números decimais - curso de matemática imes

Prática de Ensino em Matemática II
Aula 2
Curso de Licenciatura em Matemática
Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira
[email protected]
Sobre a importância dos números decimais
Os números racionais na forma decimal constituem uma das mais importantes invenções da
humanidade pois reúnem a praticidade das operações envolvendo o sistema de numeração
decimal com a necessidade de realizarmos operações envolvendo partes e medições.
Inacreditavelmente, apesar dos primeiros cálculos envolvendo frações datarem do Antigo Egito
(cerca de 3000 a.C.) as primeiras reminiscências dos cálculos envolvendo números decimais são
recentes tendo como François Viète (1540 – 1603) seu precursor.
Atualmente os números decimais permeiam todo nosso cotidiano sendo encontrados para
expressarem os valores das mercadorias, as medições de massa, comprimento, distância,
temperatura, etc.
Para uma boa aprendizagem por parte do aluno é fundamental que os mesmos percebam que as
formas mais comuns de representarmos um número racional (fracionária, decimal e percentual)
complementam-se umas às outras e que precisamos saber identificar qual forma deve ser empregada
em cada situação.
Utilizando o Material Dourado para a aprendizagem dos números decimais (1)
Considerando o cubo maior como sendo a unidade (1 inteiro), temos:
𝟏
(um décimo) do cubo maior, sendo representada por 0,1 (um décimo);
𝟏𝟎
𝟏
a barra sendo
(um centésimo) do cubo maior, sendo representada por 0,01 (um centésimo);
𝟏𝟎𝟎
𝟏
o cubinho sendo
(um milésimo) do cubo maior, sendo representado por 0,001 (um milésimo);
𝟏𝟎𝟎𝟎
• a placa sendo
•
•
1
1
= 0,1
10
1
= 0,01
100
1
= 0,001
1000
Utilizando o Material Dourado para a aprendizagem dos números decimais (2)
Observando as peças do Material Dourado pode-se concluir que:
• 0,1 (um décimo) equivale à 0,10 (dez centésimos);
Logo, por transitividade, temos:
• 0,1 (um décimo) equivale à 0,100 (cem milésimos).
0,1 = 0,10 = 0,100
0,1
0,1
0,10
0,100
A contextualização dos números decimais
Recomenda-se que a aprendizagem dos números decimais deve ser progressiva indo da utilização
e realização de operações com os décimos, passando para os centésimos e continuando com os
milésimos.
As utilizações mais frequentes dos números decimais em nosso cotidiano são:
• utilizar décimos na leitura de temperaturas e da utilização da régua graduada (o milímetro é a
décima parte do centímetro);
• utilizar centésimos na leitura dos valores do Sistema Monetário (o centavo é a centésima parte do
real) e das alturas (o centímetro é a centésima parte do metro);
• utilizar milésimos na leitura de massa (o grama é a milésima parte do quilograma) e de distâncias (o
metro é a milésima parte do quilômetro).
Equivalência entre números decimais
Assim como a equivalência de frações, a equivalência entre números decimais é fundamental para
a correta comparação de grandezas e a execução de operações envolvendo números nesta forma.
Unidades , Décimos
3
= 0,3
10
30
= 0,30
100
0,3 = 0,30 = 0,300
300
= 0,300
1000
Centésimos
0
,
3
0
,
3
0
0
,
3
0
Milésimos
0
Um número decimal permanece com o mesmo
valor quando adicionamos ou suprimimos
zeros à direita da vírgula.
A função da vírgula do número decimal
Em sua opinião, qual é o sentido da vírgula no número decimal?
A principal função da vírgula no número decimal é separar a parte inteira da parte decimal do número
decimal.
2,378
Parte Inteira Parte Decimal
Para fazer a leitura correta de um número decimal, primeiramente lê-se a parte inteira, seguida da
palavra inteiro(s) e, em seguida, lê-se a parte decimal.
2,378
8 milésimos
7 centésimos
3 décimos
2 inteiros
2,378 = 2 + 0,3 + 0,07 + 0,008
= 2 + 0,3𝟎𝟎 + 0,07𝟎 + 0,008
= 2 + 0,378
Lê-se: dois inteiros e trezentos e setenta e oito milésimos
Correspondência entre números decimais e frações
Transformando números decimais em frações
0,17 → dezessete centésimos →
17
100
1,4 → um inteiro e quatro décimos → 𝟏
4
𝟏𝟎 4
14 7
=
+
=
=
10 𝟏𝟎 10 10 5
De uma forma geral basta escrevermos os algarismos no numerador e,
no denominador, o algarismo 1 seguido de tantos zeros forem as casas decimais.
Transformando frações em números decimais
6
3 2
∙ =
→ seis décimos → 0,6
5 2 10
2
27 5 135 𝟏𝟎𝟎 35
35
∙ =
=
+
=𝟏
= 1,35
20 5 100 𝟏𝟎𝟎 100
100
21 1000 21000 : 8 2625 𝟐𝟎𝟎𝟎 625
5
=
∙
=
=
=
+
= 𝟐, 625
8 1000
8000 : 8 1000 𝟏𝟎𝟎𝟎 1000
8
A equivalência de frações é fundamental
para a correta compreensão da conversão.
Comparando números decimais
Sabemos que ao acrescentarmos zeros à direita da vírgula o valor do número decimal não altera-se.
Problema) A pesagem do caminhão do Sr. Alfredo, com sua carga, registrou 7,59 toneladas.
Já a do Sr. Rafael registrou 7,573 toneladas. Qual dos caminhões pesou mais?
1ª maneira: “Igualando” as casas decimais
7,59
7,573
7,59𝟎
7,573
7 inteiros
7 inteiros
590 milésimos > 573 milésimos
7,59 > 7,573
2ª maneira: Processo prático
7,59
7,573
1º compara-se a parte inteira:
7=7
2º compara-se os décimos:
0,5 = 0,5
3º compara-se os centésimos:
0,09 > 0,07
7,59 > 7,573
O cálculo mental e as operações envolvendo números decimais
Um das vantagens do cálculo mental é permitir efetuar rapidamente uma operação e encontrar seu
resultado. Pela proximidade que os números decimais possuem no nosso cotidiano, é altamente
recomendável que os alunos realizem as primeiras operações envolvendo números decimais usando o
cálculo mental.
0,2 + 3 = ?
Três inteiros
mais dois
décimos
2 x 1,5 = ?
Duas vezes um inteiro
são dois inteiros.
Meio inteiro mais meio
inteiro dá um inteiro.
Logo tenho três inteiros.
Oito décimos dividido para
duas pessoas cada uma fica
com quatro décimos.
0,8 : 2 = ?
Adição e Subtração de Números Decimais (1)
Para somar ou subtrair números decimais é necessário deixar a vírgula embaixo da vírgula...
Durante nosso processo de escolarização, provavelmente, devemos ter ouvido esta famosa frase.
Qual é a justificativa para que tais operações com números decimais deva ser feita desta maneira?
Qual é(são) o(s) erro(s) que o aluno está cometendo?
Efetue 2,155 + 12,38 = ?
+1
+
2
,
1
5
5
1
2
,
3
8
3
2,
1
9
3
Alguns erros são:
• o aluno está alinhando as parcelas pela direita, como
números naturais (inteiros);
• o aluno não reconhece que as partes decimais são
diferentes (milésimos não são iguais a centésimos).
Adição e Subtração de Números Decimais (2)
+1
Exemplo 1) Efetue 2,155 + 12,38.
2155 1238 2155 1238𝟎 14535
2,155 + 12,38 =
+
=
+
=
= 14,535
1000 100
1000
1000
1000
Exemplo 2) Efetue 3,5 – 2,27.
–
3
,
45
10
2
,
2
7
1
,
2
3
+
2
,
1
5
5
1
2
,
3
8
0
1
4
,
5
3
5
Justifique, passo-a-passo e corretamente, a subtração 3,5 – 2,27.
• Para subtrair os 7 centésimos, tomamos 1 décimo e transformamos em 10
centésimos. Desta forma ficamos com 4 décimos no minuendo;
• 10 centésimos menos 7 centésimos são 3 centésimos (0,03);
• 4 décimos menos 2 décimos são 2 décimos (0,2 = 0,20);
• 3 inteiros menos 2 inteiros é 1 inteiro (1 = 1,0 = 1,00).
• Logo o resultado da operação é 1,23 (1,00 + 0,20 + 0,03).
Multiplicação de um número natural por um número decimal
Exemplo 3) Efetue 4 x 0,37.
• Primeiramente fazemos 4 vezes 7 centésimos, o que resulta em 28 centésimos;
• 28 centésimos = 20 centésimos mais 8 centésimos;
+1 +2
0,37
×4
1, 4 8
• Os 8 centésimos deixamos indicados e os 20 centésimos convertemos em
2 décimos (é o vão 2);
• 4 vezes 3 décimos são 12 décimos; mais os 2 décimos temos 14 décimos;
• 14 décimos = 10 décimos mais 4 décimos;
• Os 4 décimos deixamos indicados e os 10 décimos convertemos em 1 inteiro
(é o vai 1);
• 4 vezes 0 inteiros é 0; mais 1 inteiro temos 1 inteiro;
• O resultado é 1 inteiro 4 décimos e 8 centésimos, ou seja, 1,48.
Multiplicação de um número decimal por 10, 100 ou 1000
Exemplo 4) Efetue 10 x 4,32.
10 × 4 inteiros = 40 inteiros
10 × 4,32
⇒ 40 + 3 + 0,2 = 43,2
10 × 3 décimos = 30 décimos = 3 inteiros
10 × 2 centésimos = 20 centésimos = 2 décimos
Exemplo 5) Efetue 100 x 0,274.
100 × 2 décimos = 200 décimos = 20 inteiros
100 × 0,274 100 × 7 centésimos = 700 centésimos = 7 inteiros ⇒ 20 + 7 + 0,5 = 27,4
100 × 4 milésimos = 400 milésimos = 4 décimos
Exemplo 6) Efetue 1000 x 8,67.
1000 × 8 inteiros = 8000 inteiros
1000 × 8,67
1000 × 6 décimos = 6000 décimos = 600 inteiros ⇒ 8000 + 600 + 70 = 8670
1000 × 7 centésimos = 7000 centésimos = 70 inteiros
Para multiplicar um número decimal por 10, 100 ou 1000 basta deslocar a vírgula uma, duas ou três ordens,
respectivamente, para direita. Acrescenta-se zeros quando necessário.
Multiplicação entre números decimais
Problema) A avó de Denílson e Marília vai comprar 1,8 m de tecido que custa R$ 3,25 o metro.
Ela quer saber quanto vai gastar. Para calcular o valor de 1,8 x 3,25 ela pediu a ajuda do neto.
Como Denílson fez para calcular o gasto da avó?
1,8 = 1
8
18
=
10 10
3,25 = 3
25
325
=
100 100
1,8 ∙ 3,25 =
18 325 5850
850
∙
=
=5
= 5,850 = 5,85
10 100 1000
1000
• Analisando a resolução de Denílson, percebe-se que o produto 5850 pode ser obtido multiplicando os
valores dos números decimais sem considerar suas vírgulas;
• Em seguida, para determinar o denominador basta perceber que ao multiplicar décimos por
centésimos obtemos milésimos;
• De uma outra forma, basta contarmos quantas ordens decimais temos ao todo nos fatores. Isto
indicará quantas ordens decimais teremos no produto.
1, 8 ∙ 3, 25 = 5, 850
uma ordem duas ordens três ordens
Para Pensar e Refletir
1.
2.
Comente sobre a importância dos números decimais atualmente.
Explique, corretamente, como as peças do Material Dourado podem auxiliar na aprendizagem dos
números decimais.
3. Por quê ao acrescentarmos zeros à direita da vírgula o número decimal não altera seu valor?
Dê exemplos que comprovem sua resposta.
4. Escreva sobre a importância da contextualização e a interdisciplinaridade entre os blocos conceituais na
aprendizagem dos números decimais.
5. Qual a importância da vírgula no número decimal? Dê um exemplo de um número decimal,
decomponha-o e faça a leitura correta do mesmo.
6. Faça o que se pede em cada item:
a) Escreva três números decimais e transforme-os em fração irredutível;
b) Escreva três frações e transforme-as em número decimal.
7. Elabore uma situação onde haja a necessidade de comparar números decimais e resolva-a corretamente.
8. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática como deve ser trabalhada o
cálculo mental envolvendo números decimais?
9. Um aluno resolveu a operação 3,71 + 9,4 = 4,65. Comente sobre os erros cometidos pelo aluno.
10. Explique passo-a-passo as operações 7,1 – 2,86 e 4 x 5,89.