gabarito do exame final

Álgebra Linear 2- 2008/2
Gabarito do exame final
Primeira questão (2 pontos): Em
(a) Se
, considere novas coordenadas
, encontre uma base de
do vetor
de forma que
dadas por
sejam as coordenadas
nesta base. Esta base é única?
(b) Encontre um valor de
para o qual não é possível atender ao pedido do item
anterior para todo
. Justifique sua resposta.
Resolução: Se
são as coordenadas de
na base
,e
denota a base canônica, então
Por outro lado, é dado que
onde
Como estas relações valem para qualquer
que
é necessariamente invertível e que
os vetores da base
, devemos ter
. Concluímos
, que é a matriz cujas colunas são
escritos na base canônica. Em particular, a base
determinada por , logo é única (dada a matriz invertível ).
(a) Fazendo
, obtemos
Logo,
(b) Como o determinante de
é
,
não será invertível se
.
está
Segunda questão (2,5 pontos):
é um operador diagonalizável em um espaço vetorial
real de dimensão cinco que satisfaz a equação
.
(a) Descreva todas as possibilidades para o polinômio mínimo de .
(b) Para cada uma das possibilidades encontradas acima, encontre todas as
possibilidades para o polinômio característico de , e apresente a correspondente
matriz de
na forma diagonal.
Resolução: (a) Sejam
e
os polinômios mínimo e característico de ,
respectivamente. Como
concluímos que o polinômio mínimo de
é diagonalizável,
deve dividir
é produto de fatores lineares. Como o espaço é real,
um fator quadrático irredutível. As possibilidades para
(1)
. Como
(2)
(5)
são, portanto,
(3)
(6)
é
(4)
(7)
(b ) O polinômio característico tem grau cinco e os mesmos fatores do polinômio
mínimo, com multiplicidades possivelmente diferentes. Damos abaixo as
possibilidades para , para cada uma das possibilidades de (1) a (6) acima, numeradas
de maneira óbvia.
(1)
(2)
(3)
(4i)
(4ii)
(4iii)
(4iv)
(5i)
(5ii)
(5iii)
(5iv)
(6i)
(6ii)
(6iii)
(6iv)
(7i)
(7ii)
(7iii)
(7iv)
(7v)
(7vi)
Como
é diagonalizável, a multiplicidade algébrica de cada autovalor é igual a sua
multiplicidade geométrica, que é o número de vezes que o autovalor aparece ao longo
da diagonal na forma diagonal da matriz de .
As formas diagonais correspondentes a cada possibilidade acima estão dadas abaixo, e
estão determinadas a menos da ordem dos elementos da diagonal. Por simplicidade,
são mostrados apenas os elementos ao longo da diagonal.
Terceira questão (2 pontos): Considere a quádrica dada por
(a) Encontre a equação da quádrica em um novo sistema ortonormal de coordenadas,
de forma que esta equação não tenha termos cruzados. Determine a relação entre as
novas coordenadas e as velhas coordenadas.
(b) Encontre a equação da quádrica em um novo sistema ortonormal de coordenadas,
de forma que esta equação não tenha termos cruzados nem lineares. Identifique a
quádrica. Determine o centro da quádrica nas coordenadas usuais.
Resolução: A matriz da forma bilinear simétrica associada à quádrica dada é
cujo polinômio característico é
. Os vetores
auto-vetores associados ao autovalor
e o vetor
e
são
é auto-vetor associado ao
autovalor . Uma base ortonormal de auto-vetores da matriz acima será
(a) Definimos o novo sistema ortonormal de coordenadas
por
Nas novas coordenadas, a parte quadrática da equação da quádrica se transforma em
. Como
, a equação da quádrica nas novas coordenadas
será
(b) Completando quadrados na equação acima, obtemos
onde
,
centro corresponde a
e
. A quádrica é um hiperbolóide de uma folha. Seu
,
e
, logo é o ponto
.
Quarta questão (2 pontos): Sejam
Sabendo que
linear
é uma base de
na base
e que a matriz da transformação
é
a) Expresse
na base canônica de
b) Mostre que
é base de
c) Encontre a matriz de
.
.
na base .
d) Encontre o núcleo de .
Resolução: (a) A partir da matriz dada, obtemos que
(b) Note que
Como
é uma base, a ultima igualdade se verifica se e somente se
, o que se verifica se e somente se
Logo, os vetores
,
,
,
exatamente quatro, formam base de
.
são linearmente independentes, e como são
.
(c) Sejam
,
,
e
Das relações acima se conclui que a matriz de
(d) Suponha que o vetor
Como
é uma base de
. Temos que
na base
é dada por
esteja no núcleo de . Então
, concluímos que
formado pelos múltiplos de
. Portanto, o núcleo de
. Ou seja,
é
Quinta questão (2,5 pontos): Definimos um novo produto interno em
denotamos por
, que
, de forma que a base
seja ortonormal com relação a
.
Considere o operador
dado por
)
Com relação ao produto interno dado,
(a) Mostre que
é auto-adjunto.
(b) Encontre uma base ortonormal de autovetores de , e determine a matriz de
nesta base.
Resolução: (a) Seja
a base dada acima. Sendo a base canônica de
, temos
Como
De onde obtemos
Como a matriz de
concluímos que
na base
é simétrica, e
é ortonormal no produto interno
é auto-adjunto com relação ao produto interno
.
,
(b) O polinômio característico de
é
, cujas raízes são ,
e
Usando a matriz encontrada no item anterior, encontramos os auto-vetores
e
respectivamente aos auto-valores ,
e
coordenadas são dadas em relação à base . Note que, como
.
,
. Note que as
é ortonormal, os três
vetores acima constituem uma base ortogonal em relação ao produto interno dado, o
que era previsto pelo teorema espectral. A base ortonormal procurada será
que, em coordenadas usuais, se escreve
A matriz de
na base acima é a matriz diagonal cujas entradas da diagonal são os
autovalores associados aos auto-vetores na ordem dada, que será a matriz