O que é fatoração?

Raiz quadrada exata de
números inteiros
Matéria: Matemática
Professora: Mariane Krull
Turma: 7º ano
Obs: Toda matéria desta apresentação encontra-se no capítulo 1 do livro.
1
Quadrados perfeitos
 Os números quadrados perfeitos são os resultados de números elevados
ao quadrado, mais a frente veremos que um quadrado perfeito são
números que possuem raiz quadrada exata.
Veja:
Potenciação
Cálculo
Quadrado perfeito ( Resultado)
1²
1x1
1
2²
2x2
4
3²
3x3
9
4²
4x4
16
5²
5x5
25
6²
6x6
36
7²
7x7
49
...
...
...
Importante: Os quadrados perfeitos são infinitos.
2
Raiz quadrada de um número
Representação: É representada pelo seguinte símbolo:
Veja alguns exemplos da representação de raiz quadrada:
a) 1  Lê-se: raiz quadrada de 1.
b) 9  Lê-se: raiz quadrada de 9.
c) 16  Lê-se: raiz quadrada de 16.
3
Cálculo de uma raiz quadrada
Só é possível calcular a raiz quadrada exata de um número, quando este
número for um quadrado perfeito.
(Exemplo) Calcule a raiz quadrada dos casos abaixo:
Resolução:
a) 4 = 2, pois 2² = 2 x 2= 4 ,
Lê-se: raiz quadrada de quatro é igual a dois.
b) 9 = 3,
pois 3² = 3 x 3= 9
Lê-se: raiz quadrada de nove é igual a três.
c) 16 = 4,
pois 4²= 4 x 4= 16
Lê-se: raiz quadrada de dezesseis é igual a quatro.
4
Cálculo de uma raiz quadrada
Continuação:
d) 25 = 5,
pois 5² = 5 x 5= 25
Lê-se: raiz quadrada de vinte e cinco é igual a cinco.
e) 36 = 6, pois 6²= 6 x 6= 36
Lê-se: raiz quadrada de trinta e seis é igual a seis.
f) 49 = 7,
pois 7² = 7 x 7= 49
Lê-se: raiz quadrada de quarenta e nove é igual a sete.
g) 64 = 8,
pois 8² = 8 x 8= 64
Lê-se: raiz quadrada de sessenta e quatro é igual a oito.
5
Termos de uma raiz quadrada
 Qualquer raiz quadrada é composta de termos, estes
termos recebem nomes. Observe:
2
Onde:
• 2 é o índice ( não aparece, mas é 2);
• 9 é o radicando;
•
é o radical;
• 3 é a raiz ( o resultado);
6
Raiz quadrada não exata
 Vimos que somente os quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata;

Veja alguns exemplos abaixo de números que não possuem raiz quadrada
exata:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
5
10
12
Você conhece outros números que não possuem raiz quadrada
exata? Escreva 5 exemplos.
7
Outras raízes
Além da raiz quadrada existem outros tipos de raízes. Veja:
a) Raiz cúbica de um número. Veja alguns exemplos abaixo:
3
1 = 1 , pois 1x1x1= 1
3
3
3
8 = 2 , pois 2x2x2= 8
27 = 3 , pois 3x3x3= 27
64 = 4 , pois 4x4x4= 64
Obs: Devemos pensar em um número que multiplicado por ele mesmo 3
vezes dê um resultado igual ao radicando.
8
Outras raízes
Lembrando que os termos de uma raiz recebem nomes:
 3 é o índice;
 27 é o radicando;

é o radical;
 3 é a raiz ( o resultado);
9
Outras raízes
Exemplos de outros tipos de raízes:
4
 625 = 5, pois 5 x 5 x 5 x 5= 625
Lê-se: raiz quarta de seiscentos e vinte cinco é igual a cinco.
4
 256 = 4, pois 4 x 4 x 4 x 4= 256
Lê-se: raiz quarta de duzentos e cinquenta e seis é igual a quatro.
5
 32 = 2, pois 2 x 2 x 2 x 2= 32
Lê-se: raiz quinta de trinta e dois é igual a dois.
Obs: existem inúmeros outros tipos de raízes.
10
IMPORTANTE:
O foco do nosso estudo neste
momento será somente a raiz
quadrada.
11
Outras raízes
Exemplos de outros tipos de raízes:
4
 625 = 5, pois 5 x 5 x 5 x 5= 625
Lê-se: raiz quarta de seiscentos e vinte cinco é igual a cinco.
4
 256 = 4, pois 4 x 4 x 4 x 4= 256
Lê-se: raiz quarta de duzentos e cinquenta e seis é igual a quatro.
5
 32 = 2, pois 2 x 2 x 2 x 2= 32
Lê-se: raiz quinta de trinta e dois é igual a dois.
Obs: existem inúmeros outros tipos de raízes.
12
Exercícios
13
Calculando a raiz quadrada de um número através da fatoração
Antes de aprendermos a calcular a raiz quadrada de um número por
fatoração, precisamos relembrar alguns conceitos:
1) Números primos:
Um número primo é todo número que tem somente dois divisores: o 1 e ele
mesmo.
Exemplos:
a) O número 2 é primo?
Sim, porque só conseguimos ter divisão do 2 por 1 e por ele mesmo;
14
Relembrando números primos
Exemplos:
b) O número 3 é primo?
Sim, porque só conseguimos ter divisão do 3 por 1 e por ele mesmo;
c)
O número 42 é primo?
Não, pois temos divisão exata do 42 por vários números: pelo 1, 2, 3, 6, 7, 14
e 42.
Existem infinitos números primos. Porém, os mais utilizados são:
2 , 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Observe abaixo a tabela com esses
principais números primos:
15
Relembrando fatoração
O que é fatoração?
É transformar um número qualquer em um produto de números primos.
Exemplos:
a) 36 = 2 . 2 . 3 . 3
b) 15 = 3 . 5
c) 8 = 2 . 2 . 2
16
Relembrando fatoração
Como é feita a fatoração?
Veja através do exemplo abaixo como fatorar um número qualquer.
Lembre-se, é importante ter em mente os números primos.
(Exemplo 1) Fatore o número 16.
16
8
4
2
1
2  Quando dá, sempre começo dividindo por 2.
2
2
2
16 = 2 . 2 . 2. 2
17
Relembrando fatoração
(Exemplo 2) Fatore o número 15.
15 3  Não deu para começar por 2, tento pelo próximo número primo, que é 3.
5 5
1
15 = 3 . 5
18
Relembrando fatoração
(Exemplo 3) Fatore o número 85.
85 5  Só deu para começar por 5.
17 17
1
85 = 5 . 17
19
Calculando raiz quadrada exata através da fatoração
 A fatoração é utilizada como ferramenta no cálculo da raiz quadrada de um
número qualquer, principalmente quando não sabemos “ de cabeça” a raiz
quadrada desse número.
(Exemplo 1) Calcule a 400.
1º Passo: Fatorar 400.
400 2
200 2
100 2
50 2
25 5
55
1
20
Calculando raiz quadrada exata através da fatoração
Por estarmos calculando uma raiz quadrada, vamos agrupar os números
primos iguais utilizados na fatoração de dois em dois. Veja:
400 2
200 2
100 2
50 2
25 5
55
1
2²
2²
5²
400= 2² . 2² . 5² = 2 . 2 . 5 = 20  Resposta
21
Obs.: Podemos tirar de dentro da raiz todos os números que estão
elevados a 2.
Calculando raiz quadrada exata através da fatoração
(Exemplo 2) Calcule a
144 2
72 2
36
18
9
3
1
2
2
3
3
144.
2²
2²
3²
144= 2² . 2² . 3² = 2 . 2 . 3 = 12  Resposta
22
Calculando raiz quadrada exata através da fatoração
(Exemplo 3) Calcule a
3969 3
1323 3
441
147
49
7
1
3
3
7
7
3969.
3²
3²
7²
3969= 3² . 3² . 7² = 3 . 3 . 7= 63  Resposta
23
EXERCÍCIOS
24
Raiz quadrada exata de um número inteiro
E como calculamos a raiz quadrada exata de números positivos e negativos?
1) Raiz quadrada exata de números positivos:
Calcula-se da mesma forma que aprendemos até aqui.
Exemplos:
a) +4 = + 2
b) +9 = + 3
c) +100 = + 10
25
Raiz quadrada exata de um número inteiro
2) Raiz quadrada exata de números negativos:
Simplesmente não existe. Dizemos então que é impossível em Z ( conjunto dos
números inteiros)
Exemplos:
a) −4 = Impossível em Z.
b) −9 = Impossível em Z.
c) −100 = Impossível em Z.
26
EXERCÍCIOS
27
FIM !
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