PRINCIPIANDO O PRINCIPIA – Parte I

PRINCIPIANDO O
PRINCIPIA – Parte II
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PRINCIPIANDO O
PRINCIPIA – Parte I
A TEORIA DAS
PROPORÇÕES
COMO NEWTON DE
FATO ESCREVEU O
PRINCIPIA?
PRINCIPIANDO O
PRINCIPIA – Parte II
DE MOTU CORPORUM
O PROBLEMA INVERSO
DAS FORÇAS CENTRAIS
NO PRINCIPIA
LIBER I, SECTIO VI,
LEMMA XVIII
DE MUNDI SYSTEMATE
NEWTON DEMONSTROU
QUE ÓRBITAS SÃO
ELÍPTICAS?
A segunda seção do Principia se
intitula ‘AXIOMATA, SIVE LEGES MOTUS’,
ou ‘AXIOMAS, OU LEIS DO MOVIMENTO’,
e começa assim:
Lei I. Todo o corpo
permanece no seu estado
de
repouso,
ou
de
movimento
uniforme
retilíneo, a não ser que seja
compelido a mudar esse
estado devido à ação de
forças aplicadas.
Obviamente, Newton nunca a chamou
‘Primeira Lei de Newton’, na verdade ele a
atribui a Galileo, que não exatamente a
demonstrou,
mas
explicou
como
experiências
do
dia-a-dia
pareciam
contradizê-la.
REFERÊNCIAS
LINKS
Lei II. A variação de
movimento é proporcional
à força motriz aplicada; e
dá-se na direção da reta
segundo a qual a força está
aplicada.
Claro que hoje em dia escrevemos esta lei
como:


F  ma .
Essa lei parece não ter sentido, uma vez
que ainda não tenhamos dito como medir a

massa m, nem como medir a força F . Mas
na verdade há mais coisas aí do que parece,
como vemos ao pular para o ‘Scholium’:
Escólio. Os princípios
que determinei são aceitos
por
matemáticos
e
confirmados
por
experimentos de vários
tipos.
Por
meio
das
primeiras duas leis (...)
Galileo descobriu que a
queda dos corpos pesados
está na razão quadrada do
tempo
(...)
como
os
experimentos confirmam,
exceto um tanto por serem
retardados por resistência
do ar. Quando um corpo
cai, a gravidade uniforme,
agindo igualmente em
partículas
iguais
individuais
de
tempo
exerce forças iguais sobre
este
corpo
e
gera
velocidades iguais; e no
tempo total ela... gera uma
velocidade
total
proporcional ao tempo. E
os espaços percorridos em
tempos proporcionais são
como as velocidades e os
tempos conjuntamente, isto
é, na razão quadrada dos
tempos.
O que Newton está dizendo é o
seguinte: Suponha que nosso corpo começa
do repouso. A força da gravidade, que
pensamos estar atuando no tempo 0,
incrementa a velocidade em v. Após um
pequeno incremento de tempo t o corpo caiu
vt. Então sua velocidade recebe um
incremento
adicional
v,
dando-lhe
velocidade 2v, logo ele cai, após um próximo
incremento de tempo t, uma quantidade 2vt.
No próximo incremento de tempo t, ele cai
3vt, e depois 4vt, etc. Assim, após um grande
número N de incrementos ele caiu
2
1  2    N vezes vt, que é quase N vt / 2 ,
2
ou vT / 2 , onde T é o tempo total de queda.
Parece existir um longo caminho entre
“forças iguais produzem acelerações iguais” e
“força é igual a massa vezes aceleração”, mas
isto é meramente devido a ausência de uma
definição operacional de massa, descrevendo
como ela é medida. A descrição de um
experimento bastante simples (porém quase
impossível de se realizar, o que é muito
comum) que fornece uma definição bastante
honesta de massa e que faz a equação


F  ma
funcionar, além de alguma
discussão em torno da distinção entre massa
e peso, tal como concebida por Newton, pode
ser encontrada em [6], pág. 10 e seguintes.
Relembremos como Newton começa o
Principia:
Definição I. Quantidade de
matéria é uma medida da
matéria que provém de sua
densidade
e
conjuntamente.
volume
“Se a densidade do ar é
duplicada em um espaço
que também é duplicado,
haverá quatro vezes mais ar
e haverá seis vezes mais se o
espaço é triplicado. (...), me
refiro a esta quantidade
quando uso os termos
‘corpo’ ou ‘massa’ nas
páginas
seguintes.
Ela
sempre pode ser conhecida
a partir do ‘peso’ do corpo,
pois – fazendo meticulosos
experimentos com pêndulos
–
descobri
ser
ela
proporcional ao peso do
corpo, como será mostrado
abaixo”.
Esse certamente foi um lugar estranho
para Newton colocar isso (pois ele está
introduzindo a noção de massa, e já quer
distinguí-la de peso). Também o ‘como será
mostrado abaixo’ se refere a material escrito
umas
400
páginas
a
frente.
Aproximadamente 300 páginas após o início
do livro, Newton obtém que dados dois
objetos, com massas
W2 ,
m1 e m2 , e pesos W1 e
que oscilam num pêndulo (de mesmo
comprimento) com períodos
T1 e T2 , então
m1 W1 T12


m2 W2 T22 .
É assustador citar esse resultado tal
como ele aparece:
Proposição XXIV. Em
pêndulos simples, cujos
centros de oscilação distam
igualmente do centro de
suspensão, as quantidades
de matéria estão na razão
composta da razão dos
pesos e da razão quadrada
dos tempos de oscilação.
“Pois a velocidade que
uma dada força pode
gerar
num
dado
tempo, numa dada
quantidade
de
matéria é como a
força e o tempo
diretamente e como a
matéria inversamente
(...) se os pêndulos
têm
o
mesmo
comprimento,
as
forças motrizes em
lugares
igualmente
distantes
da
perpendicular
são
como os pesos, e se os
dois corpos oscilantes
descrevem
arcos
iguais e se os arcos
são divididos em
partes iguais, então,
como os tempos em
que
os
corpos
descrevem
essas
partes
simples
correspondentes de
arco são como os
tempos
totais
de
oscilação,
as
velocidades em partes
correspondentes de
oscilação são uma
para a outra como as
forças motrizes e os
tempos
totais
de
oscilação diretamente
e quantidades de
matéria
inversamente;
e,
portanto,
as
quantidades
de
matéria serão como
as forças e os tempos
de
oscilação
diretamente
e
velocidades
inversamente. Mas as
velocidades
são
inversamente como os
tempos, e assim os
tempos
são
diretamente
e
as
velocidades
são
inversamente como os
quadrados
dos
tempos, e portanto as
quantidades
de
matéria são como as
forças motrizes e os
quadrados
dos
tempos, isto é, como
os
pesos
e
os
quadrados
dos
tempos”.
Aproximadamente 100 páginas à frente
Newton descreve como ele testou:
g 2 T12
 2,
g1 T2
obtendo assim a proporcionalidade entre
matéria (massa) e peso, usando pesos iguais
de “ouro, prata, ligas, vidro, areia, sal
comum, madeira, água, e trigo”. Newton foi a
primeira pessoa a realmente fazer uma
distinção entre massa e peso, e sua decisão
de fazer massa e força os conceitos básicos
em termos dos quais outros seriam definidos
– e de escolher as duas primeiras leis como
base para deduzir os demais resultados - foi
uma de suas principais realizações.
A terceira lei rege as interações entre
dois corpos:
Lei III. A toda ação,
corresponde uma reação
igual e oposta; noutras
palavras, as ações entre
dois corpos são sempre
iguais e opostas em
direção.
O teorema de ‘conservação do
momentum’ é apresentado algumas linhas
depois, como corolário das três leis:
Corolário
III.
A
quantidade de movimento,
que
é
determinada
somando-se os movimentos
numa
direção
e
subtraindo-se
os
movimentos na direção
oposta, não é alterada pela
ação entre dois corpos.