Relação de Equivalência

Relação de Equivalência
Definição: Uma relação R sobre um conjunto E não vazio é chamando relação de equivalência sobre E se, e
somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, R deve cumprir, respectivamente, as seguintes
propriedades:
(i) se x  E, então x R x;
(ii) se x, y  E e xRy então yRx;
(iii) se x, y, z  E e xRy e yRz, entao xRz.
Exemplo:
1) A relação de R = {(a,a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}sobre E = {a, b, c} é uma relação de equivalência.
2) A relação de igualdade sobre IR é uma relação de equivalência, pois:
(x) ( x  IR  x  x)
(x, y ) ( x  y  y  x)
(x, y, z ) ( x  y e y  z  x  z )
3) A relação de congruência módulo m (em que m  Z e m > 1) sobre Z é uma relação de equivalência,
pois:
( x ) ( x  Z  x  x ( mod m ))
(  x, y ) ( x  y (mod m)  y  x (mod, m)
( x, y, z ) ( x  y (mod, m ) e y  z (mod m)  x  z (mod m))
4) A relação de paralelismo definida para as retas de um espaço E euclidiano é uma relação de
equivalência, pois sendo x, y e z retas de E, tem se:
(i)
(x // x)
(ii)
(x // y  y // x)
(iii) (x // y e y // z  x // z)
Definição 2: Seja R uma relação de equivalência sobre E. Dado a, com a  E, chama-se classe de equivalência
determinada por a, módulo R, o subconjunto de E constituído pelos elementos x tais que xRa. Em símbolos:
a { x E | x R a }
Definição 3: O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por E/R e chamado conjuntoquociente de E por R.
Exemplo:
1) Na relação de equivalência R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} temos:
a  { a, b}
b  { a, b }
c { c }
E / R  {{a, b },{ c }}
2) A relação R de congruência módulo m (m Z e m 1 ) sobre Z é uma relação de equivalência.Como é o
conjunto-quociente Z/R?
(i) Sendo a Z , efetuemos a divisão euclidiana de a por m, obtendo o quociente q e o resto r.
Temos
a = mq + r e 0  r < m
a – r = qm
a  r (mod m)
Portanto
a r
Concluímos que a é uma classe igual a r , em que r é o resto da divisão de a por m. Como
r {0,1, 2, ..., m 1} , vem:
e daí vem:
a {0, 1, 2, ..., m 1 }
(ii) Suponhamos que existam duas classes, r e s , iguais em {0, 1 , 2, ..., m 1 } , representados por
elementos r e s, digamos r < s. Então:
r  s e 0r  s m
De r  s segue que r  s (mod m) e, portanto, m | s-r; como 0 < s – r < m, isso é ímpossível.
Concluímos que {0, 1 , 2, ..., m 1 } é constituído por exatamente m elementos distintos dois a dois, ou seja:
Z / R  { 0, 1, 2, ..., m 1}
Proposição 1: Seja R uma relação de equivalência sobre E e sejam a  E e b  E. As seguintes proposições são
equivalentes;
(I) a R b
(II) ab
(III) b a
(IV) a  b
Demonstração: Devemos provar que (I)  (II)  (III)  (IV)  (I).
(I)  (II): É decorrência de definição de classe de equivalência.
(II)  (III): Como ab , então a R b. Daí, pela simetria de R, bRa e, portanto, b a .
(III)  (IV): Por hipótese, b a , ou seja, bRa. Logo, aRb. Temos de provar que a  b e b  a .
Para provar a primeira dessas inclusões, tomemos x a . Então , x R a e, levando em conta que a R b,
concluímos, pela transitividade de R, que x R b. Daí xb e, então, a  b .
Analogicamente se prova que b  a .
(IV)  (I): Como a a e bb , os conjuntos a e b não são vazios. Tomemos um xa  b . Então, x R
a e x R b. Daí, pela simetria de R, valem a R x e x R b. A transitividade de R garante, então, que a R b. #