Geometria do Universo 1 - DM

Texto nº. 7
Matemática
Instrumentação para o Ensino da
Geometria do Universo 1
J. A. Salvador
[email protected]
Introdução
Olhar o mundo ao nosso redor e descobrir as maravilhas da geometria intrínseca que o rege,
nos faz admirá-lo cada vez mais, pensar e perguntar, perguntar ... sobre todas as formas
geométricas, das mais simples até as mais complexas, cada qual tendo as suas
particularidades e razão de ser. Fazer nossos alunos seguirem por este caminho da
observação do seu dia a dia e propiciar-lhes um ambiente de questionamento, de discussão,
de querer descobrir e levá-lo a uma aprendizagem significativa é a nossa grande missão.
Sol, Gnômon, Sombra, Ângulo, Bissetriz e Rosa dos Ventos
Esta é uma das atividades que nos propiciará estudar as ciências e matemática de um modo
bastante interessante e motivador para nossos alunos, favorecendo o questionamento e
dúvidas acerca de nossa orientação no lugar onde moramos.
Os pontos cardeais, o meridiano do lugar e a bissetriz
Observe que existem diferentes formas de nos orientarmos na superfície da Terra. Como
nos localizamos na nossa rua, na nossa cidade, no nosso estado, no nosso país, na terra e no
Page 1
mundo?
Em que direção está a frente de nossa casa? Como é a iluminação natural dela?
A posição do sol pela manhã ou pela tarde é importante não só para obtermos a orientação
geográfica, mas também para economizarmos energia aproveitando a luz e o calor natural.
Uma das maneiras de nos orientarmos é observar o movimento aparente que o Sol e as
estrelas vistos da Terra fazem ao girar do oriente (Leste) para o ocidente (Oeste). Tal
observação é resultante do movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo Norte-Sul
de Oeste para Leste.
Para calcular os Pontos Cardeais ou mais detalhadamente a Rosa-dos-Ventos no nosso
horizonte, é necessário conhecermos linha meridiana indicando a direção dos pólos N - S.
O meridiano astronômico local é o plano vertical que passa pela linha meridiana e é de
suma importância para nossa orientação. Em astronomia observamos que os telescópios e
as lunetas dos observatórios são instalados nesta direção e podem-se mover acompanhando
os astros sem sair desta linha.
No caso da determinação das horas do dia, o eixo terrestre sobre o meridiano do lugar
funciona como um grande ponteiro fixo no qual gira aparentenente toda a esfera celeste
contendo o sol e as estrelas.
O estabelecimento das relações de perpendicularismo entre retas pode ser motivado pela
discussão dos pontos cardeais:
norte, sul, leste e oeste :
N - S - L - W.
Continuando o processo de determinar bissetrizes podemos obter;
os pontos colaterais: localizados entre os pontos cardeais,
Nordeste NE, Noroeste NO, Sudeste SE e Sudoeste SO ou SW.
os pontos subcolaterais: localizados entre um ponto cardeal e um ponto colateral,
Norte-nordeste NNE, Norte-noroeste NNO, Leste-nordeste ENE, Leste-sudeste ESE,
Sul-sudeste SSE, Sul-sudoeste SSO. Oeste-sudoeste OSO e Oeste-noroeste ONO
e os pontos intermediários: em número de 16 e estão localizados entre dois pontos
(cardeal e colateral ou subcolateral). São chamados de
intermediario entre N e NNE; intermediário entre NE e NNE, etc.
Você já observou que aqui no nosso hemisfério sul, seria interessante que nossas casas
tivessem janelas voltadas para o nordeste ou noroeste para que no inverno a luz da manhã
ou da tarde incida sobre elas e possa aquecer o ambiente. No sudeste ou sudoeste devemos
plantar árvores para que a sombra possa refrescar o ambiente no verão. Seria interessante
que a inclinação do telhado fosse voltada para o norte, para aquecer mais no inverno e
também propiciar a instalação otimizada de placas para captação de energia solar.
Problema: Como nos orientar na superfície da Terra?
Algumas questões para se fazer experimentos com os alunos
Aparentemente é o sol que gira ao redor da terra ou a terra ao redor do sol?
Quando a gente viaja de trem, ônibus ou de carro, podemos observar os postes da cerca na
margem da estrada e verificar o movimento aparente deles no sentido contrário ao nosso
movimento.
Page 2
A sombra de um objeto muda de direção e tamanho durante o dia?
E durante o ano?
Todos os dias do ano o sol nasce sempre na mesma hora e local?
O dia e a noite sucedendo um ao outro evidencia o movimento de rotação da Terra em
torno de um eixo?
Pesquise sobre as coordenadas geográficas.
Por que não usamos coordenadas cartesianas nos mapas terrestres?
Pesquise sobre o astrolábio, a bússola e outros instrumentos usados nas grandes navegações
do século XV.
Pesquise sobre o radar e o GPS ( Global Positioning System) usado atualmente em
comunicação com satélites para localizar as coordenadas de pontos na superfície da terra.
Como deve ser a trajetória aparente do sol no inverno? e no verão?
E um problema que se coloca é como nos orientarmos na superfície da Terra. Existem
várias maneiras evidentemente. Uma delas é determinando os Pontos Cardeais ou mais
detalhadamente a Rosa-dos-Ventos.
Para isso é necessário conhecermos linha meridiana indicando a direção dos pólos N - S.
Page 3
Pontos cardeais
A apresentação do problema e o questionamento do professor, o próprio ato de fazer uma
experiência como a da determinação dos pontos cardeais e do meridiano astronômico do
lugar no pátio da escola ou numa área isenta de construções ou árvores para evitar a
interferência de outras sombras, certamente contribuirá para o desenvolvimento do aluno. O
entendimento do movimento diurno, da bissetriz de um ângulo, o perpendicularismo entre
segmentos de retas, o destaque da importância do sol e o seu estudo via as ciências naturais
engrandecerá o aprendizado significativo do aluno.
A determinação da bissetriz de um ângulo de sombras de um gnômon, uma simples haste
fincada no solo, pode despertar o interesse dos alunos e fazer com que eles questionem
mais os problemas de ciências e matemática, relacionando-os com a geografia e as ciências
do lugar onde vivem, da terra e do céu.
Page 4
Kit Pedagógico - Rosa-dos-Ventos
Material usado para determinação do meridiano do local

Hastes retas (madeira, metal, cabo de vassoura, ... );

Fio de prumo ou esquadro de madeira;

Barbantes, corda ou arame fino;

giz colorido, transferidor, (compasso, lápis, papel, ... ).
Procedimento
Orientar os alunos para fincar uma haste reta perpendicular a uma superfície plana lisa e
horizontal num local onde tenha sol praticamente de manhã e a tarde. Pode-se usar fio de
prumo para ter certeza de que a haste está dirigida para o centro da terra. Discutir o uso do
fio de prumo pelos construtores. Esta haste era conhecida pelos povos antigos e chamada
gnômon, que significa relógio de sol.
Questionar como são os tamanhos das sombras com o passar das horas do dia, desde manhã
cedo quando o tamanho da sombra da haste é bem grande, ao meio dia verdadeiro quando a
sombra atinge o seu comprimento mínimo e a medida que se vai entardecendo a sombra da
haste torna aumentar o seu comprimento. A trajetória aparente do sol na esfera celeste
descreve uma semi circunferência em torno do eixo terrestre durante o dia ensolarado
fazendo com que a direção da sombra varia durante dia.
Como determinar o meridiano local
Vamos imaginar que o sol está muito distante de nós, 1 ua (unidade astronômica = 150 000
000 km).
Observamos a sombra de um raio solar projetada como na figura abaixo durante um dia
ensolarado.
Raio de sol e circunferência de sombra
durante um dia ensolarado, e marcamos a posição dos vários raios de sombra traçando as
respectivas circunferências concêntricas com um barbante amarrado ao pé da haste C.
Ligamos os pontos extremos das sombras dos raios solares da manhã com o centro C do pé
da haste no plano do horizonte exatamente perpendicular a haste formando a projeção da
sombra dos raios solares em várias horas do dia.
Page 5
Durante à tarde marque também os raios da sombra projetados pela haste que atingem a
extremidade de cada uma das circunferências feitas na manhã.
Com isso obtemos vários ângulos no plano do horizonte com vértices no pé da haste C, e
agrupamos os que formam pares de raios de uma mesma circunferência.
Traçamos a bissetriz de cada um destes ângulos. Verificamos que elas coincidem.
Evidentemente!
É a bissetriz comum destes ângulos que é a linha meridiana do local, indicando a direção
norte sul, N- S do lugar.
Quando duas retas no plano são perpendiculares?
Traçando a direção perpendicular à linha N - S obtida, temos a direção leste oeste, L - W.
Com isso os pontos cardeais do lugar ficam completamente determinados e podemos nos
orientar.
É interessante questionar como poderíamos nos orientar à noite?
Localize e observe o movimento aparente da constelação do cruzeiro do sul em torno de um
eixo imaginário ( O prolongamento do eixo de rotação da Terra!).
Questionamentos devem ser efetuados durante a experiência, como o conceito de
perpendicularismo ao fincar a haste ou estaca no solo, marcar os raios de sombras nos
momentos apropriados, traçar as bissetrizes dos ângulos obtidos pela sombra dos raios
solares da manhã e da tarde respectivamente, etc. Para enriquecer e trocar conhecimento
integre com os professores de Geografia, Astronomia, História, ...
Questionar desde a convenção N - S, o que se observa com relação ao tamanho das sombras
marcadas na primavera, verão, outono ou no inverno.
Que locais da Terra tem mesmo meridiano?
Observar num globo terrestre que a linha N - S local é uma geodésica da Terra, isto é, uma
circunferência máxima da Terra chamada meridiano, explorar o conceito das coordenadas
terrestres latitude  e longitude  . Observe onde o equador terrestre é perpendicular a
linha N - S.
Faça com que os alunos construam e mostrem o meridiano do local construído para os
Page 6
amigos e que saibam explicar a eles como o meridiano foi determinado.
Explorar conceitos e questões matemáticas relativas a segmentos de reta, circunferências,
arcos, triângulos, etc.
Qual é o comprimento do meridiano terrestre sabendo-se que o raio médio da terra é r =
6373 km?
Pesquise como Eratóstenes calculou o raio da Terra no século 3 a.C.
C := 2  r
O meridiano terrestre mede
C := 40055.30634
Faça uma rosa dos ventos no pátio da sua escola. Pinte-a com as cores que preferir.
Faça uma rosa dos ventos com flores no jardim de sua casa ou no jardim de sua escola.
Explore todos os assuntos relacionados com a luz do sol e os fenômenos conhecidos:
Decomposição da luz;
Fotossíntese;
Observe o ângulo da direção da ponta da sombra de um observador com o arco-íris;
Composição química do sol; reações nucleares que ocorrem no interior do sol ou de uma
estrela.
Observe a variação da direção do nascimento do sol com o passar dos dias e das estações.
Afinal, onde fica exatamente o leste? É onde o sol nasce?
Dados que podem ser obtidos experimentalmente com simples observação diurna.
Outros Projetos
Pesquise sobre o monumento misterioso Stonehenge no sul da Grã-Bretanha que serviu de
observatório astronômico há mais de 6000 anos.
Pesquise sobre como o poeta medieval Dante descreveu o mundo tal como ele era
imaginado na sua época (século XIII - XIV). Uma das obras literárias mais famosas do
mundo a Divina Comédia.
Pesquise trechos de livros, letras de poesias, músicas etc. que falam do sol e da terra.
Tendo determinado o meridiano do local, pesquise a latitude do local. Observe que a
latitude do local é a elevação do polo
celeste.
Conhecendo o meridiano e a latitude local construa um relógio de sol com montagem
equatorial.
Page 7
Elabore para cada projeto ou experimento fichas de atividades para registro.
Exemplo de Ficha de Atividades
Data:
Hora local:
Nome do Aluno:
Nome do Professor Orientador:
Nome da Escola:
Endereço da Escola:
Cidade:
Observe o mapa local da cidade e discuta a posição da escola neste mapa.
Latitude local:
Longitude local:
Discuta a posição da cidade no estado, no país e no mundo.
Horário do Nascer do sol:
Horário do Por do sol:
Tamanho da sombra (nas várias horas do dia):
Direção da sombra (nas várias horas do dia):
Circunferências de sombra (nas várias horas do dia):
Meio dia real:
Ilustrar graficamente e cometar as observações
Outras observações:
Page 8