Permutação: Podemos entender permutação simplesmente como

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Permutação:
Podemos entender permutação simplesmente como, mudar de lugar. Exemplo:
Antonio, Bernardo, Carlos e Daniel estão de pé diante de quatro cadeiras, de quantas formas
podemos sentar estas pessoas. Se notarmos bem, para cada pessoa existe uma cadeira e a
condição de mudar é praticamente fixa, ou seja, não temos como varia la. E como uma pessoa
não pode estar em dois lugares ao mesmo tempo, concluímos que não haverá repetição.
Uma maneira simples de se resolver esta condição, é imaginar os quatro lugares disponíveis,
em seguida aloque as pessoas em suas devidas posições.
EXEMPLO
1
2 3
4  lugares

Quantas pessoas poderiam sentar na posição (A)?
Resposta: Qualquer uma das 4

Quantas pessoas poderiam sentar na posição (B)?
Resposta: Qualquer uma das 3 que restaram

Quantas pessoas poderiam sentar na posição (C)?
Resposta: Qualquer uma das 2 que restaram

Quantas pessoas poderiam sentar na posição (D)?
Resposta: Apenas aquela que restou.

Sendo assim, o entrelaçar das informações fica:
4 X 3 X 2 X 1 = 24
Outra forma de se resolver esta condição é fazendo o uso de fatorial:
n!
Este (n) acompanhado com o ponto de exclamação representa a condição matemática
conhecida como Fatorial, ou seja, todo número que ocupar o lugar do (n), deverá ser
multiplicado por todos os seus antecessores. Sendo assim, temos
4! = 4 X 3 X 2 X 1 = 24 .
Outros exemplos:
3! = 3 x 2 x 1 = 6
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 2 x 1 = 720
:
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Sendo assim, responda:
De quantas maneiras uma menina pode combinar cinco pulseiras em seu braço?
Quanto número de três algarismos pode construir com os seguintes valores: { 4,7, 2 }
Bruna, Beatriz, Bernadete são irmãs e todos os dias procuram uma maneira diferente de
sentarem ao banco traseiro do automóvel de sua mãe. Calcule tais possibilidades.
Os sorvetes de chocolate, creme, morango e flocos podem ser montados de quantas maneiras
no interior de uma taça?
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Arranjo Simples:
Vamos usar o mesmo exemplo das cadeiras, porém com uma pequena diferença: Seis
pessoas para sentar em quatro cadeiras. Assim como no primeiro exemplo, uma pessoa não
pode estar em dois lugares ao mesmo tempo, logo não teremos repetição.
EXEMPLO
1
2 3
4  lugares

Quantas pessoas poderiam sentar na posição (A)?
Resposta: Qualquer uma das 6

Quantas pessoas poderiam sentar na posição (B)?
Resposta: Qualquer uma das 5 que restaram

Quantas pessoas poderiam sentar na posição (C)?
Resposta: Qualquer uma das 4 que restaram

Quantas pessoas poderiam sentar na posição (D)?
Resposta: Qualquer uma das 3 restantes
A diferença entre este e o primeiro é o cuidado ao trabalhar com os números restantes, pois
haverá casos que exigem a presença obrigatória de um deles ou não.
Sendo assim, o entrelaçar das informações fica:
6 x 5 x 4 x 3 = 360
note: não funciona como no fatorial, pois os demais
antecessores não participam da operação.
A fórmula correspondente a esta operação é:
p
A
n
n!
(n – p)!
=
6!
(6 – 4)!
=
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 360
2x1
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Sendo assim, responda:
Tendo em mão os adesivos com as seguintes inscrições: (Formulários em branco), (Segundas
vias), (Faturadas), (Não recebidas), (Protestadas) e (Devolvidas). Um estagiário do
departamento de emissões de notas recebeu a incumbência de etiquetar quarto gavetas de um
arquivo. De quantas maneiras isso será possível, uma vez que cada gaveta receberá apenas
uma delas?
Um químico ter a sua disposição 6 pigmentos para compor uma nova cor de tinta. Quantas
cores poderão surgir uma vez que a formula requer apenas quatro deles?
Uma cozinheira tem a sua disposição 8 legumes para criar uma salada que apresente 3 deles.
Quantas serão?
Uma secretaria do departamento de manutenção terá que enviar quatro de seus técnicos para
atender uma ordem de serviço. Quantas equipes possíveis poderá formar sabendo que o
departamento dispõem de nove funcionários?
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Combinação Simples:
Vamos continuar com a idéia da formação de equipe de trabalho.
Um departamento que dispõem de 30 funcionários, quantas possíveis equipes de quatro em
quatro técnicos estarão disponíveis?
p
C
n!
p!(n – p)!
n
30!
=
4! (30 – 4)!
657720
24
= 27405
=
30x29x28x27x26x25x24x23x22x21x20x19x18x17x16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
4x3x2x1 (26x25x24x23x22x21x20x19x18x17x16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1)
combinações de pessoas, reunidas de quatro em quatro.
Procurando ficar mais simples, vamos propor um outro exemplo.
Imagine um campeonato de futebol, onde 15 times estão participando. Quantos jogos serão
possíveis? Em primeiro lugar, temos que ter em mente que para haver um jogo é preciso a
existência de dois times. Logo 15 reunidos dois a dois.
15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 210
2x1 (13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1)
= 105 jogos com todas as possíveis combinações
2
Qual a diferença entre estes três métodos?
A permutação: apenas muda as coisas de lugar, desde que a quantidade é correspondente.
O arranjo: faz a joga com as coisas, mas não se preocupa se sobrar elementos.
A combinação : verifica todas as possíveis maneiras de se agrupar os elementos.
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Sendo assim, responda:
Uma empresa de topografia monta suas equipes da seguinte forma:
1 topógrafo e dois auxiliares. Quantas equipes com esta característica podem ser formadas
com 30 funcionários?
Uma escola possui 30 alunos que participam do grupo de teatro. Neste semestre foram escritas
peças que necessitam de 8 pessoas para atuarem. Seguindo a idéia de combinação simples,
calcule a quantidade dos possíveis grupos.
Os professores de matemática, português, ciências, historia, geografia e inglês estão por
acertar o calendário de provas. No entanto, existe uma regra no regimento que estabelece a
condição de apenas duas por dia. Diante da mesma combine-as de forma que este calendário
seja possível.
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Procurando entender melhor tudo isso, temos:
PERMUTAÇÂO:
Apenas a troca dos algarismos, sem preocupação de se obter um valor desejado e sim as
possíveis possibilidades.
Com os números { 1, 2, 3 e 4 } podemos obter quantos novos
números de (2) algarismos?
EXEMPLO
1
2
Com repetição (ñ distintos)  4 x 4 = 16
 lugares
Sem repetição (distintos)
 4 x 3 = 12
ARRANJO SIMPLES:
Requer cuidados para se obter valores desejados.
Com os números { 1, 2, 3, e 4 } podemos obter quantos novos números terminados em (2)?
Com repetição (ñ distintos)  4 x 1 = 4
Sem repetição (distintos)
3x1 = 3
COMBINAÇÃO SIMPLES:
Requer uma visão mais apurada sobre os arranjos, ou seja, quantas combinações podem
ocorres?
Tomando como partida a permutação teremos:
Ñ distintos  16  11, 12, 13,14,
Distintos  12 
12, 13,14,
21, 22, 23,24,
21, 23,24,
31, 32, 33,34
41, 42, 43,44.
31, 32, 34
41, 42,43.
ATENÇÃO:
Combinação 2 a 2
4!
2! ( 4!-2!)
4x3
2
= 12
2
= 6
(12) e (21) / (13) e (31) / (14) e (41) / (23) e (32) / (24) e (42) / (34) e (43)
1
2
3
4
5
6
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Permutação com repetição:
Este caso é muito usado quando existir coisas repetidas e para melhor entendermos, vamos
fazer uso da palavra: TARTARUGA.
Observe que a letra T (2) vezes
A (3) vezes
R (2) vezes
U (1) vez
G (1) vez
9 Letras
teremos 9! Equivalente ao total
teremos 3! Equivalente ao A
teremos 2! Equivalente ao T
teremos 2! Equivalente ao R
Resolvendo temos:
C = possíveis permutações
A, B, C...
3
Pn
P
n = elementos envolvidos
A, B, C = elementos
9
2
2
X
P
6
X
P
4
1
X
P
2
X
1
repetidos
O primeiro bloco corresponde aos 3 (A) e seus (9) elementos.
O segundo bloco corresponde aos 2 (T), porém menos 3 ( razão do 6)
O terceiro bloco corresponde aos 2 (R), porém menos 2 ( razão do 4)
O quarto bloco corresponde aos 2 que não repetiram, porém menos 1 (razão do 1)
Podemos simplificar da seguinte maneira:
9!
3! 2! 2! 1! 1!
= 9x8x7x6x5x4x3x2x1
=
15120
3x2x1 x 2x1 x 2 x 1
Informações como estas são aplicadas em estuda de probabilidade, com intuito de se
encontrar o conjunto amostral e dele o espaço amostral.
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Estudamos os experimentos aleatórios equiprováveis ou, sejam, aqueles que qualquer
resultado pode ocorrer com uma mesma chance. Exemplo:
Lançado uma moeda, a probabilidade de ocorrer CARA e igual à de ocorrer COROA.
Elementos probabilísticos


Espaço amostral
Elementos
Espaço amostral  É o conjunto ou universo de todos os resultados possíveis em um
experimento
Evento  Qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo:
Espaço amostral no lançamento de um dado.  U = ( 1, 2 ,3, 4, 5 ,6, )
Evento- números pares.  A = ( 2, 4, 6, )
Probabilidade  Podemos dizer que é a possibilidade de ocorrência e um evento.

Sendo (U) o número de elementos do espaço amostral e (A) o numero de
elementos de um evento a probabilidade de acorrência é dada por:
P = nA - evento
nU – espaço
Vejamos:
Na escolha do um número de um dos
lados, qual a probabilidade de ser
sorteado um que seja par?
Em uma sequência de números de
1 a 30, qual a probabilidade de ser
sorteado um que seja múltiplo de 5?
No lançamento de dois dados simultâneos
qual a probabilidade de se obter a soma
igual a 7?
U = (1,2,3,4,5,6)  (nU) = 6
A = (2,4,6)  (nA) = 3
U= (1,2,3......30)  (nU) = 30
A = (5,10,15,20,25,30)  (nA) = (6)
U = (1,1); (1,2); ..... (6,5); (6,6).  (nU)= 30
Calculando: P = A = 0,5
U
Atenção: probabilidade sempre em % 0,5
X 100 = 50%
Calculando: P = A = 0,2
U
Atenção: probabilidade sempre em % 0,2
X 100 = 20%
Calculando: P = A = 0,2
U
Atenção: probabilidade sempre em % 0,2
X 100 = 20%
A = (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1)  (nA)=6
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Exercícios:
(1-) Em um sorteio de números de 1 a 100, qual a probabilidade de um número sorteado ter
dois algarismos:

Distintos (diferentes)

Não Distintos (iguais)
2-) Dois jogadores (a),(b) lançam um dado apenas uma vez. Vence quem tirar o maior número.
Sendo assim, se (a) tirar o número 2:

Qual a probabilidade de (a) ganhar?

Qual a probabilidade de (b) ganhar?

Qual a probabilidade de haver empate?
3-) Em uma sala de aulas com 40 alunos, qual a probabilidade de:

Um, que tenha nascido no sábado?

Um, que tenha nascido em um mês que não possui a letra “R” em seu nome?
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4-) Vinte e seis homens e 14 mulheres participam de um bingo, se não houver empate qual a
probabilidade de um vencedor ser homem?
5-) Em um baralho com ( 52 cartas ), qual a probabilidade de:

Se retirar ao caso um rei?

Se retirar ao caso um rei de paus?

Se retirar uma carta de ouro?

Se retirar uma carta cujo valor “numérico” seja inferior a 4?
6-) Em uma caixa há vinte bolas verdes e trinta vermelhas. Mediante a um sorteio com
reposição, diga:

Qual a probabilidade de se obter uma verde?
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
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Qual a probabilidade de se obter uma vermelha?
7-) Em um baú há dez bolas azuis e quarenta bolas pretas. Mediante a um sorteio sem
reposição, diga:

Qual a probabilidade de se obter seis azuis?

Qual a probabilidade de se obter oito pretas?
8-) Qual a probabilidade de sair um número impar no primeiro lançamento de um dado?
9-) Com a palavra Ari: (sem repetir)

Qual o espaço amostral?

Qual a probabilidade de uma palavra terminada com (a)
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
Qual a probabilidade de se encontrar um sentimento?

Qual a probabilidade de se encontrar o nome de dois homens?
10-) Considere um grupo de seis pessoas, sendo 5 meninos e uma menina e com eles
pretende-se montar uma comissão de três pessoas. (Responda sem repetição)

Qual o total de comissões?

Em quantas destas comissões estará a menina? (probab.)

Em quantas destas comissões a menina não estará? (probab.)
11-) Mariana, Odete, Carlos, Maria, Ivo pretendem formar um grêmio escolar, sendo assim:

Qual a probabilidade de Carlos ser o presidente?

Qual a probabilidade de Maria ser a presidente?
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12-) Observe o quadro ao lado e responda:

14
Qual o espaço amostral?
132
133
132
132
132
135
132
134
136
136
134
132
135
136
137
132
135
132
136
135

Qual a probabilidade de um número par?

Qual a probabilidade da soma entre as centenas ser um número maior que 8?

Qual a probabilidade da soma entre as centenas ser um número menor que 7?
Adição de Probabilidades:
Para melhor entendermos este tópico, vamos imaginar uma prova de Direito com duas
questões, 20 alunos acertaram as duas, 50 acertaram a primeira e 40 acertaram a segunda.
Mas sabendo que no total de alunos houve o acerto de pelo menos uma delas, responda:
Quantos alunos fizeram a prova?
50 que acertaram a primeira menos 20 que acertaram as duas temos a
50 - 20
quantidade de acertos só da primeira.
20
(30)
20 que acertaram as duas
40 - 20
40 que acertaram a segunda menos 20 que acertaram as duas
temos a quantidade de acertos só da segunda.
Sendo assim, fica fácil concluir que 70 alunos fizeram a prova.
(20)
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Qual a probabilidade referente aos alunos que acertaram as duas?
Resposta:
20/70 = 0,2857 = 28,57%
Qual a probabilidade referente aos alunos que acertaram pelo menos uma questão?
Resposta: (30
+ 20) / 70 = 50/70 = 0,7142 = 71,42%
adicionar as quantidades. Em teoria dos conjuntos,
isso é chamado de união do espaço amostral. Para reforçar esta idéia, imagine o
Existem situações onde teremos que
lançamento de dois dados e calcule a probabilidade de que a soma entre as faces seja igual a
7 ou 9:
Como Resolver?
Primeiro qual o é espaço amostral?
Resposta: 36
Quais os números que permitem a soma igual a 7?
(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) = 6
Quais os números que permitem a soma igual a 9?
(3,6), (6,3), (5,4), (4,5) = 4
Sendo assim, soma igual a 7 = 6/36
soma igual a 9 = 4/36
6/36 + 4/36 = 10/36 = 0,2777 = 27,77%
Este exemplo teve a finalidade de mostrar que quando a probabilidade receber a condição
ou,
teremos que somar os valores existentes. OBSERVAÇÃO:  fica mais fácil se
trabalhar com decimal.
Exercícios:
1) Retirando uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ser um
valete, dama ou rei?
2) Em uma série de números de 1 a 20. Qual a probabilidade de um número escolhido ao
acaso ser primo ou impar?
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3) Em uma sala com 20 homens e 12 mulheres percebeu-se que 8 homens estavam
usando óculos e 4 mulheres também. Escolhendo-se aleatoriamente uma destas
pessoas,qual a probabilidade de:

Uma mulher usar óculos?

Um homem usar óculos?

Uma mulher ou um homem usar óculos?

Uma mulher ou um homem?

Uma mulher ou um homem usar óculos?
4) Numa turma de 44 alunos, 28 têm olhos castanhos, 8 têm olhos negros, 6 têm olhos
verdes, 2 têm olhos azuis. Qual a probabilidade de:

Um aluno que possua os olhos azuis ou verdes?

Um aluno que possua os olhos negros ou azuis?

Um aluno que possua os olhos negros ou verdes?
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Multiplicação de Probabilidades:
Existem outras situações em probabilidade que para serem resolvidas, será preciso fazer uso
da multiplicação das probabilidades. Exemplo:
Uma sacola contendo 12 bolas, sendo 8 brancas e 4 azuis, ao se tomar aleatoriamente uma
delas:


Qual a probabilidade de uma ser azul?
Qual a probabilidade de uma ser branca?
Acredita-se que até aqui não existe novidades, mas, se a pergunta for:

Qual a probabilidade de duas bolas azuis?
Como resolver?
Primeiro a probabilidade da bola azul:
p(A) = n(A) / n(E)
p(A) = 4 / 12 = 0,3333 = 33,3%
Segundo a probabilidade da bola branca:
p(A) = n(A) / n(E)
p(A) = 8 / 12 = 0,6666 = 66,6%
Partindo do todo, esta seria a forma individual de se encontrar as probabilidades. Mas o
problema em questão, diz duas azuis, ou seja, primeira azul
e a segunda azul.
Então se deve partir da idéia que temos 4 bolas dentro de 12. Logo 4 / 12 e ao retirar
uma sobraram 3 / 11. Diante destas informações teremos:
p ( A e B ) = 4 / 12 x 3 / 11 = 12 /132 = 0,090 = 9%
A função e é diferente da função ou, ou seja, ela precisa que as probabilidades sejam
multiplicadas e ou precisa que sejam somadas.
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Diante desta informação resolva os seguintes exercícios:
Considere duas caixas contendo fichas coloridas, onde a primeira contém 9 pretas e 5
verdes, quanto que segunda contém 7 amarelas e 8 verdes. Qual a probabilidade de:
 Conseguir fichas verdes?

Conseguir fichas amarelas?

Conseguir fichas pretas?

Retirar uma de cada caixa, qual a probabilidade de se conseguir uma amarela e uma
preta?
No lançamento de uma moeda e um dado, qual a probabilidade de se obter uma cara e o
número 5?
Em um lote de peças contém 7 parafusos, sendo 3 pequenos e 4 grandes. Ao retirar
aleatoriamente 3 deles qual a probabilidade de: Se pegar dois pequenos e um grande?
Uma moeda é lançada duas vezes consecutivamente, qual a probabilidade de:

Ocorrer cara?

Ocorrer coroa?

Ocorrer uma cara e uma coroa?
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Em uma caixa há 12 bolas: 4 pretas e 8 brancas. Em outra caixa há 10 bolas: 6 pretas e 4
brancas. Tirando ao acaso uma bola de cada caixa,qual a probabilidade que:

A bola retirada da primeira caixa seja preta e a da segunda seja branca

A bola retirada da primeira caixa seja preta e da segunda também?
Em uma caixa há fichas numeradas de 1 a 9 e, em outra, de 11 a 19.Tirando-se uma ficha de
cada caixa,qual a probabilidade de:

As duas fichas estarem com números pares?

As duas fichas estarem com números impares?

a primeira ser um número para a segunda ser impar?
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Em uma caixa há fichas numeradas de 1 a 9 que serão sorteados com duas retiradas
sucessivas sem reposição qual a probabilidade de que os dois números sorteados sejam:
Pares
Impares
Resolva o problema anterior, supondo que haja reposição, isto é, uma vez sorteada a primeira
ficha, ela e recolocada na caixa.
Pares.
Impares
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Sorteados três vezes, sem reposição, os números da caixa do exercício anterior, qual a
probabilidade desses números:
Serem todos pares
Serem todos impares
Serem os dois primeiros pares e o ultimo impar?
Resolva o exercício anterior, supondo desta vez a reposição das fichas
Serem todos pares
Serem todos impares
Serem os dois primeiros pares e o ultimo impar?
21
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Uma urna tem 10 bolas: 6 pretas e 4 brancas, de onde serão retiradas, ao acaso, 2 bolas, sem
reposição. Calcule as probabilidades de.
Ambas as bolas sejam pretas
Ambas as bolas sejam brancas
A primeira bola seja preta e a segunda branca
A primeira seja branca e a segunda preta
Resolva o exercício anterior considerando que tivesse reposição. Dê a resposta em
porcentagem
Ambas as bolas sejam pretas
Ambas as bolas sejam brancas
22
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A primeira bola seja preta e a segunda branca
A primeira seja branca e a segunda preta
Lançando-se um dado 3 vezes, qual e a probabilidade de que saiam 3 números sucessivos?
Jogando-se um dado 3 vezes qual a probabilidade de.
Caia o número 3
Não caia o número 3
Caia o mesmo número
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Lançando-se um dado 3 vezes, ao acaso, determine a probabilidade:
Sair primeiro 1 número par e depois 2 impares
Saírem 2 números impares e 1 par, em qualquer ordem
Um dado é jogado ao acaso. Calcule a probabilidade de:
Sair primeiro 1 um par e, a seguir, 4 numero impares.
Sair 1 número par e 4 impares em qualquer ordem.
Jogando-se 2 dados, qual a probabilidade de:
O primeiro resultado ser numero impar
A soma dos pontos ser 5?
24
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Uma urna tem 12 bolas: 8 pretas e 4 brancas. Retirando-se 3 bolas ao acaso, sem reposição,
qual a probabilidade de:
As bolas serem todas brancas
As bolas serem todas pretas
As bolas serem de mesma cor
A primeira bola ser branca e as demais serem pretas
25