- OSIsoft/DEQ-UFCG

Universidade Federal de Campina Grande – UFCG
Centro de Ciências e Tecnologias – CCT
Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ
Métodos Numéricos
para Engenharia Química
Aula 05
Prof. Nilton Silva
Raízes de equações não lineares
• Introdução
• Reízes de equações
• Métodos aplicados a determinação numérica de raízes de
equações não lineares:
– Método da Bissecção
– Falsa posição
– Método de Newton
– Método da Secante
Raízes de equações não lineares
Definições
Uma função dada por y = f ( x ) é ALGÉBRICA, se somente se, pode ser
expressa na formato:
f n yn  f n 1 yn 1  ..  f1 y  f 0  0
Onde fi = an i-ésima-ordem polinominal em x.
f n ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n
Ex.: Polinômios são umas das classes simples de equações algébricas.
Raízes de equações não lineares
Definições
Uma função NÃO-ALGÉBRICA, pode ser dita TRASNCENDENTAL, inclui
as trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, entre outras funções menos
familiares.
Ex.:
f ( x)  ln x 2  1
f ( x)  e 0.2 x sen(3 x  0.5)
Raízes de equações não lineares
As raízes das equações podem ser real ou complexa.
Os métodos padrão para localização de raízes podem ser
divididos em dois tipos:
1. Determinação de raízes reais de equações algébricas e de
equações transcendentais;
2. Determinação das raízes real e complexa de polinômios.
Raízes de equações não lineares
• As raízes de uma equação podem ser visualizadas pelo método
gráfico:
Método gráfico
Problema 01 - Use a abordagem gráfica para determinar o coeficiente de
arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma
velocidade de 40 m/s , após queda livre para o tempo t = 10 s.
Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s2.
Solução
A função que expressa o coeficiente de arrasto pode ser expressa por:
gm
f (c ) 
(1  e ( c / m )t )  40
c
Usar o Excel!!!
Usar o Matlab!!!
Método gráfico
As técnicas gráficas tem limitação prática devido a não precisão.
Mas, podem ser utilizado para estimativas das raízes.
Podem ser empregadas como entrada do método numérico.
Estratégias especiais
devem ser utilizadas
para
determinação
das raízes para estes
casos.
Método gráfico - Exemplos
f ( x)  sen(10 x)  cos(3 x) , tem várias raízes no
1 – A função
range de x = 0 a x = 5. Use o método gráfico para avaliar o
comportamento da função. (Excel, Matlab).
Usar o Excel!!!
Usar o Matlab!!!
Método da BISSEÇÃO
O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um
tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida
ao meio.
Etapas do método:
1 – Escolha um valor inferior xl e um superior xu e verificar se reside no
intervalo a raiz de tal forma que a função muda durante o intervalo. Isto pode
ser verificado, garantindo que f(xi)f(xu) < 0.
xi  xu
2 – Uma estimativa para a raiz xr é determinado por: xr 
2
3 – Fazer as seguinte avaliações para determinar em que intervalo reside a raiz:
3.1 – se f(xi)f(xr) < 0, a raiz reside no intervalo abaixo. Assumir xu =
xr e voltar para o passo 2.
3.2 – se f(xi)f(xr) > 0, a raiz reside no intervalo acima. Assumir xi = xr
e voltar para o passo 2.
3.3 – se f(xi)f(xr) = 0, a raiz é igual a xr, a raiz numérica.
Método da BISSEÇÃO
O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um
tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida
ao meio.
Etapas do método:
Método da BISSEÇÃO
Problema 01 - Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de
arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma
velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s.
Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s2.
gm
f (c ) 
(1  e ( c / m )t )  40
c
Usar o Excel!!!
Usar o Matlab!!!
Método da BISSEÇÃO
Critério de parada e estimativa de erros
Uma aproximação do ERRO RELATIVO PERCENTUAL pode
ser calculado por:
xrnew  xrold
a 
100%
new
xr
Onde xrnew é a raiz para a nova iteração e xrold a raiz da iteração
anterior.
Logo, um CRITÉRIO DE PARADA será para quando a se torna
menor valor.
Método da BISSEÇÃO
Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto c necessário
para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s
, após queda livre para o tempo t = 10 s. Considerar um critério de parada a =
0.5(%).
Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s2.
gm
f (c ) 
(1  e ( c / m )t )  40
c
Usar o Excel!!!
Usar o Matlab!!!
Método da BISSEÇÃO
FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
iter 0
DO
xrold = xr
xr = (xl + xu) / 2
iter = iter 1
IF xr ≠ 0 THEN
ea = ABS((xr - xrold) / xr) * 100
END IF
test = f(xl) * f(xr)
IF test < 0 THEN
xu = xr
ELSE IF test > 0 THEN
xl = xr
ELSE
ea = 0
END IF
IF ea < es OR iter >= imax EXIT
END DO
Bisect xr
END Bisect
%Impletmentar no matlab!!
Construir o algoritmo em fluxograma!!