Conjunto é o agrupamento de elementos que

AULA 02 – CONJUNTOS NUMÉRICOS
Introdução
A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em
contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos
dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de
processos de determinação de quantidades.
E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas
também, dos conjuntos numéricos.
1. O que é conjunto?
Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Os
Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números.
Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples
é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre
os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:
Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.
Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto,
podemos utilizar qualquer letra.
2. Conjuntos numéricos
a) Conjunto dos Naturais (N)
Os números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado para que conte de 1
até 10, por exemplo, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela
letra
.
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar
quantidades.
Assim, pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero.
Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...}
1

Subconjunto dos números naturais:


Conjunto dos Naturais Não – Nulos: São os números naturais
excluindo o zero. Para representar esse conjunto, devemos colocar (*)
ao lado do N.
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }
Considerações:


Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela
necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número
como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais.
A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um
elemento. Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }





Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação.
Isto é fato pois, se a e b são dois números naturais então a + b e a.b
são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como
fechamento da operação.
Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0
para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a
distributiva para a multiplicação em N.
Em N a subtração não é considerada uma operação, pois se a diferente
de zero pertence a N o simétrico -a não existe em N.
Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor.
Também falamos em antecessor de um número. Exemplos:
6 é o sucessor de 5.
7 é o sucessor de 6.
19 é antecessor de 20.
47 é o antecessor de 48.

Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N
é infinito.
2
Exercício 1: Responda se os seguintes conjuntos abaixo são infinitos ou finitos:
a. O conjunto dos números naturais maiores que 5.
b. O conjunto dos números naturais menores que 5.
c. O conjunto dos alunos da classe.
d. O conjunto dos professores da escola.
e. O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.
f. O conjunto dos números naturais múltiplos de 2.
b) Conjunto dos Inteiros (Z)
Os números naturais foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o
passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi
necessário criar uma representação numérica para as dívidas.
Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um
novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra .
Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números
positivos e o zero.
Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros, percebemos que o
conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros. Veja:
N = {0,1,2,3,4,5,6, ... }
Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }
N
Z
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Os números positivos são representados com o sinal de positivo (+) na frente ou com
sinal nenhum (+2 ou 2), já os números negativos são representados com o sinal de
negativo (-) na sua frente (-2).
Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo:
 Exemplo 1: Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero
durante o dia, à noite e na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C
abaixo de zero. Qual a relação dessas temperaturas com os números inteiros?
 Exemplo 2: Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$ 500,00 depositados
num banco e faça as seguintes retiradas. Qual o saldo final?


Dos R$ 500,00 retira R$ 200,00.

Do que sobrou, retira R$ 200,00.

Do saldo, retira R$ 200,00.
Subconjunto dos números inteiros:
 Inteiros não – nulos: São os números inteiros, menos o zero. Na
sua representação devemos colocar (*) ao lado do Z.
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
 Inteiros não positivos: São os números negativos incluindo o zero.
Na sua representação deve ser colocado (-) ao lado do Z.
Z- = {..., -3, -2, -1, 0}
4
 Inteiros não positivos e não – nulos: São os números inteiros do
conjunto do Z- excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar
o (-) e o (*) ao lado do Z.
*
Z - = {..., -3, -2, -1}
 Inteiros não negativos: São os números positivos incluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o (+) ao lado do Z.
Z+= { 0,1 ,2 ,3, 4,...}
OBS: O Conjunto Z+ é igual ao Conjunto dos N.

Inteiros não negativos e não – nulos: São os números do
conjunto Z+, excluindo o zero. Na sua representação devemos
colocar o (+) e o (*) ao lado do Z.
*
Z + = {1, 2, 3, 4,...}
OBS: O Conjunto Z* + é igual ao Conjunto N*.

Considerações:
 No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas
para N, vale apropriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para
todo a em Z, existe -a m Z, de tal forma que a + (-a) = 0;

Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z:
a – b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z.

Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado
q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z.

Por esta razão não podemos definir divisão no conjunto dos números
inteiros.
5
 Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z é o de
divisor. Isto é, o inteiro a é divisor do inteiro b – simbolizado por b | a – se
existe um inteiro c tal que b = ca.
 Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta
orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda
associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros
positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento.

Cada ponto da reta orientada é denominado de abcissa.

Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x
se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência
da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.
Referências:

Site: http://www.brasilescola.com
 Páginas:
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-inteiros.htm

Site: http://www.blogviche.com.br/

Página: http://www.blogviche.com.br/2007/02/02/conjuntosnumericos/
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