Múltiplos de divisores de um Número

Múltiplos de divisores de um Número
Divisibilidade
Múltiplos e divisores de um número.
Dados dois números naturais, se a divisão do primeiro pelo segundo é exata, dizemos que:
 o primeiro é divisível pelo segundo (também podemos dizer que o primeiro é múltiplo do segundo);
 o segundo é divisor do primeiro ( também podemos dizer que o segundo é fator do primeiro).
Ex.:
12 é divisível por 3 ou múltiplo de 3.
3 é divisor de 12 ou fator de 12.
Critérios de Divisibilidade
1)Por 2
Quando o número for par.
Ex.: 350, 1432, 3684, 12956, 136548, etc.
Matemática
2)Por 3 e Por 9
Quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos der um número divisível por 3 ou 9 respectivamente.
Ex.:
504 é por 3 e 9
834 é por 3 mas não é por 9
25434 é por 3 e por 9.
Obs.: Todo número divisível por 9 é divisível por 3, mas nem todo número divisível por 3 é divisível por 9.
3)Por 4
Quando terminar em 00 ou quando os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível por 4.
Ex.:
500 é divisível por 4
6532 é divisível por 4
4) Por 5
Quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.
Ex.: 56.320, 136.455, 1.951.300, etc.
5) Por 6
Quando for por 2 e 3 ao mesmo tempo.
16746 é por 2 e 3 , logo também é por 6.
5812 é por 2 mas não é por 3, logo não é por 6.
6) Por 8
Quando terminar em 000 ou quando os três últimos algarismos da direita formarem um número múltiplo de 8.
Ex.: 18000, 1440, 9160, etc.
7) Por 10 ...Quando terminar em 0....Ex.: 50, 860, 3500, 72000, etc.
Divisores de um número
Escreve-se 1 um pouco acima do primeiro fator primo (2).
Os divisores são obtidos, a partir de 1, multiplicando-se cada um dos fatores primos pelos números que vêm à direita do
traço, e situados acima dele. Os divisores obtidos, mais de uma vez, não são repetidos.
1 (divisor de todos os números)
60 2 2
30 2 3,6,12
15 3 5,10,20,15,30,60
5 5
1
Conjunto dos divisores de 60: {1, 2, 3, 4, 6, 12, 5, 10, 20, 15, 30, 60}
Um número inteiro positivo p  1 é denominado número primo, se
e somente se os seus divisores positivos são 1 e p.
Quantidade de divisores de um número
A quantidade de divisores de um número é obtida somando-se uma unidade aos expoentes de seus fatores primos e
multiplicando os resultados:
Exemplos:
1) Determinar o número de divisores de 72
72 = 23 x 32
(3+1) x (2+1) = 4 x 3 = 12 divisores
2) Determinar o número de divisores de 120.
120 = 23 x 3 x 5 (3+1) x (1+1) x (1+1) = 4 x 2 x 2= 16 divisores
Quantidade de divisores ímpares de um número
A quantidade de divisores ímpares de um número é obtida somando-se uma unidade aos expoentes dos fatores primos
ímpares e multiplicando os resultados.
Exemplo: 120 = 23 x 31 x 51
n.º de divisores ímpares = (1 + 1) . (1 + 1) = 4
Logo, 120 tem 4 divisores ímpares.
Quantidade de divisores pares de um número
A quantidade de divisores pares de um número é obtida somando-se uma unidade aos expoentes dos fatores primos
ímpares e depois multiplicando o resultado pelo expoente do fator primo par.
Exemplo: 120 = 23 x 31 x 51
Matemática
N.º de divisores pares = (1 + 1) . (1 + 1). 3 = 12
Logo, 120 tem 12 divisores pares.
Cálculo da soma dos divisores de um número
Seja o número composto N = ap x bq x cr, com a, b e c números primos. Podemos calcular a soma dos divisores de N
por:
S = ap+1 – 1 x bq+1 – 1 x cr+1 – 1
a -1
b–1 c-1
Exemplo: 24 = 23 x 31
S = 23+1 – 1 x 31+1 – 1 =
2–1
3–1
S = 24 – 1 x 32 – 1 = 16 – 1 x 9 - 1
1
2
1
2
S = 15 x 4 = 60
S = 15 x 4 = 60
Cálculo do produto dos divisores de um número
Seja o número composto N. O produto dos divisores naturais de N é obtido extraindo-se a raiz quadrada de N, e
elevando-se o resultado do número de divisores positivos de N:
P
 
n º dedivisores
Exemplo: 12 = 22 x 3
n.º de divisores = (2 + 1) . (1 + 1) = 3 . 2 = 6
P=
 12 
6
= 123 = 1728
Decomposição de um número em fatores primos
O processo prático consiste em dividirmos o número por um de seus divisores primos.
Matemática
Ex.:
60
30
15
5
1
2
2
3
5
Portanto: 60  2 .3.5
2
Todo número inteiro maior do que 1, que não é primo, pode ser decomposto num produto
único de fatores primos. Esta afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da
Aritmética - TFA
Relação entre MMC e MDC
MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b
Exemplo :
MDC (10,14) = 2 e MMC(10,14) = 70. Observe que:
10.14 = 2.70 = 140 = MDC(10,14) . MMC(10,14)
1.MMC(a,b) = a . b  MMC(a, b) = a . b , ou seja:
O Mínimo Múltiplo Comum de dois números primos entre si é igual ao produto deles.
Exercícios
MDC, MMC e números Primos
SENAI – Aprendizagem Industrial - 2010
Turma – Programação de computadores
Professor: Learcino Luiz
1. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos números 24 e 180.
2. Quais dos seguintes números são Primos: 89, 504, 37, 18 e 243?
3. Achar todos os divisores de 50. Assinalar os que forem números Primos
4. Dos seis números seguintes, indicar os que forem divisíveis por 2, 3, 5, 6, 8 e 10: 2 418, 5 250, 633, 1 562,
13 000,125, 15254, 1500168.
5. Qual algarismo devemos colocar no lugar de a, no número 546 a 20, para que esse número seja divisível
por:
a) 3 b) 5 c) 6 d) 8
6.
Escrever os seguintes números como produto de fatores primos: 225, 568 e 150.
7. Um quitandeiro resolveu distribuir 36 laranjas, 60 abacates e 84 cajus, a várias crianças, de modo que cada
uma recebesse o mesmo e o menor número possível de frutas de cada espécie. Pergunta-se o número de
crianças aquinhoadas, e o número de frutas de cada espécie que recebeu cada criança.
8. Três reservatórios têm capacidades de: 1350 litros, 1764 litros e 4356 litros. Para encher cada um deles, uma
mesma vasilha foi usada em número exato de vezes. Qual a maior capacidade da vasilha? (em litros).
9. De um aeroporto partem três aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota de ida e
volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se, num certo dia, os três aviões partirem
simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia?
10. João, Antônio e Luís viajam regularmente para Brasília. João viaja de 15 em 15 dias, Antônio, de 12 em 12
dias e Luís, de 6 em 6 dias. Eles viajaram juntos dia 29/12/1997. A viagem seguinte dos três juntos a
Brasília foi em:
a) 26/02/1998
b)27/02/1998
c) 28/02/1998
d) 29/02/1998
11. O máximo divisor de dois números é igual a 10 e o mínimo múltiplo comum deles é igual a 210. Se um
deles é igual a 70, qual o outro?
12. Considere o número natural n = 2 x. 3 2 . Sabe-se que a quantidade dos seus divisores naturais é 15. Qual é o
valor de x?
13. As medidas tomadas sobre as divisas de um campo de formato triangular são: 504 m, 392 m e 378 m. O
proprietário deseja plantar coqueiros nas divisas do campo, de tal modo que as distâncias entre eles, tomadas
sobre as divisas, sejam iguais e as maiores possíveis. Calcular quantos coqueiros são necessários ao plantio.
14. Três rolos de arame farpado têm, respectivamente, 168 m, 264 m e 312 m. Deseja-se cortá-lo em partes de
mesmo comprimento, de forma que, cada parte, seja maior possível. Qual o número de partes obtidas e o
comprimento, em metros, de parte?
15. No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes "piscam" com freqüências diferentes. A
primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo instante as
luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?