D
A área de um losango é a metade do produto das medidas das suas diagonais.
A = D.d
2
Exemplo: Calcular a área de um losango de diagonal maior 6 cm, diagonal menor 4 cm.
A = D x d = 6 x 4 = 12 cm2
2
2
Portanto, a área do losango é 12 cm2.
PERÍMETRO
O perímetro de um losango é igual à soma dos seus lados.
Indicando:
P = Perímetro
P=4xl
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35
Módulo I
19.7. CÍRCULO
R = Raio
D = Diâmetro = 2 x R
R
ÁREA
A área de um círculo é igual ao produto de π (PI) e o raio elevado ao quadrado.
π (PI) = Relação entre o comprimento da circunferência e o diâmetro = 3,1415....
Indicando:
A = Área
A = π R2
Exemplo: Calcular a área de um círculo de raio igual 3 cm.
A = π R2 = 3,14 x 32 = 28,26
Portanto, a área do círculo é 28,26 cm2.
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA = PERÍMETRO
Indicando:
P = Perímetro
P=2πR
Exemplo: Calcular o comprimento de uma circunferência de raio igual a 3 cm.
P = 2 π R = 2 x 3,1416 x 3 = 18,85
Portanto, o perímetro da circunferência é 18,85 cm.
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