curso de estatística aplicada no excel

CURSO DE ESTATÍSTICA APLICADA NO EXCEL
(MÓDULO FINANÇAS – opções parte 2)




Alguns fatos relacionados a opções;
O modelo de Black-Scholes;
Inserindo a função de Black-Scholes no Excel;
As gregas:
 O Delta
 O Teta
 O Gama
 O Vega
 O Rô
1. ALGUNS FATOS RELACIONADOS A OPÇÕES
Antes de iniciar a discussão sobre opções, devemos padronizar a notação a ser
utilizada. A tabela a seguir mostra as variáveis que estão relacionadas ao cálculo do
preço de uma opção:
S0
ST
X
r
C0
P0
Ct
σ
T
Pt
-Preço da ação no momento zero (hoje)
-Preço da ação na data de exercício
-Preço de exercício da opção
-Taxa de juro de mercado1
-Preço da opção de compra no tempo zero
-Preço da opção de venda no tempo zero
-Preço da opção de compra no tempo t
- Desvio-padrão dos retornos de ações
- Prazo para a maturidade, expresso em anos2
-Preço da opção de venda no tempo t
A seguir, fazemos uma pequena discussão sobre alguns fatos relacionados ao
mercado de opções.
Fato 1. O preço da opção de compra é dado por: C  Max[ S 0  VP( X );0]
A princípio esse fato pode não parecer tão óbvio. Mas, considere, por
exemplo, as seguintes características S0  63, X  60, C  2 , ou seja, o preço da
ação no momento atual é 63, uma opção de compra vale 2 e seu preço de exercício é
60. Vamos mostrar primeiro que: c  Max[ S 0  X ;0] , não considerando ainda o
termo do valor presente VP(). Esse exemplo está no arquivo opções.xls, na planilha
fatos.
1
Taxa de juros expressa em termos anuais. Se os juros são de 10% ao ano, colocamos 10% na fórmula de
Black-Scholes.
2
Nesse caso, se tivermos uma opção que expira em 3 meses, T=90/360 e T=0,25. Se expira em 50 dias,
T=50/360 ou T=0,1389.
Com os dados fornecidos teremos Max[63  60;0]  3 e, dessa forma, C=3.
Suponha que não, que C=2. Dessa forma, podemos montar uma estratégia de
arbitragem e ganhar dinheiro comprando uma opção de compra por 2, exercendo-a
imediatamente e comprando a ação por 60, logo depois vendendo a ação no
mercado por 63 e obtendo um lucro de 1, ou seja, 63-60-2=1.
Como é sabido, tal possibilidade de arbitragem não poderia durar muito no
mercado. Sendo assim, uma opção de compra americana deve ser vendida por mais
do que a diferença entre o preço da ação e seu preço de exercício.
Mas, ainda estamos nos esquecendo de considerar a possibilidade de se
inserir a taxa de juros nessa análise. Sendo assim, devemos mostrar que:
c  Max[ S 0  VP( X );0]
Ou seja, que na verdade o preço da opção de compra deve ser vendida por
mais do que a diferença entre o preço da ação e o valor presente de seu preço de
exercício. Considere uma taxa de juros de 10% ao ano e agora C=2. Como poderia
ser montada uma estratégia de arbitragem?
No tempo t=0.
 Vende uma ação a descoberto (contrato a termo) e embolsa 63;
 Compra um título que paga x=60 no tempo T;
60
o Desembolso inicial => PU 
 54,55
(1  10%)
 Compra uma opção de compra por 5;
 Total da transação 63-54,55-5 = 6,45 de lucro
No tempo T, quando vencem os contratos.
 Compra a ação para entrega. Não conhecemos o preço hoje. ST;
 Resgata o título por x=60;
 Exerce a opção se ela estiver “in the money”, ou então deixa ela virar
pó. Isso irá depender de ST.
Para ver como se comporta o resultado, suponha um preço da ação em 40 e
outro em 70. Note que, no primeiro caso, seu resultado final será um lucro de 20
mais o resultado da operação no momento t. Ou seja, 6,45 + 20 = 26,45. No caso do
preço da ação estar em 70, a opção é exercida, mas gasta-se mais na compra da ação
para honrar o contrato a termo. Nesse caso, teremos apenas o lucro obtido no
momento zero, 6,45. Assim, qualquer que seja o preço da ação no momento T
desconhecido, temos uma oportunidade de arbitragem no qual não há perdas.
Portanto, a opção de compra está barata, e seu preço deve subir para evitar essa
arbitragem. Usando o atingir meta para a data t=0, encontramos que C=8,45.
Sendo assim, C deve ser maior que 8,45 para evitar a possibilidade de
arbitragem nesse mercado, e mostramos que:
C  Max[ S 0  VP( X );0]
Fato 2. Nunca é vantajoso exercer a opção de compra antecipadamente
Suponha que S0  63, X  60, C  12, r  10% os dados relativos a uma
opção de compra que vence em 1 ano, e que você resolva exercer a opção antes da
data de vencimento, aproximadamente após 2/3 do ano ter passado.
Além disso, vamos assumir que, nessa data, o preço da ação esteja em
St  2 / 3T  80 . Nesse caso, você pode optar por 2 estratégias:


Exercer a opção de compra e ganhar: Max[80  60;0]  20 ;
Vender a opção no mercado aberto por no mínimo:
60
;0]  21,876
(1  10%) 1 / 3
Você pode repetir o exercício para diferentes valores de S t que, em qualquer
momento, será mais vantajoso vender a opção, ao invés de exercê-la.
Max[ S t  VP( X );0]  Max[80 
Fato 3. Paridade opção de compra e opção de venda: put-call-parity
Esse fato atesta que a relação entre uma opção de venda e uma opção de
compra é dada por:
put t  call t  VP( X )  S 0
Para demonstrar isso, considere os dados do exemplo anterior, com
S0  63, X  60, C  12, r  10%, T  1 . Qual deverá ser o preço da opção de venda
put (P)?
Em primeiro lugar vamos imaginar que temos putt  callt  VP( X )  S0 , por
exemplo, P0  3 . Nesse caso, temos uma possibilidade de arbitragem que pode ser
dividida em dois períodos.
No tempo t=0.





Compra uma ação por 60;
Compra uma opção de venda desembolsando 3;
Vende uma opção de compra ganhando 12;
Toma um empréstimo de 1 ano que no vencimento tenha valor de:
60
empréstimo 
 54,55 .
(1  10%)
Essa estratégia gera um resultado positivo de 0,55.
No tempo T=1.
 Vendemos a ação pelo preço ST;
 Exerce a opção de venda, se ela estiver “in the money”:
Maximo( X  ST ;0) ;
 Tem a opção de compra exercida pelo titular (a depender das
condições de mercado), gerando um fluxo de caixa negativo:
 Maximo(ST  X ;0) ;
 Paga o empréstimo de 60.
Vejamos duas situações diferentes para o preço da ação no mercado, um no
qual ele se encontra acima do preço de exercício, por exemplo, ST  90 , e outro no
qual ele se encontra abaixo, como por exemplo ST  30 .
Como pode ser visto, em qualquer das duas situações, o fluxo de caixa em T
será zero. Nesse caso, como tivemos um lucro no momento t=0, então verifica-se a
possibilidade de arbitragem.
Vejamos como podemos calcular o preço da put.
put t  call t  VP( X )  S 0
60
putt  12 
 63
(1  10%)1
putt  3,55
ou então use o atingir meta para encontrar esse valor:
Fato 4. O preço de uma opção de venda americana é dado por:
Pt  Máximo( X  S0 ;0)
Caso essa identidade não se verifique, então teremos uma possibilidade de
arbitragem no mercado. Para ilustrar, considere os seguintes dados de mercado:
S 0  63, X  70, T  1, Pt  3 .
Uma possibilidade de arbitragem seria:




Comprar uma opção de venda gastando 3;
Comprar uma ação no mercado gastando 63;
Exerce a opção de venda imediatamente por 70;
Obtém um lucro de 4 para cada transação dessas
Para eliminar a possibilidade de arbitragem, devemos ter:
Pt  Máximo( X  S0 ;0)
Pt  Máximo(70  63;0)
Pt  7
Fato 5. O preço de uma opção de venda européia é dado por
Pt  Máximo(VP( X )  S0 ;0)
Esse fato é justamente o inverso o fato 1. A única diferença é que o fato 1 se
aplica a qualquer tipo de opção de compra (call), tanto as européias quanto as
americanas. Ao passo que o fato 5 se aplica apenas a opções de venda (put)
européias.
Fato 6. Pode ser vantajoso exercer uma opção de venda americana
antecipadamente.
Ao passo que nunca é vantajoso exercer uma opção de compra, que não paga
dividendos, antecipadamente, isso não é necessariamente verdade para uma opção
de venda americana. Sendo assim, se o preço da opção de venda cai muito, fica
vantajoso exercer antecipadamente a put.
Sejam os seguintes dados de mercado: S 0  63, X  100, T  1, r  10% .
Suponha que você tenha uma opção de venda e que o preço da ação caia, tornando a
sua opção “in the money”. Dessa forma, a sua estratégia, antes da data de
vencimento da opção será:


Exerce a opção de venda: Máximo( X  S0 ;0)
Pega os recursos e investe em título de renda fixa pelos próximos 1/3
do ano, que é o período restante para completar 1 ano, e obtém o
resultado: lucro  Pt (1  10%) 1 / 3 .
Suponha que o preço da ação caia de S0  63 para S t  30 . Então, o
exercício da opção de venda gera um lucro de 70 que, aplicado no mercado de renda
fixa, resulta em 72,3 no prazo de 1/3 do ano. Quanto mais baixo for o valor da ação,
mais vantajoso passa a ser o exercício da opção de venda, mesmo estando longe do
prazo de vencimento da mesma, o que não é verdade para a opção de compra.
Fato 7. O preço das opções é convexo
Suponha que temos três opções de compra, todas com a mesmo período de
tempo até a data de vencimento (T), mas com diferentes preços de exercício (X), ou
seja, X 1  15 , X 2  20 e X 3  25 . A propriedade da convexidade nos diz que a
opção de compra com o preço intermediário deve ter um preço menor do que a
média do preço da opção dos dois extremos, ou seja:
C ( X 15)  C ( X 25)
C ( X 20) 
2
Para provar tal propriedade, podemos usar a estratégia butterfly, que consiste
em:



Comprar um opção de compra;
Vender duas opções de compra;
Comprar outra opção de compra;
Suponha que tenhamos as seguintes características:
Custo da opção em t
Nº de opções adquiridas
Preço de exercício (X)
Compra
4,5
1
15
Vende Compra
2,5
0,2
-2
1
20
25
Analisando como se comportaria o lucro com essa estratégia para diferentes
preços da ação, encontramos a seguinte ilustração:
6
Lucro total
5
4
3
2
1
35
26
24
22
20
18
16
10
0
Preço da ação
Como a linha de lucro total está acima do eixo x, ou seja, apresenta valor
positivo para todos os resultados, então temos a possibilidade de fazer arbitragem
nesse mercado. Podemos repetir esse cálculo mudando o preço das três opções para
C1  2,25 , C2  1,35 e C3  0,2 , onde o resultado também será uma curva que
promove um lucro sempre positivo.
Conclusão, o preço das opções está errado, e a condição necessária para que
C ( X 15)  C ( X 25)
tenhamos um ajuste de preço é encontrar: C ( X 20) 
. Essa condição
2
é conhecida no jargão do mercado como “a propriedade da convexidade do preço
da opção de compra”. Ressalta-se que o mesmo vale para o preço de uma opção de
venda.
2. O MODELO DE BLACK-SCHOLES
No início da década de 1970, dois importantes pesquisadores, Fisher Black e
Myron Scholes provaram uma fórmula que relacionava o preço de uma opção de
compra européia com opções de venda, para uma ação que não pagava dividendos3.
A fórmula utilizada para essa relação é dada por:
C  S 0 N (d1 )  Xe  rT N (d 2 )
onde temos que N(.) é a distribuição normal padrão e:
d1 
ln(
S0
X
)  (r  
2
2
)T
 T
d 2  d1   T
Podemos inserir facilmente essa fórmula no excel. Suponha os dados a seguir:
Preço da ação (S)
Preço de exercício (X)
Tempo p/ maturidade (anos) (T)
Taxa de juros livre de risco [r]
Desvio-padrão (sigma)
100
90
0.5
4%
35%
Com base nessas informações, podemos encontrar o preço de uma opção de
compra a partir da fórmula de B-S. Primeiro encontramos d1 e d2. A seguir, usamos
a função do excel =dist.normp(z) para encontrar N(d1) e N(d2) e depois a função
acima para encontrar o valor de C. Para encontrar o valor de P, podemos recorrer à
put-call-parity. Os resultados estão abaixo.
d1 =
d2 =
0.63028 N(d1) =
0.38279 N(d2) =
Opção de compra =
Opção de venda =
Put-call-parity =
0.7357
0.6491
16.32
4.533
4.533
A função =dist.normp(z)
Essa função irá retornar a função de distribuição cumulativa padrão para um
determinado valor de z, ou seja, considera uma média zero e um desvio-padrão de 1.
3
M Scholes e Robert Merton ganharam o prêmio nobel em economia em 1997. Fischer Black já havia
falecido em 1995.
Sendo assim, se especificarmos que z=0, estamos nos referindo ao ponto médio da
curva e, dessa forma, essa função nos retornará o valor de 0,5.
Usando os mesmos dados do exemplo anterior, podemos ilustrar como se
comportaria o preço da opção de compra calculada a partir da fórmula de B-S
relativamente ao seu valor intrínseco, ou seja, se optarmos por exercer
automaticamente a opção, dado por =Maximo(S-X;0).
70
Fórmula de Black-Scholes
60
Valor Intrínsico
Valor da Opção
50
40
Lembre-se da restrição (fato) 2:
nunca é vantajoso exercer a
opção de compra
antecipadamente.
30
20
10
65
70
75
80
85
90
95
100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150
Preço da Ação (S)
Esse resultado mostra a sensibilidade do preço de uma opção a oscilações no
preço da ação. É possível observar que, como ilustrado anteriormente pelo fato 2,
nunca é vantajoso exercer a opção de compra antecipadamente.
Uma variável utilizada no cálculo do preço de opções pelo modelo de BlackScholes é o desvio-padrão da ação. Há duas formas de calcularmos esse desvio; a
primeira é a partir da observação de seus valores históricos, denominada de
volatilidade histórica4. A segunda é a partir da verificação da volatilidade implícita,
obtida com o preço da opção.
Nesse ponto, é importante chamar a atenção para o fato de que, como a
fórmula de B-S trabalha com desvio-padrão anual, se você está calculando esse a
partir de dados históricos que não sejam anuais, é necessário fazer um ajuste da
seguinte forma:
Variância anual = 12 x (variância mensal)
Desvio-padrão anual = (12 x variância mensal)1/2
De uma forma geral:
 anual   mensal 12
 anual   semanal 52
 anual   diário 252
Para obter a volatilidade implícita, precisamos recorrer à fórmula de B-S.
Nesse caso, suponha os seguintes dados de mercado para S, X, T e r. Para calcular o
4
Há diversas técnicas estatísticas para se obter a volatilidade histórica de um ativo. Podemos usar modelos
determinísticos da família GARCH, ou então modelos estocásticos.
preço de uma opção de compra, imaginemos que   35% . Dessa forma, podemos
calcular d1, d2, N(d1), N(d2) e, usando a fórmula de B-S, encontrar o preço de
C=3,94.
Preço da ação (S)
Preço de exercício (X)
Tempo p/ maturidade (anos) (T)
Taxa de juros livre de risco [r]
Desvio-padrão (sigma)
35
35
0.5
6%
35%
d1 =
d2 =
0.24496 N(d1) =
-0.00253 N(d2) =
Opção de compra =
0.5968
0.4990
3.94
Porém, sabemos que o preço da opção de compra está sendo negociado no
mercado por c=5,25. Sendo assim, podemos usar o recurso “atingir meta” para o
preço da opção de compra, fazendo variar o desvio-padrão. Assim, encontramos que
  48,71% .
Vejamos como se comporta o preço de uma opção de acordo com variações
na sua volatilidade para os dados do exemplo anterior. Para tanto, vamos fazer uso
da função tabela, e construir um gráfico:
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
Desvio-Padrão
3. INSERINDO A FUNÇÃO DE B-S NO EXCEL
60%
55%
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
-
10%
Preço da opção de compra
7,0
Podemos criar uma macro no excel com a função de cálculo do preço de
uma opção de compra e de venda além de uma função que encontre a volatilidade
implícita no preço da opção, todos com base na fórmula de B-S5. Para tanto, será
necessário criar uma função que calcule d1 e, além disso, devemos também usar a
função de distribuição normal para encontrar N(d1). Nesse exemplo iremos não
apenas criar a função, mas também torná-la um suplemento para ficar disponível no
Excel, ou seja, vamos criar um módulo “Add-in”.
A seguir temos a descrição das funções que serão usadas;
Function d1(S, X, T, r, desvio)
d1 = (Log(S / X) + r * T) / (desvio * Sqr(T)) + 0.5 * desvio * Sqr(T)
'onde:
' S é o preço da ação
' X é o preço de exercício da opção
' T é o tempo para expirar a opção
' r é a taxa de juros
' desvio é o desvio-padrão
End Function
Function opçãocompra(S, X, T, r, desvio)
opçãocompra = S * Application.NormSDist(d1(S, X, T, r, desvio)) - X * Exp(-T * r) *
Application.NormSDist(d1(S, X, T, r, desvio) - desvio * Sqr(T))
End Function
Function opçãovenda(S, X, T, r, desvio)
opçãovenda = opçãocompra(S, X, T, r, desvio) * X * Exp(-r * T) - S
End Function
Function volcompra(S, X, T, r, meta)
‘ meta é o preço da opção de compra (C), fornecido no mercado.
maior = 1
menor = 0
Do While (maior - menor) > 0.0001
If opçãocompra(S, X, T, r, (maior + menor) / 2) > meta Then
maior = (maior + menor) / 2
Else: menor = (maior + menor) / 2
End If
Loop
volcompra = (maior + menor) / 2
End Function
Após, vá na planilha Excel, selecione arquivo/salvar como escolha um
nome, como por exemplo opçãocompra.xla e na opção “salvar como tipo”,
selecione “suplemento do Microsoft Excel”.
Dica: o melhor lugar para salvar os seus add-ins é em:
Arquivos de programa/Microsoft Office/Office 10/bibliote
5
Esse exemplo foi adaptado de Benninga(2000) e de http://www.geocities.com/WallStreet/9245/
Pronto, podemos usar essas funções a qualquer momento no nosso computador.
Aqui vale um comentário sobre a aplicação da função volcompra.
Inicialmente, estamos definindo um valor muito alto para a volatilidade, 100%, e
outro muito baixo, 0%. Depois, sempre que a distância entre esses dois valores for
maior do que 0,0001, calcule a média entre os dois, pegue esse valor e coloque na
função de opção de compra.
Se o valor encontrado pela opção de compra for maior do que a meta
estipulada para (c), então o valor estimado da volatilidade está muito alto. Assim,
recalcula para um novo valor “maior” para a volatilidade.
Por outro lado, se com base na primeira iteração, o valor de C encontrado é
menor do que o valor de C estipulado como meta, então modifica o valor “menor”.
O comando loop faz com que esse procedimento seja repetido até que a diferença
entre o maior valor e o menor seja < 0,0001.
Podemos agora ver como se comporta o preço de uma opção de compra a
diferentes valores para o preço da ação e da volatilidade. Vá no arquivo “BlackScholes – Plan1” na célula O13. Ali foi montada uma tabela no qual descreve, para
duas volatilidades diferentes, como seria o preço de uma opção de compra com
diferentes valores de S. O gráfico a seguir ilustra esse resultado:
70
Preço da opção de compra
60
B-S com vol de 20%
B-S com vol de 50%
50
40
Quanto maior a
volatilidade, maior o
preço da opção
30
20
10
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130 135
140
145
150
Preço da ação
4. AS GREGAS
O DELTA
O delta de uma opção de ações é a razão da mudança no preço da opção em
relação a mudanças no preço da ação. Em outros termos, podemos interpretá-lo
como a quantidade de ações necessária que devemos ter para cada opção vendida,
como forma de se criar um hedge sem risco. Ou ainda, ele pode ser interpretado
como a inclinação da curva que relaciona o preço da opção ao preço do ativo. É
importante salientar que o delta de uma opção de compra é positivo, ao passo que o
delta de uma opção de venda é negativo.
c

S
Suponha que tenhamos encontrado um delta de uma opção de compra de
valor 0,4. Sendo assim, para uma variação de 10% no preço da ação, teremos uma
variação de 6% no preço da opção. Apesar de o investidor poder fazer um hedge
com opções, hedge de delta, esse mudará a todo momento, o que implica na
necessidade de ajustes periódicos para manter o hedge.
O TETA
O teta de uma carteira de opções é a taxa de variação de seu valor em relação
a variações em T (prazo de maturidade), tudo o mais permanecendo constante.
Como à medida em que se reduz o tempo para a maturidade a opção tende a ter um
menor valor, o teta de uma opção é quase sempre negativo.
O GAMA
O gama de uma carteira de opções de um ativo é a taxa de variação de seu
delta em relação ao preço do ativo. Também podemos nos referir ao gama de uma
opção como sendo a curvatura da opção em relação ao preço do ativo.
O VEGA
O vega de uma carteira de opções é a taxa de variação do valor da carteira
com relação à volatilidade do ativo a ela relacionado. Valores de vega muito
elevados significam que a carteira é muito sensível a pequenas mudanças na
volatilidade.
O RÔ
O rô de um portfolio de opções é a taxa de variação do valor da carteira com
relação à taxa de juros, e serve para medir a sensibilidade dessa carteira a oscilações
na taxa de juros.