A Física Pré-Einsteiniana Revisitada

TRRTP1-Lect I – Modern Physics
A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições
A Física Pré-Einsteiniana Revisitada
Operacionalidade e Conceitos Mecânicos
``Algo Velho, Algo Novo’’1
Poema Tradicional de Casamento
em países Anglo-Saxónicos
P
orquê revisitar a Física Pré-Einsteiniana? A Ciencia não é algo estático e
imutável. O que hoje se pode aceitar como “verdade cientifica” pode ser
questionado e ser abandonado em face de novas evidencias (e.g., experimental)
D
esenvolvamos agora em maior detalhe alguns. Comecemos por introduzir o
conceito de:
Definição Operacional: Uma definição operacional de uma quantidade/observável
físico define essa quantidade pela descrição de como essa quantidade pode ser
medida/registada. I.e., estabelece uma definição completa dessa quantidade física com
base num processo que podemos usar para determinar essa quantidade/observável.
Neste contexto, (re-)introduzamos então as seguintes defínições (operacionais):
1. Evento/Acontecimento (E): Qualquer ocorrência física que pode ser considerada
acontecer num determinado instante de tempo (t) [medido num relógio] e numa
determinada localização espacial (x,y,z) [medido por réguas, por exemplo].
Note-se que o conceito de acontecimento constitui uma idealização: qualquer
evento real tem necessáriamente uma extensão finita no espaço e no tempo.
2. Sistema de Referência/Referêncial (S): Rede rígida ou equivalente (idealizada)
baseada num sistema de eixos coordenados, consistindo num número
indeterminado de intervalos de medida espacial e um número indeterminado de
relógios (sincronizados consistentemente), presentes em cada ponto do espaço.
A origem espacial O define a localização no referencial onde outras localizações
(de eventos) podem ser comparadas. As coordenadas espaciais são determinadas
pelo sistema de eixos coordenados. A coordenada temporal do evento é
determinada pelo relógio mais proximo desse evento. De forma mais precisa
3. Coordenadas espacio-temporais (t,x,y,x): Relativamente a um evento num dado
referencial, são definidas por um número ordenado de números. Um, t, especifica o
tempo em que um evento ocorre tal como registado pelo relógio do referencial mais
próximo (ou idealmente, onde ocorre); os restantes números (x,y,z) especificam as
coordenadas espacias onde o evento ocorre (ou idealmente onde está o relógio que
coincidiu com o evento).
1
``Something Old, Something New’’
1
 Paulo Vargas Moniz
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4. Observador: Individuo (hipotético) que regista e relaciona medições feitas num
referencial [Um sistema de referência é usualmente associado a um observador que
o utiliza para proceder a medições (registos das cordenadas espacio-temporias de
eventos)].
5. Referencial (e Relógio) Inercial: Referencial onde a primeira lei de Newton (lei de
inércia) é testada e determinada como válida em qualquer ponto do referencial e
para qualquer instante (medido em relógios sincronos presentes no referencial).
Tais relógios, presentes no referencial, dizem-se Inerciais se associados com e/ou
como instrumentos para determinar a validade da primeira lei de Newton.
Note-se que a definição de
Referencial Inercial (RI)
acima permite distinguir e
classificar referenciais como
sendo inerciais ou nãoinerciais. É uma definição
operacional
pois
define
referencial
através
da
descrição de como construir
um
(ver
definição
de
referencial) e identifica o que
é inercial através de testes
para determinar as suas
caracteristicas.
Comentário: Relembre-se que a primeira lei de
Newton estabelece que qualquer corpo permanece no
seu estado de repouso (v = 0) ou movimento uniforme

em linha recta ( v  const . ) a não ser que seja
constragido a mudar o seu estado pela acção de uma
força. Mais simplesmente, um objecto onde a soma de
todas as forças externas exercida é nula, move-se em
linha recta com velocidade constante.
Exemplo: o caso de patinadora sobre gelo ou nave
espacial (Pionner 10 or Voyager II) ``longe’’ de
interações (e.g., fora do sistema solar) - se nenhuma
força for exercida, continuarão o seu movimento
idealmente sem parar e em linha recta com velocidade
constante.
Uma vez estabelecido o anterior, apresentemos um sumário de conceitos e relações
físicas de mecânica Newtoniana, válidas e estabelecidas por meio de observadores
associados a referenciais inerciais.
 Conceitos fundamentais:
 massa - m
 coordenadas espaciais - x,y,x
Evento
 tempo - t
 Conceitos Derivados:
 velocidade (taxa de variação de posição com tempo)
 
dx
dy
dz 
v  v x  , v y 
, vz  
dt
dt
dt 

2
(1.1)
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A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições
 aceleração (taxa de variação de velocidade com o tempo)
 
d 2x
d2y
d 2z 
a   a x  2 ,a y  2 ,a z  2 
dt
dt
dt 

(1.2)
 Momento linear (produto de massa com velocidade)


p  mv
(1.3)
 Força (taxa de variação temporal de momento linear)
[Segunda lei de Newton]

 d p
dv

F
m
 ma
dt
dt
(1.4)
(se massa for constante)
 Interação:
[Terceira lei de Newton]

A força exercida por um corpo A num corpo B, FAB , tem valor (magnitude) igual mas

sentido contrário à força exercida por corpo B em A, FBA :




FAB = - FBA , | FAB | = | FBA |
(1.5)
 Conservação de momento linear:
[consequência da 2a e 3a lei de Newton]
Se soma de forças (força total) exercida num sistema é nula, o movimento linear total
permanece constante



d ptotal

Ftotal   Fi  0 
 0  ptotal  const .
dt
i
(1.6)
Tomemos o exemplo de colisão de duas particulas A
e B. Inicialmente, a particula A com massa mA
(assumida como inalteravel) move-se na direção do
eixo dos xx com velocidade inicial constante


v A  v iA e x . A particula B tem massa mB e está em
repouso relativamente ao RI S. Depois da colisão, A
fica em repouso
e B adquire movimento no eixo dos xx. Assumindo que durante a



colisão FAB = - FBA , em particular, FAB e x = - FBA e x , então integrando para o tempo
em que as particulas interagiram obtemos
Nota: Numa colisão, quando a
força total é nula, o momento
linear de cada objecto pode
variar mas o momento total
não muda.
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F
AB
dt    FBA dt 
m
d vA
A dt
tempototal
dt  
m
d vB
B dt
tempo total
dt
(1.7)
i.e.,
v Af  0
m
v iA
v Bf
A
dv A    mB dv B  m A v iA  mB v Bf
(1.8)
0
 Trabalho (W): Produto de força actuante pelo deslocamento correspondente
efectudo
   


dW  F  dr  F  ( xex  ye y  zez )
(1.9)
 Energia Cinética ( E K ): variação de energia cinética E K é igual ao trabalho
realizado por força total actuante.




No caso simples de F  Fe x e dr  dxe x temos que
vf
dW  F  dx  m
dv
dt
dx  mv dv  W   mvdv  12 m(v 2f  vi2 )  E K f  E K i
(1.10)
vi
 Energia potencial, (EP): Função de coordenadas tal que diferença entre seus valores
na posição inicial e final é igual ao trabalho para mover objecto de posição inicial
até posição final. Neste caso, a força diz-se conservativa.
A conservação de energia é expressa por (para forças conservativas)
E K f  E pf  E K i  E ip
(1.11)
A Física Pré-Einsteiniana Revisitada
Transformações de Galileo e Covariância
D
e forma a lidar com as questões atràs enunciadas, há que estabelecer e introduzir
o Principio da Relatividade (de Galileo) presente na mecânica Newtoniana.
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A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições
Principio da Relatividade: As leis da natureza2 são as mesmas em quaisquer 2
referenciais que se movam uniformemente (e em linha recta) um em relação ao outro.
Formulação
de Galileo
Básicamente, o Principio da Relatividade estabelece que se uma experiencia mecânica
idêntica é realizada por dois observadores nos RI respectivos (em “repouso” em Terra
ou navio no porto, ou em movimento no mar, como no exemplo junto descrito), com
condições iniciais idên-ticas, então os resultados serão identicos.
Uma formulação mais precisa do Principio da Relatividade é a seguinte:
Formulação
operacional
Principio da Relatividade: Se S é um RI e S' é outro referencial que se move com
velocidade uniforme em relação a S, então S' é tambem um RI. As leis da mecânica
Newtoniana são as mesmas em S e S'; não há experiencia (mecânica) que possa
distinguir entre S e S'.
O sentido em que “leis da Mecânica Newtoniana são as mesmas em quaisquer 2 RI” é
o seguinte. Observadores em 2 RI podem atribuir valores diferentes a várias
quantidades (como velocidade de um objecto), mas cada observador concordará que
as equações matemáticas descrevendo leis físicas são satisfeitas tanto pelas suas
observações como pelas de outro Observador no seu RI. As mesmas equações
fundamentais descrevem as leis da Física em quaisquer RI.
M
as se 2 RI são equivalentes no que
respeita à mecânica Newtoniana,
podemos estabelecer alguma correspondência
para
determinar
quantidades
físicas
(observáveis) num RI dado o seu valor noutro
RI? Como variam e como se transformam os
valores de determinadas quantidades medidas
num RI, relativamente para outras quantidades
e valores medidos e observados em outros RI,
movendo-se com velocidade uniforme
relativamente ao primeiro?
A resposta a esta questão está presente nas
Transformações de Coordenadas de
Galileo.
Comentários:
(a) Note-se que as observações e
experiencias onde o Principio da
Relatividade (respeitante à mecânica
Newtoniana) se baseia e aplica são
relativos a v << c. Como será para v ~ c?
(b) Igualmente, expressões (onde o
Principio da Relatividade se exprime)
dizem respeito apenas à Mecânica
Newtoniana. Mas como será com outros
fenómenos fisicos (i.e., electromagnetismo)? Permitirão fenómenos electromagnéticos distinguir entre RI e estados
de movimento?
Comecemos por uma forma mais simples (e
mais operacional) da questão acima. Seja um evento E1, que ocorre num instante t1
(ou durante um intervalo dt) com coordenadas espaciais x,y,z (ou percorrendo
coordenadas espaciais dx, dy, dz), quando registado num RI S. Quais são as
coordenadas correspondentes ao mesmo acontecimento E1 quando observado num
2
No contexto formulado por Galileo e enquadrado na Mecânica Newtoniana, deve ser entendido como
“leis da mecânica presentes na Natureza”.
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referencial S', que se move com velocidade uniforme v relativamente a S na direcção
do eixo dos xx?
Comecemos por estabelecer que o observador correspondente ao RI S com eixos
coordenados x,y,z e tempo t e o observador correspondente ao RI S', com eixos
coordenados x',y',z', e tempo t', coincidem respectivamante em t=t'=0. Nesse instante,
os observadores sincronizam relogios e fixam-no em valor comum: zero.
As coordenadas temporais de E1 em S e S' são (em mecânica Newtoniana)
t 1  t 1
(1.12a)
e as coordenadas espaciais são tais que
y1  y1
(1.12b)
z1  z1
e
x1  x1  v t1
(1.12c)
dado que a origem dos RI no instante t1 estão separadas de vt1. As relacões acima são
designadas de transformações de Galileo. A transformação inversa, i.e., se dados as
coordenadas do evento em S' e pretendemos determinar as coordenads em S, é dada
por
t1  t1
(1.13a)

y1  y1

z1  z1
(1.13b)


x1  x1  v t 1
(1.13c)
e as coordenadas espaciais são tais que
e
Relembremos então como outras quantidades se transformam e relacionam em
diferentes RI, a partir das transformações de Galileo
 Transformação de velocidades:
Seja um objecto que se move em S de acordo com
 
r vt
(1.14)
i.e.,
x  vx t
y  vy t
z  vz t
6
(1.15)
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A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

(onde vx, vy, vz são as componentes de v no RI S) e que para instante t=0 estava em
x=y=z=0. Para observador em S', que se move com velocidade uniforme V
relativamente a S no eixo dos xx, as transformações de Galileo permitem exprimir x',t'
e y',z' em termos de x,t e y,z (ver eq. (1.12.a -c)):
x   V t   v x t   x   (v x  V ) t 
o que representa que

vx  vx  V
(1.16a)
(note-se que de acordo com Principio da Relatividade o RI S' também tem (!) que
descrever o movimento do objecto de forma equivalente: movimento rectilineo e
uniforme). De y=y' e t=t' (transformação de Galileo) vem que

vy  vy

vz  vz
(1.16b)
As relacões acima indicadas (1.16a-b) constituem a transformação de velocidades
(Galileo) entre observadores em 2 RI. Mas note-se que as mesmas relações também se
podem obter por diferenciação das transformacões de coordenadas de Galileo com
respeito ao tempo. Em particular,
vx 
dx
dt

d ( x V t  )
dt

 vx  V .
 Combinação de transformação de coordenadas:
Sejam 2 observadores S' (com sistema de coordenadas x',y',z',t') e S'' (x'',y'',z'',t'') que
se movem com velocidade V e U (uniforme e rectilineamente) no eixo dos xx
relativamente a RI S (x,y,z,t).
A transformação de coordernadas de S para S' é
x  x V t
y  y ; z  z
(1.17)
t  t
e a correspondente para S e S'' é
x   x  U t
y   y ; z   z
(1.18)
t   t
Como é que S’ e S'' se relacionam? Eliminando x,y,z,t das expressões acima, temos
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x   x   (U  V ) t 
y   y  ; z   z 
(1.19)
t   t 
onde U-V é o valor da velocidade relativa de observador S'' tal como medida por S'.
 Aceleração:
Relativamente à aceleração, a forma como esta quantidade se relaciona em 2 RI pode
ser facilmente extraida da transformação de velocidades. Diferenciando em relação ao
tempo, tem-se que
ax 
d vx d 2 x d 2 x
 2 
 a x
dt
dt
dt  2
(1.20)
a y  a y ; a z  a z
i.e.,
 
a  a
(1.21)


tal que a e a  são acelerações do objecto em S e S' respectivamente. O resultado era
esperado, até sem utilizarmos equações: as velocidades de um objecto em S e S' (RI)
diferem sempre por um valor constante; se a velocidade medida em S muda de v1 para
v2, no mesmo intervalo de tempo S regista uma mudanca de v1-V para v2-V. O
incremento é o mesmo e como a aceleração é a taxa de variação de velocidade com
tempo, conclui-se o acima.
 Invariância da distância:
Suponhamos que observadores inerciais S e S' (por exemplo, um observador numa
estação em ``repouso'' e outro numa caruagem de comboio que se move com
velocidade uniforme V no eixo dos xx) querem medir a distancia entre dois eventos E1
e E2 (por exemplo, entre 2 postes que poderão ser de iluminação quando estes se
acendem simultaneamente em S).
Para S, este determina que E1  ( x1  A, y1 , z1 , t1  t ) e E 2  ( x 2  B, y 2 , z2 , t 2  t )
são simultaneos e tal que distancia é x2-x1 = B -A. Para S', tem-se que para E1 (ver eq.
(1.12a-c))
x1  x1  V t1  A  V t1
(1.22)
(i.e., S' regista E1 em t’1) e para E2
x 2  x 2  V t 2  B  V t 2
8
(1.23)
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(i.e., S' regista E2 em t’2). Assim para S', a diferença de registos para a distancia é
x 2  x1  B  A  V (t 2  t1 )
(1.24)
Dado que postes se ``movem'' em S', a determinação de posições tem que ser feita ao
mesmo tempo t’2= t’1(=t2=t1) se registos em S' são supostos fornecer uma distancia.
Vem que então
x 2  x1  B  A
(1.25)
Por outras palavras, apenas se acontecimentos/eventos E1 e E2 são simultâneos em S e
S´, então a distância é invariante. Como tempo é absoluto em Mecânica Newtoniana,
não há problema em deduzir (1.25). Mas se a simultaniedade fôr relativa (ver Lição 6)
então dois acontecimentos simultâneos em S poderão não o ser em S´. Neste contexto,
as distâncias ja não são invariantes.
A
nalisemos agora em mais detalhe as noções de invariância e covariância. A
aceleração é pois um invariante no contexto de Relatividade em mecânica
Newtoniana. A presença de invariantes em modelos e teorias físicas é importante e
traduz a presenca de propriedades (de equivalencia e simetria) fundamentais em
sistemas fisicos.
Como vimos anterirormente, o principio da Relatividade estabelece que as leis da
física (mecânica Newtoniana) são as mesmas em qualquer RI. Este principio pode ser
re-estabelecido como um requerimento nas propriedades matemáticas das leis fisicas.
Em particular, baseada na noção de invariância quando aplicada a estas quantidades.
Uma lei física expressa uma relação matemática entre quantidades como a velocidade,
aceleração ou força. Essas quantidades são medidas num RI S. Utilizando as
transformações de Galileo, o valor destas quantidades pode ser transformado no valor
correspondente em outros RI S'. Se essas quantidades se relacionam em S' da mesma
forma que como em S, então essa relação diz-se covariante sob acção dessa
transformação de coordenadas (transformações de Galileo no caso de mecânica
Newtoniana, como temos vindo a considerar).


Como exemplo, seja F  ma (2a lei de Newton) que assumimos como verificado em


S. F é a força actuante em corpo de massa m produzindo aceleração a . Vimos
 
anteriormente que a aceleração é invariante: a  a  . Por outro lado, em mecânica
Newtoniana, tem-se a massa como propriedade intrinseca dos corpos e por isso
imutável. Assim
m=m'


 


Então, tem-se que de F  ma em S se obtem F   m a  em S' se e só se F  F  .
I.e., se força também for invariante. Este aspecto só pode ser determinado caso a
caso. Na situação de atracção gravitacional entre 2 corpos, dado pela lei de Newton,
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

F  Gm1 m2 r 2 er
 
tem-se que F  F  dado que m1, m2 e r são invariantes nas transformações de
Galileo. Assim as leis de mecânica de Newton dizem-se covariantes com respeito às
tranformações de Galileo.
Mas tal situação não acontece no caso do electromagnetismo!
As leis do electromagnetismo estão codificadas no sistema de equações de Maxwell.
Assumindo que são validas num determinado RI S, e fazendo uma transformação de
coordenadas de Galileo para outro RI S', as equacões de Maxwell em S não têm a
mesma forma que em S': não são covariantes nas transformações de Galileo.
Surgem então 3 alternativas:
(i) O principio da relatividade não se aplica ao electromagnetismo (e óptica). As
equações de Maxwell são apenas válidas num RI particular.
(ii) O principio da relatividade aplica-se ao electromagnetismo mas equacões de
Maxwell são apenas aproximadamente correctas; tem que ser substituidas por
equações que sejam estritamente covariantes.
iii) O principio da relatividade aplica-se universalmente (i.e., a toda a fisica e não
apenas à mecânica Newtoniana) e equações de Maxwell estão correctas. As
transformações de coordenadas de Galileo não estão correctas.
A alternativa (i) era a favorita no séc. XIX. Postulou-se que existia um RI particular, o
referencial do éter (meio hipotético onde ondas luminosas - electromagneticas oscilam e progridem) onde equações de Maxwell são validas. A. Einstein rejeitou essa
via e corajosamente arriscou formular que (iii) era a correcta. Essa assunção levou-o
a estabelecer a Teoria da Relatividade Restrita ou Especial (TRR).
Note-se no entanto que (i) permitia considerar uma hipótese curiosa: Distinguir
(usando meios que não exclusivamente mecânicos) entre RI. O principio da
relatividade em mecânica Newtoniana não abrange fenómenos electromagneticos - ou
ópticos - apenas diz respeito a fenómenos mecânicos, e com estes não se podem
distinguir RI. Mas em (i) os resultados de experiencias associados a equações de
Maxwell dependem do movimento do observador relativamente a esse RI particular.
Assim poder-se-ia (se (i) fosse válida) distinguir entre RI.
10