Distribuições de amostragens da média aritmética

ANÁLISE ESTATÍSTICA II
1
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
O principal interesse ao se fazer uma inferência
estatística é tirar conclusões sobre uma população, e não
sobre a amostra.
Uma distribuição de amostragem corresponde à
distribuição dos resultados, caso se tenha optado por
selecionar todas as amostras possíveis.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
2
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Distribuição de Amostragem da Média Aritmética
Corresponde à distribuição das médias aritméticas x de
todas as amostras possíveis de um determinado tamanho n
que poderiam ocorrer.
A média aritmética é isenta de viés, isto é, a média
aritmética de todas as médias aritméticas de amostras, de
tamanho n, é igual à média aritmética da população, μ.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
3
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Experiência para Constatar a Ausência de Viés da Média Aritmética da
Amostra
Seja uma população de 4 pessoas, cuja variável aleatória de
interesse é a idade de cada indivíduo:
 Tamanho da população: N = 4
 Valores da variável aleatória X: 18, 20, 22 e 24 anos
Suponha que seja extraída uma amostra de 2 indivíduos dessa
população (n = 2). As estatísticas obtidas a partir dessa amostra são
adequadas a ponto de serem consideradas bastante representativas da
população?
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
4
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Na experiência, há 16 possíveis amostras (com reposição) de
tamanho 2:
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
5
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Em consequência, há 16 médias xi decorrentes de cada
amostra:
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6
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
A média aritmética de todas as amostras possíveis xi (de
tamanho 2) é:
μX
X


N
i
18  19  21    24

 21
16
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
A média aritmética de todas as amostras possíveis xi (de
tamanho 2) é:
μX
X


i
N
18  19  21    24

 21
16
O desvio-padrão é:
σX 

(X  μ
i
X
)2
N
(18 - 21)2  (19 - 21)2    (24 - 21)2
 1,58
16
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
No que tange à população, a média aritmética é:
X

μ
i
N
18  20  22  24

 21
4
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9
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
No que tange à população, a média aritmética é:
X

μ
i
N
18  20  22  24

 21
4
E o desvio padrão:
σ
2
(X

μ)
 i
N
 2,236
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
10
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Estatísticas da amostra:
μX  21
σ X  1,58
Parâmetros da população:
μ  21
σ  2,236
Uma vez que a média aritmética das 16 médias aritméticas
de amostras xi é igual à média aritmética da população µ, pode-se
afirmar que a média aritmética de uma amostra x é um adequado
estimador da média aritmética da população e é isento de viés.
Embora não se saiba quão próximo um x qualquer estará de
µ, há segurança para afirmar que seus valores estarão efetivamente
muito próximos.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
11
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Distribuições de Amostragens da Média Aritmética
Se a população é normalmente distribuída, com média
aritmética μ e desvio-padrão σ, a distribuição de amostragens
da média aritmética μx também será normalmente distribuída.
As equações da distribuição de amostragens da média
aritmética são:
μX  μ
σX 
σ
n
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Erro Padrão da Média Aritmética
É o desvio-padrão das médias aritméticas xi de todas as
possíveis amostras de mesmo tamanho:
σX 
onde:
σ = desvio-padrão da população
n = tamanho da amostra
σ
n
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Em uma fábrica de palitos de dentes, você seleciona
aleatoriamente, dentre as milhares de caixas abastecidas, uma
amostra de 25 caixas sem reposição. Considerando o desviopadrão do processo de fabricação dos palitos igual a 15
palitos, calcule o erro-padrão da média aritmética.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Em uma fábrica de palitos de dentes, você seleciona
aleatoriamente, dentre as milhares de caixas abastecidas, uma
amostra de 36 caixas sem reposição. Considerando o desviopadrão do processo de fabricação dos palitos igual a 18
palitos, calcule o erro-padrão da média aritmética.
σ
18
σx =
=
=3
n
36
Tal desvio é bem menor que o desvio da população.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
15
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
2. Suponha que o desvio-padrão do teste de desempenho
(normalmente distribuído) de um motor seja igual a 540 rpm.
Qual é o erro padrão da média aritmética, se fosse extraída
uma amostra aleatória de:
a. 25 motores?
b. 36 motores?
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Valor de Z para a Distribuição de Amostragens da Média
Aritmética:
Z
( X  μX )
σX
onde:
x = média da amostra
µ = média da população
σ = desvio-padrão da população
n = tamanho da amostra

( X  μ)
σ
n
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desviopadrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra
aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média
aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
18
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desviopadrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra
aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média
aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?
7,75 - 8
Z
 0,5
3
36
8,25 - 8
Z
 0,5
3
36
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desviopadrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra
aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média
aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?
7,75 - 8
Z
 0,5
3
36
8,25 - 8
Z
 0,5
3
36
P(7,75 < x < 8,25) = P(-0,5 < z < 0,5) = 0,3830
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
2. Considerando todos os clientes de uma agência bancária, a
média e o desvio-padrão dos saldos médios das contas
correntes são, respectivamente, $ 375 e $ 118. Se for retirada
uma amostra de 100 contas correntes, qual é a probabilidade
da média dos saldos médios dessa amostra:
a. ser maior ou igual a $ 365?
b. estar entre $ 323,6 e $ 370?
c. Entre que dois valores simetricamente distribuídos em
torno da média estariam 60% das médias das amostras?
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(x ≥ 365) = 1 - P(x ≤ 365)
X - μ 365 - 375
Z

 -0,847
σ
118
n
100
P(x ≥ 365) = 1 - P(Z ≤ -0,847)
= 1 - 0,1985
= 0,8015 = 80,15%
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
22
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(323,6 ≤ x ≤ 370) = P(x ≤ 370) - P(x ≤ 323,6)
Z
Z
X - μ 370 - 375

 -0,424
σ
118
n
100
X - μ 323,6 - 375

 -4,356
σ
118
n
100
P(323,6 ≤ x ≤ 370) = P(Z ≤ -0,424) - P(Z ≤ -4,356)
= 0,3358 - 0 = 0,3358 = 33,58%
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
23
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(x1 ≤ x ≤ x2) = 60%
|x – x1| = |x – x2|
x1 = ?
x2 = ?
60%
x1 375
x2
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
24
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(x1 ≤ x ≤ x2) = 60%
|x – x1| = |x – x2|
x1 = ?
x2 = ?
As probabilidades acumuladas são:
P(x1) = 0,2 → Z1 = ?
P(x2) = 0,8 → Z2 = ?
60%
x1 375
x2
0,30 0,30
0,2 0,5 0,8
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
25
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(Z1) = 0,2
Z1 = -0,8416
Por simetria:
P(Z2) = 0,8
Z2 = 0,8416
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
26
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Z
X -μ
σ
118
 X  μ  Z.
 375  0,8416.
 365,07
σ
n
100
n
X  μ  Z.
σ
118
 375  0,8416.
 384,93
n
100
P(365,07 ≤ x ≤ 384,93) = 60%
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Case Oxford Cereals
A Oxford Cereals abastece milhares de caixas de cereais durante
um turno de oito horas. Como gerente de operações da unidade de
produção, você é responsável por monitorar a quantidade de cereal
colocada em cada caixa.
Para ser coerente com o conteúdo especificado na embalagem, as
caixas devem conter, em média, 368 gramas de cereal. Se o processo de
abastecimento não estiver funcionando de maneira apropriada, o peso
médio das caixas pode se desviar demasiadamente do peso especificado
no rótulo e toda a produção se torna inaceitável.
Uma vez que a pesagem de cada caixa individual consome uma
quantidade demasiadamente grande de tempo, é dispendiosa e ineficiente,
você decidiu extrair uma amostra de caixas.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Para essa amostra, selecionada aleatoriamente, você planeja pesar
todas as caixas e calcular a média aritmética da amostra. Com base em sua
análise dos resultados, você terá que decidir entre manter ou alterar o processo
de abastecimento.
Se for selecionada aleatoriamente uma amostra de 25 caixas (sem
reposição) e considerando que o desvio-padrão do processo de abastecimento
de cereais é 15 gramas, qual é:
a.
o erro padrão da média aritmética?
b.
a probabilidade de que essa amostra venha a ter uma média aritmética
inferior a 365 gramas?
c.
a probabilidade de que uma caixa individual venha a ter menos de 365
gramas de cereal?