introdução à física

MECÂNICA II - FMT 306
20semestre - 2006
1a LISTA DE EXERCÍCIOS(1a Parte)
1.Calcule os momentos de inércia I1, I2 e I3 de um cone reto circular, sólido e homogêneo,
de altura h, massa M e raio da base R que gira em torno do seu vértice. Escolha o eixo x3
ao longo do eixo de simetria do cone. Coloque a origem no vértice do cone e determine os
elementos do tensor de inércia. Determine os momentos principais de inércia em relação ao
centro de massa do cone.
2.Determine os momentos principais de inércia em relação a um referencial com origem no
centro de massa, para os seguintes corpos homogêneos:
a)Elipsóide de massa M e eixos a, b e c onde a>b>c.
b)Barra estreita de comprimento l e massa m. Calcule o momento de inércia para a barra
girando em torno de um dos seus extremos.
c)Hemisfério de raio R.
d)Esfera oca de raio R.
e)Cilindro circular de altura h e raio de base R.
3.Um sistema de três partículas consiste de massas mi e coordenadas (x1, x2, x3) como se
segue:
m1 = 3m, (b, 0, -b), m2 = 4m, (b, b, -b) e m3 = 2m, (-b, b,0)
Determine o tensor de inércia, os eixos principais e os momentos principais de inércia.
4.Um cubo uniforme, de aresta 2a, está suspenso por uma de suas arestas, ligada a um eixo
horizontal. Se o cubo parte do repouso, com seu centro de massa à mesma altura que o eixo
horizontal, calcule a sua velocidade angular quando ele passa pelo ponto mais baixo.
Determine também as componentes horizontal e vertical da reação sobre o eixo em função
da inclinação.
5.Uma placa plana retangular, de dimensões a x b e massa m, gira em torno de um eixo que
passa por uma das suas diagonais. Sua velocidade de rotação é w. O eixo está preso por
mancais nas suas extremidades. Calcule a força em cada mancal.
6.Um cubo uniforme de aresta 2a, desliza com velocidade v sobre uma mesa horizontal lisa,
quando a sua aresta dianteira da base é, instantaneamente, levada ao repouso por uma
saliência na mesa. Determine a velocidade angular imediatamente após esse impacto e a
fração de energia cinética perdida. Determine também o valor mínimo de v, para o qual o
cubo tomba, isto é, muda a face de sustentação.
7.Uma prancha uniforme de espessura a é colocada no topo de um cilindro de raio R e eixo
horizontal. Mostre que a condição de equilíbrio estável da prancha, assumindo que não
existe escorregamento, é R>a/2. Qual é a freqüência de pequenas oscilações? Obtenha a
energia potencial como função do deslocamento angular  e mostre que existe um mínimo
em =0 para R>a/2 e não existe mínimo para R<a/2.
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MECÂNICA II - FMT 306
1a LISTA DE EXERCÍCIOS(2a Parte)
8.Um disco uniforme de massa M e raio a está girando preso a um eixo fixo que passa pelo
seu centro de massa e forma um ângulo  com o eixo de simetria do disco. O disco gira
com velocidade angular w.
a)Indique, por considerações de simetria, as direções dos eixos principais com origem no
centro do disco.
b)Considere a direção k ao longo do eixo de rotação e direções x e y convenientes, todas
fixas no laboratório, e calcule as componentes do momento angular nessa direções, em
termos de w,  e dos momentos de inércia principais.
c)Calcule os momentos principais de inércia.
d)Calcule o torque no eixo devido à rotação.
e)Num determinado instante, o disco se solta do eixo. Qual o comportamento de L1, L2 e L3
subseqüente? Qual a direção do novo eixo de rotação?
9.Obtenha a velocidade angular de precessão  de um giroscópio constituído de um disco
uniforme de massa M e raio R que gira com velocidade angular w em torno de um eixo
fino, horizontal, de comprimento l. O giroscópio se apóia, sem atrito, num dos extremos do
seu eixo.
10.Dado um setor circular com as seguintes características: para 0<r<a sua densidade é ,
para a<r<b a sua densidade é .
a)Determine o tensor de inércia do corpo.
b)Determine os eixos principais de inércia e respectivos momentos de inércia.
11.Os momentos principais de inércia de um cilindro de raio r, massa M e altura h são:
M
h2 
M
 e I 3  r 2
I1=I2=  r 2 
4
3 
2
Considere um cilindro homogêneo, de massa M, raio R e altura H, girando com velocidade
angular w em torno de um eixo que forma um ângulo  com o eixo de simetria do cilindro,
R
tal que tg  =
ou seja, segundo a diagonal do retângulo formado pela seção do
H/2
cilindro.
Se o cilindro está rigidamente ligado ao eixo, calcule o torque que deve ser aplicado ao eixo
para que o sistema se mantenha. De sua resposta no sistema do cilindro e no sistema fixo,
especificando claramente os eixos nos dois sistemas.
12.Determine a freqüência de pequenas oscilações de uma placa fina e homogênea, no
formato de um triângulo eqüilátero, cujo movimento se dá no plano da placa.
a)Quando a placa está suspensa por um dos seus lados e o ponto de suspensão está no meio
do lado.
b)Quando o ponto de suspensão da placa é um dos vértices do triângulo.
2
13.Considere um disco fino e homogêneo composto por duas metades, a primeira com
densidade  e a segunda de densidade 2. Escreva a expressão da Lagrangiana para o disco
rolando sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal. A rotação se dá no plano do
disco.
14.Um corpo simétrico se move sem a influência de torques ou forças. Considere x3 um
eixo de simetria do corpo e L ao longo do eixo x’3. O ângulo entre w e x3 é . Considere
que inicialmente w e L estão no plano x2,x3. Determine a velocidade angular  de L em
torno do eixo de simetria em termos de I1, I3, w e .
15.Investigue o movimento do pião simétrico para o caso em que o eixo de rotação é
vertical. Mostre que o movimento tanto pode ser estável quanto instável dependendo se a
4I Mhg
quantidade 12 2 é maior ou menor que um. Esboce o potencial efetivo V() para os dois
I 3 3
casos indicando os dois tipos de movimento nas curvas. Se o pião estiver girando na sua
configuração estável, qual é o efeito do atrito reduzindo gradualmente o valor de w3?
16.Considere uma placa fina, homogênea com momentos principais de inércia I1 ao longo
de x1, I2>I1 ao longo de x2 e I3= I1 +I2 ao longo de x3. A origem dos sistemas xi e x’i
coincidem e estão localizadas no centro de massa O da placa. Em t=o, a placa é colocada
para girar de um modo livre de forças com uma velocidade angular  em torno de um eixo
inclinado de  do plano da placa e perpendicular ao eixo x2. Se I1/I2 = cos 2, mostre que
em um instante t qualquer, a velocidade angular em torno do eixo x2 será:
w2(t) =  cos  tgh (  t sen )
17.Determine a energia cinética de um cilindro homogêneo de raio a e massa M que rola no
interior de uma superfície cilíndrica de raio R. Dê sua resposta em função de (t), onde  é
o ângulo entre a reta que une o centro dos dois cilindros e a vertical.
18. Determine a energia cinética de um cone homogêneo de ângulo de abertura 2 e
distância a, sobre o eixo do cone, ao centro de massa, que rola sobre um plano com o
vértice fixo na origem. Considere o ângulo  entre o eixo x e a lateral do cone em contato
com o plano de rolamento e escreva a energia cinética em função de (t).
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