FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll 1 Prof. Gil [email protected] Permutação: Podemos entender permutação simplesmente como, mudar de lugar. Exemplo: Antonio, Bernardo, Carlos e Daniel estão de pé diante de quatro cadeiras, de quantas formas podemos sentar estas pessoas. Se notarmos bem, para cada pessoa existe uma cadeira e a condição de mudar é praticamente fixa, ou seja, não temos como varia la. E como uma pessoa não pode estar em dois lugares ao mesmo tempo, concluímos que não haverá repetição. Uma maneira simples de se resolver esta condição, é imaginar os quatro lugares disponíveis, em seguida aloque as pessoas em suas devidas posições. EXEMPLO 1 2 3 4 lugares Quantas pessoas poderiam sentar na posição (A)? Resposta: Qualquer uma das 4 Quantas pessoas poderiam sentar na posição (B)? Resposta: Qualquer uma das 3 que restaram Quantas pessoas poderiam sentar na posição (C)? Resposta: Qualquer uma das 2 que restaram Quantas pessoas poderiam sentar na posição (D)? Resposta: Apenas aquela que restou. Sendo assim, o entrelaçar das informações fica: 4 X 3 X 2 X 1 = 24 Outra forma de se resolver esta condição é fazendo o uso de fatorial: n! Este (n) acompanhado com o ponto de exclamação representa a condição matemática conhecida como Fatorial, ou seja, todo número que ocupar o lugar do (n), deverá ser multiplicado por todos os seus antecessores. Sendo assim, temos 4! = 4 X 3 X 2 X 1 = 24 . Outros exemplos: 3! = 3 x 2 x 1 = 6 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 2 x 1 = 720 : FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Sendo assim, responda: De quantas maneiras uma menina pode combinar cinco pulseiras em seu braço? Quanto número de três algarismos pode construir com os seguintes valores: { 4,7, 2 } Bruna, Beatriz, Bernadete são irmãs e todos os dias procuram uma maneira diferente de sentarem ao banco traseiro do automóvel de sua mãe. Calcule tais possibilidades. Os sorvetes de chocolate, creme, morango e flocos podem ser montados de quantas maneiras no interior de uma taça? 2 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Arranjo Simples: Vamos usar o mesmo exemplo das cadeiras, porém com uma pequena diferença: Seis pessoas para sentar em quatro cadeiras. Assim como no primeiro exemplo, uma pessoa não pode estar em dois lugares ao mesmo tempo, logo não teremos repetição. EXEMPLO 1 2 3 4 lugares Quantas pessoas poderiam sentar na posição (A)? Resposta: Qualquer uma das 6 Quantas pessoas poderiam sentar na posição (B)? Resposta: Qualquer uma das 5 que restaram Quantas pessoas poderiam sentar na posição (C)? Resposta: Qualquer uma das 4 que restaram Quantas pessoas poderiam sentar na posição (D)? Resposta: Qualquer uma das 3 restantes A diferença entre este e o primeiro é o cuidado ao trabalhar com os números restantes, pois haverá casos que exigem a presença obrigatória de um deles ou não. Sendo assim, o entrelaçar das informações fica: 6 x 5 x 4 x 3 = 360 note: não funciona como no fatorial, pois os demais antecessores não participam da operação. A fórmula correspondente a esta operação é: p A n n! (n – p)! = 6! (6 – 4)! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 360 2x1 3 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Sendo assim, responda: Tendo em mão os adesivos com as seguintes inscrições: (Formulários em branco), (Segundas vias), (Faturadas), (Não recebidas), (Protestadas) e (Devolvidas). Um estagiário do departamento de emissões de notas recebeu a incumbência de etiquetar quarto gavetas de um arquivo. De quantas maneiras isso será possível, uma vez que cada gaveta receberá apenas uma delas? Um químico ter a sua disposição 6 pigmentos para compor uma nova cor de tinta. Quantas cores poderão surgir uma vez que a formula requer apenas quatro deles? Uma cozinheira tem a sua disposição 8 legumes para criar uma salada que apresente 3 deles. Quantas serão? Uma secretaria do departamento de manutenção terá que enviar quatro de seus técnicos para atender uma ordem de serviço. Quantas equipes possíveis poderá formar sabendo que o departamento dispõem de nove funcionários? 4 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Combinação Simples: Vamos continuar com a idéia da formação de equipe de trabalho. Um departamento que dispõem de 30 funcionários, quantas possíveis equipes de quatro em quatro técnicos estarão disponíveis? p C n! p!(n – p)! n 30! = 4! (30 – 4)! 657720 24 = 27405 = 30x29x28x27x26x25x24x23x22x21x20x19x18x17x16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 4x3x2x1 (26x25x24x23x22x21x20x19x18x17x16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1) combinações de pessoas, reunidas de quatro em quatro. Procurando ficar mais simples, vamos propor um outro exemplo. Imagine um campeonato de futebol, onde 15 times estão participando. Quantos jogos serão possíveis? Em primeiro lugar, temos que ter em mente que para haver um jogo é preciso a existência de dois times. Logo 15 reunidos dois a dois. 15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 210 2x1 (13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1) = 105 jogos com todas as possíveis combinações 2 Qual a diferença entre estes três métodos? A permutação: apenas muda as coisas de lugar, desde que a quantidade é correspondente. O arranjo: faz a joga com as coisas, mas não se preocupa se sobrar elementos. A combinação : verifica todas as possíveis maneiras de se agrupar os elementos. 5 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Sendo assim, responda: Uma empresa de topografia monta suas equipes da seguinte forma: 1 topógrafo e dois auxiliares. Quantas equipes com esta característica podem ser formadas com 30 funcionários? Uma escola possui 30 alunos que participam do grupo de teatro. Neste semestre foram escritas peças que necessitam de 8 pessoas para atuarem. Seguindo a idéia de combinação simples, calcule a quantidade dos possíveis grupos. Os professores de matemática, português, ciências, historia, geografia e inglês estão por acertar o calendário de provas. No entanto, existe uma regra no regimento que estabelece a condição de apenas duas por dia. Diante da mesma combine-as de forma que este calendário seja possível. 6 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll 7 Prof. Gil [email protected] Procurando entender melhor tudo isso, temos: PERMUTAÇÂO: Apenas a troca dos algarismos, sem preocupação de se obter um valor desejado e sim as possíveis possibilidades. Com os números { 1, 2, 3 e 4 } podemos obter quantos novos números de (2) algarismos? EXEMPLO 1 2 Com repetição (ñ distintos) 4 x 4 = 16 lugares Sem repetição (distintos) 4 x 3 = 12 ARRANJO SIMPLES: Requer cuidados para se obter valores desejados. Com os números { 1, 2, 3, e 4 } podemos obter quantos novos números terminados em (2)? Com repetição (ñ distintos) 4 x 1 = 4 Sem repetição (distintos) 3x1 = 3 COMBINAÇÃO SIMPLES: Requer uma visão mais apurada sobre os arranjos, ou seja, quantas combinações podem ocorres? Tomando como partida a permutação teremos: Ñ distintos 16 11, 12, 13,14, Distintos 12 12, 13,14, 21, 22, 23,24, 21, 23,24, 31, 32, 33,34 41, 42, 43,44. 31, 32, 34 41, 42,43. ATENÇÃO: Combinação 2 a 2 4! 2! ( 4!-2!) 4x3 2 = 12 2 = 6 (12) e (21) / (13) e (31) / (14) e (41) / (23) e (32) / (24) e (42) / (34) e (43) 1 2 3 4 5 6 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll 8 Prof. Gil [email protected] Permutação com repetição: Este caso é muito usado quando existir coisas repetidas e para melhor entendermos, vamos fazer uso da palavra: TARTARUGA. Observe que a letra T (2) vezes A (3) vezes R (2) vezes U (1) vez G (1) vez 9 Letras teremos 9! Equivalente ao total teremos 3! Equivalente ao A teremos 2! Equivalente ao T teremos 2! Equivalente ao R Resolvendo temos: C = possíveis permutações A, B, C... 3 Pn P n = elementos envolvidos A, B, C = elementos 9 2 2 X P 6 X P 4 1 X P 2 X 1 repetidos O primeiro bloco corresponde aos 3 (A) e seus (9) elementos. O segundo bloco corresponde aos 2 (T), porém menos 3 ( razão do 6) O terceiro bloco corresponde aos 2 (R), porém menos 2 ( razão do 4) O quarto bloco corresponde aos 2 que não repetiram, porém menos 1 (razão do 1) Podemos simplificar da seguinte maneira: 9! 3! 2! 2! 1! 1! = 9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 15120 3x2x1 x 2x1 x 2 x 1 Informações como estas são aplicadas em estuda de probabilidade, com intuito de se encontrar o conjunto amostral e dele o espaço amostral. FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll 9 Prof. Gil [email protected] Estudamos os experimentos aleatórios equiprováveis ou, sejam, aqueles que qualquer resultado pode ocorrer com uma mesma chance. Exemplo: Lançado uma moeda, a probabilidade de ocorrer CARA e igual à de ocorrer COROA. Elementos probabilísticos Espaço amostral Elementos Espaço amostral É o conjunto ou universo de todos os resultados possíveis em um experimento Evento Qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplo: Espaço amostral no lançamento de um dado. U = ( 1, 2 ,3, 4, 5 ,6, ) Evento- números pares. A = ( 2, 4, 6, ) Probabilidade Podemos dizer que é a possibilidade de ocorrência e um evento. Sendo (U) o número de elementos do espaço amostral e (A) o numero de elementos de um evento a probabilidade de acorrência é dada por: P = nA - evento nU – espaço Vejamos: Na escolha do um número de um dos lados, qual a probabilidade de ser sorteado um que seja par? Em uma sequência de números de 1 a 30, qual a probabilidade de ser sorteado um que seja múltiplo de 5? No lançamento de dois dados simultâneos qual a probabilidade de se obter a soma igual a 7? U = (1,2,3,4,5,6) (nU) = 6 A = (2,4,6) (nA) = 3 U= (1,2,3......30) (nU) = 30 A = (5,10,15,20,25,30) (nA) = (6) U = (1,1); (1,2); ..... (6,5); (6,6). (nU)= 30 Calculando: P = A = 0,5 U Atenção: probabilidade sempre em % 0,5 X 100 = 50% Calculando: P = A = 0,2 U Atenção: probabilidade sempre em % 0,2 X 100 = 20% Calculando: P = A = 0,2 U Atenção: probabilidade sempre em % 0,2 X 100 = 20% A = (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) (nA)=6 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Exercícios: (1-) Em um sorteio de números de 1 a 100, qual a probabilidade de um número sorteado ter dois algarismos: Distintos (diferentes) Não Distintos (iguais) 2-) Dois jogadores (a),(b) lançam um dado apenas uma vez. Vence quem tirar o maior número. Sendo assim, se (a) tirar o número 2: Qual a probabilidade de (a) ganhar? Qual a probabilidade de (b) ganhar? Qual a probabilidade de haver empate? 3-) Em uma sala de aulas com 40 alunos, qual a probabilidade de: Um, que tenha nascido no sábado? Um, que tenha nascido em um mês que não possui a letra “R” em seu nome? 10 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] 4-) Vinte e seis homens e 14 mulheres participam de um bingo, se não houver empate qual a probabilidade de um vencedor ser homem? 5-) Em um baralho com ( 52 cartas ), qual a probabilidade de: Se retirar ao caso um rei? Se retirar ao caso um rei de paus? Se retirar uma carta de ouro? Se retirar uma carta cujo valor “numérico” seja inferior a 4? 6-) Em uma caixa há vinte bolas verdes e trinta vermelhas. Mediante a um sorteio com reposição, diga: Qual a probabilidade de se obter uma verde? 11 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Qual a probabilidade de se obter uma vermelha? 7-) Em um baú há dez bolas azuis e quarenta bolas pretas. Mediante a um sorteio sem reposição, diga: Qual a probabilidade de se obter seis azuis? Qual a probabilidade de se obter oito pretas? 8-) Qual a probabilidade de sair um número impar no primeiro lançamento de um dado? 9-) Com a palavra Ari: (sem repetir) Qual o espaço amostral? Qual a probabilidade de uma palavra terminada com (a) 12 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Qual a probabilidade de se encontrar um sentimento? Qual a probabilidade de se encontrar o nome de dois homens? 10-) Considere um grupo de seis pessoas, sendo 5 meninos e uma menina e com eles pretende-se montar uma comissão de três pessoas. (Responda sem repetição) Qual o total de comissões? Em quantas destas comissões estará a menina? (probab.) Em quantas destas comissões a menina não estará? (probab.) 11-) Mariana, Odete, Carlos, Maria, Ivo pretendem formar um grêmio escolar, sendo assim: Qual a probabilidade de Carlos ser o presidente? Qual a probabilidade de Maria ser a presidente? 13 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] 12-) Observe o quadro ao lado e responda: 14 Qual o espaço amostral? 132 133 132 132 132 135 132 134 136 136 134 132 135 136 137 132 135 132 136 135 Qual a probabilidade de um número par? Qual a probabilidade da soma entre as centenas ser um número maior que 8? Qual a probabilidade da soma entre as centenas ser um número menor que 7? Adição de Probabilidades: Para melhor entendermos este tópico, vamos imaginar uma prova de Direito com duas questões, 20 alunos acertaram as duas, 50 acertaram a primeira e 40 acertaram a segunda. Mas sabendo que no total de alunos houve o acerto de pelo menos uma delas, responda: Quantos alunos fizeram a prova? 50 que acertaram a primeira menos 20 que acertaram as duas temos a 50 - 20 quantidade de acertos só da primeira. 20 (30) 20 que acertaram as duas 40 - 20 40 que acertaram a segunda menos 20 que acertaram as duas temos a quantidade de acertos só da segunda. Sendo assim, fica fácil concluir que 70 alunos fizeram a prova. (20) FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll 15 Prof. Gil [email protected] Qual a probabilidade referente aos alunos que acertaram as duas? Resposta: 20/70 = 0,2857 = 28,57% Qual a probabilidade referente aos alunos que acertaram pelo menos uma questão? Resposta: (30 + 20) / 70 = 50/70 = 0,7142 = 71,42% adicionar as quantidades. Em teoria dos conjuntos, isso é chamado de união do espaço amostral. Para reforçar esta idéia, imagine o Existem situações onde teremos que lançamento de dois dados e calcule a probabilidade de que a soma entre as faces seja igual a 7 ou 9: Como Resolver? Primeiro qual o é espaço amostral? Resposta: 36 Quais os números que permitem a soma igual a 7? (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) = 6 Quais os números que permitem a soma igual a 9? (3,6), (6,3), (5,4), (4,5) = 4 Sendo assim, soma igual a 7 = 6/36 soma igual a 9 = 4/36 6/36 + 4/36 = 10/36 = 0,2777 = 27,77% Este exemplo teve a finalidade de mostrar que quando a probabilidade receber a condição ou, teremos que somar os valores existentes. OBSERVAÇÃO: fica mais fácil se trabalhar com decimal. Exercícios: 1) Retirando uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ser um valete, dama ou rei? 2) Em uma série de números de 1 a 20. Qual a probabilidade de um número escolhido ao acaso ser primo ou impar? FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] 3) Em uma sala com 20 homens e 12 mulheres percebeu-se que 8 homens estavam usando óculos e 4 mulheres também. Escolhendo-se aleatoriamente uma destas pessoas,qual a probabilidade de: Uma mulher usar óculos? Um homem usar óculos? Uma mulher ou um homem usar óculos? Uma mulher ou um homem? Uma mulher ou um homem usar óculos? 4) Numa turma de 44 alunos, 28 têm olhos castanhos, 8 têm olhos negros, 6 têm olhos verdes, 2 têm olhos azuis. Qual a probabilidade de: Um aluno que possua os olhos azuis ou verdes? Um aluno que possua os olhos negros ou azuis? Um aluno que possua os olhos negros ou verdes? 16 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll 17 Prof. Gil [email protected] Multiplicação de Probabilidades: Existem outras situações em probabilidade que para serem resolvidas, será preciso fazer uso da multiplicação das probabilidades. Exemplo: Uma sacola contendo 12 bolas, sendo 8 brancas e 4 azuis, ao se tomar aleatoriamente uma delas: Qual a probabilidade de uma ser azul? Qual a probabilidade de uma ser branca? Acredita-se que até aqui não existe novidades, mas, se a pergunta for: Qual a probabilidade de duas bolas azuis? Como resolver? Primeiro a probabilidade da bola azul: p(A) = n(A) / n(E) p(A) = 4 / 12 = 0,3333 = 33,3% Segundo a probabilidade da bola branca: p(A) = n(A) / n(E) p(A) = 8 / 12 = 0,6666 = 66,6% Partindo do todo, esta seria a forma individual de se encontrar as probabilidades. Mas o problema em questão, diz duas azuis, ou seja, primeira azul e a segunda azul. Então se deve partir da idéia que temos 4 bolas dentro de 12. Logo 4 / 12 e ao retirar uma sobraram 3 / 11. Diante destas informações teremos: p ( A e B ) = 4 / 12 x 3 / 11 = 12 /132 = 0,090 = 9% A função e é diferente da função ou, ou seja, ela precisa que as probabilidades sejam multiplicadas e ou precisa que sejam somadas. FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll 18 Prof. Gil [email protected] Diante desta informação resolva os seguintes exercícios: Considere duas caixas contendo fichas coloridas, onde a primeira contém 9 pretas e 5 verdes, quanto que segunda contém 7 amarelas e 8 verdes. Qual a probabilidade de: Conseguir fichas verdes? Conseguir fichas amarelas? Conseguir fichas pretas? Retirar uma de cada caixa, qual a probabilidade de se conseguir uma amarela e uma preta? No lançamento de uma moeda e um dado, qual a probabilidade de se obter uma cara e o número 5? Em um lote de peças contém 7 parafusos, sendo 3 pequenos e 4 grandes. Ao retirar aleatoriamente 3 deles qual a probabilidade de: Se pegar dois pequenos e um grande? Uma moeda é lançada duas vezes consecutivamente, qual a probabilidade de: Ocorrer cara? Ocorrer coroa? Ocorrer uma cara e uma coroa? FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Em uma caixa há 12 bolas: 4 pretas e 8 brancas. Em outra caixa há 10 bolas: 6 pretas e 4 brancas. Tirando ao acaso uma bola de cada caixa,qual a probabilidade que: A bola retirada da primeira caixa seja preta e a da segunda seja branca A bola retirada da primeira caixa seja preta e da segunda também? Em uma caixa há fichas numeradas de 1 a 9 e, em outra, de 11 a 19.Tirando-se uma ficha de cada caixa,qual a probabilidade de: As duas fichas estarem com números pares? As duas fichas estarem com números impares? a primeira ser um número para a segunda ser impar? 19 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Em uma caixa há fichas numeradas de 1 a 9 que serão sorteados com duas retiradas sucessivas sem reposição qual a probabilidade de que os dois números sorteados sejam: Pares Impares Resolva o problema anterior, supondo que haja reposição, isto é, uma vez sorteada a primeira ficha, ela e recolocada na caixa. Pares. Impares 20 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Sorteados três vezes, sem reposição, os números da caixa do exercício anterior, qual a probabilidade desses números: Serem todos pares Serem todos impares Serem os dois primeiros pares e o ultimo impar? Resolva o exercício anterior, supondo desta vez a reposição das fichas Serem todos pares Serem todos impares Serem os dois primeiros pares e o ultimo impar? 21 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Uma urna tem 10 bolas: 6 pretas e 4 brancas, de onde serão retiradas, ao acaso, 2 bolas, sem reposição. Calcule as probabilidades de. Ambas as bolas sejam pretas Ambas as bolas sejam brancas A primeira bola seja preta e a segunda branca A primeira seja branca e a segunda preta Resolva o exercício anterior considerando que tivesse reposição. Dê a resposta em porcentagem Ambas as bolas sejam pretas Ambas as bolas sejam brancas 22 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] A primeira bola seja preta e a segunda branca A primeira seja branca e a segunda preta Lançando-se um dado 3 vezes, qual e a probabilidade de que saiam 3 números sucessivos? Jogando-se um dado 3 vezes qual a probabilidade de. Caia o número 3 Não caia o número 3 Caia o mesmo número 23 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Lançando-se um dado 3 vezes, ao acaso, determine a probabilidade: Sair primeiro 1 número par e depois 2 impares Saírem 2 números impares e 1 par, em qualquer ordem Um dado é jogado ao acaso. Calcule a probabilidade de: Sair primeiro 1 um par e, a seguir, 4 numero impares. Sair 1 número par e 4 impares em qualquer ordem. Jogando-se 2 dados, qual a probabilidade de: O primeiro resultado ser numero impar A soma dos pontos ser 5? 24 FACULDADE MORUMBI SUL PROBABILIDADE Estatística ll Prof. Gil [email protected] Uma urna tem 12 bolas: 8 pretas e 4 brancas. Retirando-se 3 bolas ao acaso, sem reposição, qual a probabilidade de: As bolas serem todas brancas As bolas serem todas pretas As bolas serem de mesma cor A primeira bola ser branca e as demais serem pretas 25