gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
CONJUNTOS NUMÉRICOS NA RETA - GABARITO
1) Considere os números a 
2  3 e b  4  24 . Calcule valor de a 2  b 2 .
Solução. Desenvolvendo as potências pedidas, temos:
 2  3   2  2 2  3   3  5  2 6
 4  24   16  24  24   24  40  8
2
a2 
b2
2
24  40  8 2 2.2.3  40  8.2 6  40  16 6 .
Logo, a 2  b 2  5  2 6  40  16 6  45  14 6
2) Calcule valor das expressões:
a) m  

 3
2

3
b) n   1 
4
1  2 3

 .
0,444...  4 2 6
0,5
 2,1717...
Solução. Encontrando as frações geratrizes e aplicando as propriedades das potências, temos:
x, se x  0
x  0,444...
4

2
i) 
 10 x  x  4  x  ; ii) x  x  0, se x  0 
9
10 x  4,444...
 x, se x  0

a)

m

 32
3

 32
3
3
3



 2
1 
3
1 
3
9 2 3

3 2 3


 3
.
 3   .
  .

 .
4  4 2 4.2 2 
0,444...  4 2 6 
4  24 2 2  4  2 2
9


3
2
2
2
2
2
2 2 3 2 6
 42 3
4 4 3 2 4 2 3 2
m  .
.
   . .
 .
.

. 2
.

3 3 4
3
3
3
3
3 2 2 2
3 3 4
x  2,1717...(*)
215

i) 10x  21,717...
 100x  x  217  2  x 
99
b) 100x  217,1717...(*)
 1
n 
4
0,5
 ( 3)  3
1
 1  2 215
 2,1717...    

99
4
1 215 1 99
99

 

4
99
2 215 430
3) Coloque os números a seguir em ordem crescente.
Solução. Os números irracionais serão aproximados
até os milésimos. O mesmo será feito com as
dízimas. Caso seja necessário estuda-se a próxima
ordem até que haja diferença entre elas.
Comparando todos os números na forma decimal
com aproximação em milésimos, temos:
.
.
4) Sejam a e b números reais positivos. Marque a alternativa errada:
( ) ab   a x .b x ,  x, y  IR
( ) a x  y  a x .a y ,  x, y  IR
( )a
x
x y
 a x ,  x, y  IR
y
x
ax
a
( )    x ,  x, y  IR
b
a
ax
 y ,  x, y  IR
a
xy
 
(X) a
 
x
Solução. A propriedade de potência envolvida é: a
y
 a x.y ,  x, y  IR . As demais estão corretas.
5) Considere a seqüência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o resultado anterior: “Comece
com um número x. Subtraia 2, multiplique por
3
, some 1, multiplique por 2, subtraia 1 e finalmente
5
multiplique por 3 para obter o número 21. Qual o número x.
Solução. Expressando a sequência indicada, temos:
3x  6
3x  6  5 3x  1
6x  2
 3 x  1
1

iv) 
.2 
5
5
5
5
5


6x  2
6x  2  5 6x  7
18 x  21
 6x  7 
.
v)
1

vi ) 
.3 
5
5
5
5
5


18 x  21
105  21 126

 21  18 x  21  105  x 

x7
5
18
18
ii) x  2.
i) x  2
3 3x  6

5
5
iii)
6) Sejam a e b números irracionais quaisquer. Das afirmações:
I) a.b é um número irracional;
II) a + b é um número irracional;
III) (a – b) pode ser um número racional;
Pode-se concluir que:
a) as três são falsas
b) as três são verdadeiras
c) somente (I) e (III) são verdadeiras
d) somente (I) é verdadeira
e) somente (I) e (II) são falsas
Solução. Analisando cada afirmação, basta encontrar um contra-exemplo que não satisfaça a condição
para que a sentença seja falsa.

a  1  5
I) Seja 

b  1  5



 a.b  1  5 . 1  5  1 

a  1  5
II) Seja 

b  1  5

 
2
 5
2
 1  5  4  Z . (Falsa)

 a  b  1  5  1  5  2  IN . (Falsa)
a  1  5
 a  b  1  5  1  5  2 5  I (irracional )

b  1  5

 

III) Seja ou
. (Verdadeira)
a  3  5
 a  b  3  5  4  5  7 I  7  Q

b  4  5

 

7) Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes:
Solução. Analisando cada afirmação, temos:
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos os outros.
(Falso). O conjunto Z é infinito tanto para positivos (não há maior elemento), quanto para negativos (não
há menor elemento).
b) O número real
(Falso). O número
2 pode ser representado sob a forma
p
, onde p e q são inteiros, q  0.
q
2 é irracional, pois não há parte periódica em sua representação decimal.
c) O número real representado por 0,37222... é um número racional.
(Verdadeiro). Como a parte decimal apresenta um período, há uma fração geratriz:
335
67

.
900 180
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
(Falso). Basta que a equação ax2 + bx + c = 0, apresente (b2 – 4ac) < 0, que as raízes não serão reais.
e) O quadrado de qualquer número real é um número racional.

2
(Falso). Se x  1  2  x  1  2

2
 1 2 2  2  3  2 2  Q .
8) O número real r que não pode ser escrito sob a forma r 
a) –1
b) 0
c) 1
x 1
, x real é:
x
d) 2
e) 3
Solução. Analisando cada opção, temos:
a)  1 
x 1
1
  x  x  1   x  x  1  2x  1  x   . Logo,  1 
x
2
b) 0 
 1  1  ok .
x 1
 0  x  1  x  1. Logo, 0 
 1
x
c) 1 
x 1
 x  x  1  x  x  1  0  1  impossível .
x
d) 2 
1  1  ok .
x 1
 2x  x  1  2x  x  1  x  1. Logo, 2 
1
x
e) 3 
x 1
1
 3 x  x  1  3 x  x  1  2x  1  x  . Logo, 3 
x
2
 12  1  ok .
 12
12  1 .
12  ok