Os obstáculos epistemológicos - MTM

Obstáculo epistemológico e
os números complexos
Problema 1
Dividir um segmento de 10cm de comprimento
em duas partes de tal modo que o produto dos
comprimentos dessas partes seja 40cm2
Resolvendo o problema
x  y  10

xy  40
Resolvendo o problema
x  y  10

xy  40
X2 - 10X + 40 = 0
Resolvendo o problema
x  y  10

xy  40
X2 - 10X + 40 = 0
5   15
Para os antigos, aparecer a raiz quadrada de um
número negativo não causava muito embaraço,
pois o problema que dava origem a esta situação
não tinha solução:
Para os antigos, aparecer a raiz quadrada de um
número negativo não causava muito embaraço,
pois o problema que dava origem a esta situação
não tinha solução:
com um comprimento de 10cm não se pode
cortar em dois pedaços e obter o produto
40cm2 com os seus comprimentos !
Problema 2
Sejam V o volume de um cubo de aresta x,
V’ o volume de um paralelepípedo retângulo cuja
área da base é 3 e cuja altura é igual a aresta
do cubo. Determinar x de modo que
V = V’ + 1
Como V = x3 e V’=3x, o problema leva a
seguinte equação:
x3 = 3x + 1
V
V’
Como V = x3 e V’=3x, o problema leva a
seguinte equação:
x3 = 3x + 1
V
V’
Usando a fórmula de Cardano ou Tartaglia
par equações do tipo
2
3
x3 + ax = b
2
3
b
b
a
b
b
a
x3  

3  

2
4 27
2
4 27
Obtém-se:
1
3 31
3
x
  
 
2
4
2
4
3
Obtém-se:
1
3 31
3
x
  
 
2
4
2
4
3
Como no caso anterior, a resposta poderia ser a
mesma se não fosse a constatação seguinte:
Para x = 1,
V = 1 e V’ + 1 = 4,
( V < V’ + 1)
Para x = 2,
V = 8 e V’ + 1 = 7,
( V > V’ + 1)
Obtém-se:
1
3 31
3
x
  
 
2
4
2
4
3
Como no caso anterior, a resposta poderia ser a
mesma se não fosse a constatação seguinte:
Para x = 1,
V = 1 e V’ + 1 = 4,
( V < V’ + 1)
Para x = 2,
V = 8 e V’ + 1 = 7,
( V > V’ + 1)
Portanto, para algum x entre 1 e 2, deveremos
ter V = V’ + 1 e a equação tem pelo menos
uma raiz real
x  15x  4  0
3
X = 4 é solução
x  2   121  2   121
3
3
Ao contrário do que aconteceu no caso anterior,
em que a raiz quadrada de um número negativo
era encarada como a inexistência da solução
prática, os algebristas se dão conta de que
precisavam manipular com estes objetos que os
consideravam tão sutis quanto inúteis.
Ao contrário do que aconteceu no caso anterior,
em que a raiz quadrada de um número negativo
era encarada como a inexistência da solução
prática, os algebristas se dão conta de que
precisavam manipular com estes objetos que os
consideravam tão sutis quanto inúteis.
Foi por causa de uma situação embaraçosa
deste tipo que surgiram os números
complexos...
x  15x  4  0
3
X = 4 é solução
x  2   121  2   121
3
3
x  (2  i)  (2  i)  4