6a. Lista de exercícios

4ª Aula – Exercícios de Programação Linear
OS EXERCÍCIOS A SEGUIR DEVERÃO SER RESOLVIDOS ATRAVÉS DO USO DO MÉTODO GRÁFICO.
1. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos e 5 cintos por hora, se
fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e
1 unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível
de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 reais e o de cinto é de
4 reais, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é
maximizar seu lucro por hora. Resolva o problema graficamente.
2. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 reais e o
lucro unitário de P2 é de 150 reais. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma
unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível
para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos
levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem
ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa e resolva o
modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da
empresa.
3. Uma empresa fabrica dois modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor
qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos
os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1000 unidades por dia. A
disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os
cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700
para M2. Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para M2. Qual o
programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Resolva-o
graficamente.
4. Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros são
de R$ 2.000,00 por alqueire de milho e de R$ 1.000,00 por alqueire de alfafa. Suponha
que suas limitações sejam: terra disponível é de 8 alqueires e água disponível para
irrigação de 80.000 litros sendo que deseja-se plantar no máximo 4 alqueires de milho.
Cada alqueire de milho requererá 10.000 litros de água para irrigação e cada alqueire
de alfafa requererá 20.000 litros de água. Modele e resolva o problema.
5. Resolva novamente o problema anterior supondo que seja requerido que mais de 50%
do total cultivado sejam plantados com alfafa.
6. Um carpinteiro possui 6 peças de madeira e dispõe de 28 horas de trabalho para
confeccionar biombos ornamentais. Dois modelos venderam muito bem no passado,
de maneira que ele se limitou a esses dois tipos. Ele estima que o modelo I requer 2
peças de madeira e 7hs de trabalho, enquanto o modelo II necessita de 1 peça de
madeira e 8hs de trabalho. Os preços dos modelos são, respectivamente, R$ 120,00 e
R$ 80,00. Quantos biombos de cada modelo o carpinteiro deve montar se deseja
maximizar o rendimento obtido com as vendas?
7. Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com
disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses
recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os
custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no
mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$ 120,00 por unidade e P2, R$150,00
por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de
recursos.
Produto
Recurso R1 por
unidade
Recurso R2 por
unidade
Recurso R3 por
unidade
P1
1.
2.
3.
P2
4.
5.
6.
100
90
120
Disponibilidade
de recursos por
mês
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Modele e resolva o
problema
8. Uma rede de, televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa
A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000
telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de
propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o
produtor insiste no uso de, no mínimo, 5 minutos para propaganda e que não há verba
para mais que 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve
ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores?
9. Formule e resolva o problema. Certo fabricante de combustível para avião vende 2
tipos de combustível, A e B. O combustível de tipo A possui 25% de gasolina 1, 25% de
gasolina 2 e 50% de gasolina 3. 0 combustível B tem 50% de gasolina 2 e 50% de
gasolina 3. Há disponível para produção 500 galões de gasolina 1 e 200 galões de cada
gasolina 2 e 3. Os lucros pela venda dos combustíveis A e B são, respectivamente, 20 e
30 dólares. Quanto se deve fazer de cada combustível para se obter um lucro máximo?
Formule e resolva o problema.
OS PROBELMAS A SEGUIR, APÓS SEREM FORMULADOS, DEVERÃO SER RESOLVIDOS
UTILIZANDO A FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL (Esses exercícios são opcionais – não caem na
prova).
1.
Uma companhia de armazéns tem 1200 dólares para alocar a um de seus armazéns.
Três produtos 1, 2 e 3 exigem 30, 3 e 15 m2 de espaço por unidade, respectivamente.
Há 1500 m2 de espaço disponível. O produto 1 custa 12 dólares, o produto 2 custa 4,50
dólares e o produto 3 custa 17 dólares. Quanto de cada produto deve ser comprado se
os preços de venda dos produtos 1, 2 e 3 são, respectivamente, de 15, 6 e 21 dólares, de
modo a maximizar o lucro? Formule o resolva problema.
2. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades
produtivas:
a) Arrendamento - Destinar certa quantidade de alqueires Para a plantação de cana de
açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra
R$ 300,00 por alqueire por ano;
b) Pecuária - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das
pastagens requer adubação (100 kg/alqueire) e irrigação (100.000 litros de
água/alqueire) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$400,00 por alqueire
por ano.
c) Plantio de Soja - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer
200 kg por alqueire de adubos e 200.000 litros de água por alqueire para irrigação por
ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$ 500,00 por alqueire por ano.
A disponibilidade de recursos por ano é de 12.750.000 litros de água, 14.000 kg de
adubo e 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade
para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão e resolva-o no
Excel.
3. Uma fábrica produz três tipos de chapas metálicas, A, B e C, que são primeiramente
prensadas e depois esmaltadas. A prensa dispõe de 1190 minutos livres por mês e cada
chapa, A ou B, leva um minuto para ser prensada, enquanto a chapa C leva o dobro do
tempo devido ao tamanho maior. Por outro, lado, a aplicação de esmalte nesta última
leva apenas um minuto, enquanto as chapas A e B exigem 3 e 4,5 minutos,
respectivamente. O total de tempo disponível na seção de esmaltagem é de 4000
minutos por mês. A demanda dos três tipos de chapas absorve facilmente toda a
produção e o lucro para a chapa A, B e C é de 5, 7 e 8 dólares por unidade,
respectivamente. Formule o problema de modo a maximizar o lucro e resolva-o.
4. Problema dado em classe: Formule, sob forma de programação linear, o problema a
seguir. Deseja-se determinar as misturas de 4 derivados do petróleo, que serão os
constituintes de três tipos de gasolina (extra, super e comum). 0 objetivo é maximizar o
lucro.
Constituintes
Máximo disponível (barris)
Custo/barril
1
5000
4
2
2000
7
3
6000
3
4
1000
6
A fim de manter a qualidade de cada tipo de gasolina, é preciso manter as
porcentagens dos diversos constituintes. Os preços de venda de cada tipo de
gasolina por barril também estão indicados na tabela abaixo.
Tipo de gasolina
Especificações
Preço
A
Não mais que 30% de 1
Não mais que 50% de 3
Não menos que 40% de 2
5,50
B
Não mais que 60% de 1
Não menos que 10% de 2
4,50
C
Não mais que 80% de 1
3,50
Resolva o problema usando a planilha EXCEL.
5. Três produtos químicos derivados do petróleo P1, P2 e P1 são utilizados na produção
de dois tipos de óleo para motor M1 e M2. Conhecemos as composições percentuais
das misturas (tabela Q1), a disponibilidade de PI, P2 e P3 (tabela Q2) e os lucros
unitários da venda de cada um dos produtos (tabelaQ3). Deseja-se saber como planejar
a produção de modo a maximizar o lucro total. Pode-se imaginar aqui que se trata do
planejamento mensal da firma, em função de um fornecimento conhecido e dos preços
e custos estabelecidos (ou previstos) para o período. Admite-se que o mercado tem
capacidade para absorver toda a produção.
Quadro Q1
Quadro Q2
P1
P2
P3
M1
30
50
20
M2
60
15
25
P1
Estoque 9000
em galões
Quadro Q3
P2
P3
7500
4000
Lucro
em R$
por
galão
M1
M2
12
10
7. Sabe-se que os alimentos leite, carne e ovos fornecem as quantidades de vitaminas
dadas na tabela abaixo:
Vitamina
Leite (litro)
Carne
(kg)
Ovos
(dúzia)
Quantidade diária
mínima
A
0,25 mg
2 mg
10 mg
1 mg
B
25 mg
20 mg
10 mg
50 mg
C
2,5 mg
200 mg
10 mg
10 mg
Custo diário
R$ 2,20
R$ 17,00
R$ 4,20
Deseja-se calcular quais as quantidades de leite, carne e ovos, a fim de satisfazer as
quantidades diárias mínimas de nutrientes a um custo mínimo. Formule e resolva o
problema no Excel.