Apostila_Slides_Prob Estatística

Centro Universitário Estácio de Sá de Santa Catarina
Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Graduação em Administração - ESAG/UDESC
Doutorado e Mestrado em Engenharia de Produção - UFSC
Material Didático da Estácio
- SUMÁRIO -
Conceitos Introdutórios
Distribuição de Bernoulli
Distribuição de Frequência
Distribuição Binomial
Medidas de Tendência Central
Distribuição de Poisson
Medidas de Dispersão
Distribuição Normal
Probabilidades
Bibliografia
Conceitos Introdutórios
Disciplina de Probabilidade e Estatística
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Retornar
ESTATÍSTICA
LIVROS DE ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA
Origem no latim:
status (estado) + isticum (contar)
Informações referentes ao estado
Coleta, Organização, Descrição,
Análise e Interpretação de Dados
ESTATÍSTICA
O Que é Estatística?
Para Sir Ronald A. Fisher
(1890-1962):
Estatística é o estudo das
populações, das variações e dos
métodos de redução de dados.
ESTATÍSTICA
O Que é Estatística?
“Eu gosto de pensar na
Estatística como a
ciência de
aprendizagem a partir
dos dados...”
Jon Kettenring
Presidente da
American Statistical Association, 1997
ESTATÍSTICA
O Que é Estatística (definição)?
“Estatística é um conjunto de técnicas e
métodos que auxilia o processo de tomada de
decisão na presença de incerteza.”
Estatística Descritiva  coleta, organização e descrição dos dados.
Estatística Inferencial  análise e interpretação dos dados.
ESTATÍSTICA
Panorama Histórico
Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número
de habitantes, de nascimentos e óbitos, que hoje chamamos de
“estatísticas”.
Na Idade Média, colhiam-se informações, geralmente com
finalidades tributárias ou bélicas.
O Livro dos Impostos
ESTATÍSTICA
À partir do século XVI começaram a surgir as primeiras
análises sistemáticas de fatos sociais.
No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo feição
verdadeiramente científica. Gottfried Achenwall batizou a nova
ciência com o nome de Estatística, determinando o seu objetivo
e suas relações com as ciências.
O verbete “statistics” apareceu na
Enciclopédia Britânica em 1797.
ESTATÍSTICA
POPULAÇÃO x AMOSTRA
POPULAÇÃO: Conjunto de elementos que se deseja estudar
Finita  Número de alunos de uma escola
Infinita  Número de estrelas no céu
AMOSTRA: Subconjunto de elementos da população.
População
Amostra
ESTATÍSTICA
Fases do Método Estatístico
1) Coleta de dados
A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente
ao fator tempo em:
 contínua: quando feita continuamente;
 periódica: quando feita em intervalos constantes de tempo;
 ocasional: quando feita extemporaneamente,
atender a uma conjuntura ou a uma emergência.
a
fim
de
ESTATÍSTICA
2)
Crítica dos dados
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente
criticados, à procura de possíveis falhas e imperfeições.
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por
parte do informante, por distração ou má interpretação das
perguntas que lhe foram feitas; e é interna quando visa a
observar os elementos originais dos dados da coleta.
3)
Apuração dos dados
Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados
obtidos e a disposição mediante critérios de classificação.
Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.
ESTATÍSTICA
4)
Exposição ou apresentação dos dados
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em
vista, os dados devem ser apresentados sob a forma
adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame
daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e
ulterior obtenção de medidas típicas.
5)
Análise e Interpretação dos resultados
Para tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de
informações fornecidas por parte representativa do todo
(amostra).
ESTATÍSTICA
Uma representação didática …
Dados
Estatística
Informação
Conhecimento
Decisão
ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA DESCRITIVA (Dedutiva)
Parte da estatística que descreve e analisa dados sem tirar
conclusões mais genéricas.
Média
Desvio padrão
Gráfico
Tabela
ESTATÍSTICA
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (Indutiva)
É admitirmos que os resultados obtidos na análise dos dados
de uma amostra são válidos para toda a população da qual a
amostra
foi
retirada.
conclusões.
Estatísticas
Consiste
em
obtermos
e
generalizar
(CASTANHEIRA, 2010)
Parâmetros
ESTATÍSTICA
EXPECTATIVA DE VIDA – Diferenças entre os países
ESTATÍSTICA
Ferramentas para Análise de Dados
•
•
•
•
•
•
•
SPSS
Epidata
Bioestat
Excel
STATA
SAS
Epi Info
Distribuição de Frequência
Disciplina de Probabilidade e Estatística
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ESTATÍSTICA
TIPOS DE DADOS
Dados Nominais (Sexo, Raça, Cor dos Olhos)
 Dados Ordinais (Grau de Satisfação)
 Dados Numéricos Contínuos (Altura, Peso)
 Dados Numéricos Discretos (Número de Filiais)

“Estatísticas aplicadas em alguns tipos de dados
não podem ser aplicadas a outros .”
BIOESTATÍSTICA
TIPOS DE DADOS

Dados Intervalares (Temperatura oC)
Quando se referem a valores obtidos mediante a
aplicação de uma unidade de medida arbitrária, porém
constante e onde o zero é relativo. Este tipo de dado
tem restrições a cálculos.
30oC não é três vezes mais quente que 10oC
Para cálculos se utiliza a escala Kelvin
BIOESTATÍSTICA
BIOESTATÍSTICA
ARREDONDAMENTO DE DADOS CONTÍNUOS
1ª Regra: Arredondar para o número mais próximo
2ª Regra: Arredondar para o par mais próximo
5,0
5,5
6,0
6,0
6,5
7,0
BIOESTATÍSTICA
EXERCÍCIO No 1
Faça os seguintes arredondamentos:
38,648
para o centésimo mais próximo
38,65
54,76
para o décimo mais próximo
54,8
27,465
para o centésimo mais próximo
27,46
42,455
para o centésimo mais próximo
42,46
4,5
para o inteiro mais próximo
4
BIOESTATÍSTICA
AGRUPAMENTO DE DADOS POR VALORES DISTINTOS
8
5
3
5
5
3
2
2
6
7
4
4
6
5
5
5
5
7
6
5
3
6
4
6
2
5
4
6
x
2
3
4
5
6
7
8
Total
f (frequência)
3
3
4
9
6
2
1
28
BIOESTATÍSTICA
AGRUPAMENTO DE DADOS POR CLASSES
Classes
39
50
61
72
83
50
61
72
83
94
f (frequência)
4
5
5
6
5
Ponto Médio
44,5
55,5
66,5
77,5
88,5
BIOESTATÍSTICA
MÉTODO DE STURGES
 Utilizado para determinar o número de classes a
serem formadas em uma distribuição de frequência
i = 1 + 3,3 . Log n
BIOESTATÍSTICA
MÉTODO DE STURGES
Exemplo:
Se em uma pesquisa tivermos 800 observações, quantas
classes podem ser formadas?
i = 1 + 3,3 . Log n
i = 1 + 3,3 . Log 800
i = 1 + 3,3 . 2,9031
i = 10,58023
11 Classes
BIOESTATÍSTICA
EXERCÍCIO No 2
Em uma amostra de estudantes foram coletadas as seguintes
alturas em metros: 1,70 1,58 1,67 1,72 1,70 1,71 1,75
1,58 1,64 1,66 1,72 1,70 1,73 1,82 1,79 1,77 1,76 1,75
1,73 1,65 1,64 1,63 1,62 1,66 1,71 1,68 1,69 1,70 1,59
1,61 1,64 1,76 1,64 1,70 1,64 1,65 1,70 1,79 1,80 1,70
1,67 1,71 1,72 1,63 1,70
a) Qual foi o tamanho da amostra (n)?
b) Qual é a altura do sujeito mais alto e a do mais baixo?
c) Faça o agrupamento de dados por valores distintos.
d) Faça o agrupamento por 6 classes.
BIOESTATÍSTICA
EXERCÍCIO No 3
Em uma pesquisa com jogadoras de basquete foram
coletados os seguintes pesos corporais em quilogramas:
65 66 62 66 63 61 67 63 64 62 68 67 65 64 65 66 63
64 65 66 64 63 64 66 65 63 64 65 64 63 64 63 64 68
69 70
a) Qual foi o tamanho da amostra (n)?
b) Qual é o maior peso e o menor?
c) Faça o agrupamento de dados por valores distintos.
d) Faça o agrupamento em 3 classes.
Medidas de Tendência Central
Disciplina de Probabilidade e Estatística
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ESTATÍSTICA
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Nos dão uma idéia de onde se localiza o centro, o
ponto médio de um determinado conjunto de dados.
Medidas: Média, Moda e Mediana.
f
x
ESTATÍSTICA
MÉDIA
É um valor típico representativo de um conjunto de dados.
Fisicamente representa o ponto de equilíbrio da distribuição.
Modos de calcular
1) para dados simples
x=Sx/n
2) para valores distintos
x = S fx / n
3) para agrupamentos em classes
x = S fx / n
ESTATÍSTICA
MÉDIA
1) Cálculo para dados simples
x=Sx/n
16 18 23 21
17 16 19 20
S x = Soma dos valores
n = tamanho da amostra
x = (16+18+23+21+17+16+19+20)
8
x = 18,75
ESTATÍSTICA
MÉDIA
2) Cálculo para valores distintos
x
2
3
4
5
6
7
8
f
fx
3
6
3
9
4 16
9 45
6 36
2 14
1
8
Total 28 134
x = S fx / n
S fx = Soma dos produtos
dos valores distintos
com a frequência
n = tamanho da amostra
x = 134
28
x = 4,7857
ESTATÍSTICA
MÉDIA
3) Cálculo para agrupamentos em classes
Classes
39
50
61
72
83
Total
50
61
72
83
94
f
x
fx
4
5
5
6
5
44,5
55,5
66,5
77,5
88,5
178
277,5
332,5
465
442,5
25
-
1695,5
x = S fx / n
S fx = Soma dos produtos
dos valores distintos
com a frequência
n = tamanho da amostra
x = 1695,5
25
x = 67,82
ESTATÍSTICA
MEDIANA
É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de
dados ordenados.
Para um número par de termos a mediana é obtida através
da média aritmética dos dois valores intermediários.
Interpretação:
50% dos valores estão abaixo ou coincidem com a mediana e
50% estão acima ou coincidem com a mediana.
ESTATÍSTICA
MEDIANA
1) Cálculo da mediana para dados simples
2 3 4 5 6
7 8 9 10
PMd =(n+1) / 2
PMd = (9+1) / 2
PMd = 5o Termo
Mediana (Md) = 6
ESTATÍSTICA
MEDIANA
2) Cálculo da mediana para valores distintos
x
2
3
4
5
6
7
8
f
3
3
4
9
6
2
1
Total 28
fa
3o
6o
10o
19o
25o
27o
28o
-
PMd =(n+1) / 2
PMd = (28+1) / 2
PMd = 14,5
x entre 14o e 15o Termo
Mediana (Md) = 5
ESTATÍSTICA
MEDIANA
3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes
Classes
39
50
61
72
83
Total
50
61
72
83
94
f
4
5
5
6
5
25
x
fa
44,5 4o
55,5 9o
66,5 14o
77,5 20o
88,5 25o
-
-
PMd =(n+1) / 2
PMd = (25+1) / 2
PMd = 13o Termo
Classe Mediana
61
72
Mediana (Md) = 66,5 (estimativa)
ESTATÍSTICA
MEDIANA
3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes
Pode-se fazer a interpolação da classe mediana
Md = Li + ((PMd - faa) / f ) . A
Classe Mediana
61
72
Li = limite inferior da classe mediana
PMd = posição da mediana
faa = frequência acumulada da classe anterior
f = frequência da classe mediana
A = amplitude da classe mediana
ESTATÍSTICA
MEDIANA
3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes
Interpolação da classe mediana
Md = Li + ((PMd - faa) / f ) . A
Classe Mediana
61
72
Md = 61 + ((13 - 9) / 5) . 11
Mediana (Md) = 69,8
ESTATÍSTICA
MODA
É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto
de dados. Símbolo = Mo
1) Moda para dados simples
Exemplos:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
AMODAL
2, 3, 3, 4, 5, 6 ,7
MODA = 3
2, 3, 3, 4, 5, 5, 6
BIMODAL (Mo = 3 e Mo = 5)
ESTATÍSTICA
MODA
2) Moda para valores distintos
x
2
3
4
5
6
7
8
f
3
3
4
9
6
2
1
Total 28
O valor 5 tem o maior
número de ocorrências (9)
Mo = 5
ESTATÍSTICA
MODA
3) Moda para agrupamentos em classes
Classes
39
50
61
72
83
Total
50
61
72
83
94
f
4
5
5
6
5
25
x
fa
44,5 4o
55,5 9o
66,5 14o
77,5 20o
88,5 25o
-
-
Moda Bruta
Ponto médio da classe de
maior frequência
Mo = 77,5
É uma estimativa
ESTATÍSTICA
MODA
3) Moda para agrupamentos em classes
Moda de King
Mo = Li + (A . f2 / (f1 + f2))
Li = limite inferior da classe modal
A = amplitude do intervalo da classe modal
f1 = frequência da classe anterior a modal
f2 = frequência da classe posterior a modal
Mo = 72 + (11 . 5)
5+5
Mo = 77,5
ESTATÍSTICA
USO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MÉDIA: Apropriada para Dados Numéricos
MODA:
Apropriada para Dados Nominais
MEDIANA: Apropriada para Dados Ordinais
Dados Nominais: Só se usa a Moda.
Dados Ordinais: Pode-se usar a Mediana e a Moda.
Dados Numéricos: Pode-se usar a Média, a Mediana e a Moda.
ESTATÍSTICA
MODA DE PEARSON
Mo = 3 . Md – 2 . x
Quando se conhece o valor da média e da mediana
pode-se encontrar a MODA pela aplicação da fórmula
de Pearson.
ESTATÍSTICA
USO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
O salário médio dos empregados é uma relação entre soma e
contagem, isto é, o somatório dos salários recebidos dividido
pelo número empregados dessa indústria.
A mediana salarial dos empregados de uma indústria é o salário
que separa os 50% menores dos 50% maiores.
O salário modal dos empregados de uma indústria é o salário
mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de
empregados dessa indústria.
ESTATÍSTICA
EXERCÍCIO No 1
Determine a média, a mediana e a moda para o seguinte
conjunto de dados
6 5 8 4 7 6 9 7 3
ESTATÍSTICA
EXERCÍCIO No 2
Determine o menor valor, o maior valor, a média, a mediana
e a moda para o seguinte conjunto de dados
12 32 54 17 82 99 51 11 44 22
22 33 44 52 76 41 37 10 5 87
Medidas de Dispersão
Disciplina de Probabilidade e Estatística
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
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ESTATÍSTICA
DISPERSÃO DOS DADOS
Vimos que um conjunto de valores pode ser convenientemente
sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em
poucos valores representativos - média aritmética, mediana e
moda.
Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a
maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores
e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de
dispersão ou de variabilidade.
Amplitude, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação
ESTATÍSTICA
DISPERSÃO DOS DADOS
É frequentemente chamada de variabilidade.
Medidas mais comuns: Variância, Desvio Padrão, Amplitude
e Coeficiente de Variação
f
Dispersão dos dados
na amostra
Dispersão dos dados
na população
x
ESTATÍSTICA
Dispersão na População
É uma forma de se ver o quanto os dados se afastam da média.
Exemplo: Vilarejo com apenas 11 pessoas
135cm 152cm
136cm 152cm
138cm 157cm
141cm 163cm
143cm 170cm
152cm
Alturas de 11 pessoas
Média = 149cm
Mediana e Moda = 152cm
Valor Máximo = 170cm
Valor Mínimo = 135cm
Amplitude = 35cm
ESTATÍSTICA
Dispersão na População
Alturas
x-x
(N=11)
135cm
136cm
138cm
141cm
143cm
152cm
152cm
152cm
157cm
163cm
170cm
Total
135-149
136-149
138-149
141-149
143-149
152-149
152-149
152-149
157-149
163-149
170-149
-14
-13
-11
-8
-6
3
3
3
8
14
21
(x - x)2
196
169
121
64
36
9
9
9
64
196
441
1314
2 Variância
= 1314 / 11
= 119,454 cm2
 Desvio Padrão
=
119,454
= 10,92 cm
Soma dos desvios
quadráticos
ESTATÍSTICA
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA POPULAÇÃO
Variância da população
 2 = S ( x - x )2 / N
Desvio Padrão da população = Raiz quadrada da variância
 = 2
Como a dispersão nas amostras é menor do que na
população, se faz um ajuste matemático.
ESTATÍSTICA
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA AMOSTRA
Variância da Amostra ( s2 ou v )
s2 = S ( x - x )2 / ( n -1 )
Desvio Padrão da amostra ( s ou DP ) = Raiz quadrada da variância
s = s2
A dispersão nas amostras é menor do que na população,
por isso é que se faz este ajuste matemático
ESTATÍSTICA
DESVIO PADRÃO
SIGNIFICADO:
É um modo de representar a dispersão dos dados ao redor da média.
f
Média
x
ESTATÍSTICA
DESVIO PADRÃO
A curva A mostra uma dispersão dos dados maior do que a curva B,
logo o desvio padrão de A é maior do que o de B.
f
f
Curva A
Média
Curva B
x
Média
x
ESTATÍSTICA
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
O desvio padrão depende da unidade de medida usada,
assim um desvio medido em dias será maior do que um medido
em meses.
O coeficiente de variação expressa o desvio-padrão como
porcentagem do valor da média.
COEF. VARIAÇÃO = 100 . DESVIO PADRÃO
MÉDIA
Quanto menor for este coeficiente mais homogênea é a amostra.
ESTATÍSTICA
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Classificação da proporção que o desvio padrão apresenta sobre a média.
GRAU DE HOMOGENEIDADE DOS DADOS
até 10%

ÓTIMO
de 10% a 20%

BOM
de 20% a 30%

REGULAR
acima de 30%

RUIM
ESTATÍSTICA
EXERCÍCIOS
1) Determine a média, a amplitude, a variância, o desvio padrão e o
coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:
4 5 5 6
6 7 7 8
ESTATÍSTICA
2) Determine o valor de n, a amplitude, a média, o desvio padrão e o
coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:
22
76
21
28
22
53
32
24
58
33
47
36
45
21
92
73
28
88
22
78
11
11
24
99
46
43
16
29
21
18
Como a base de dados é
extensa sugere-se que os
cálculos sejam feitos com o
uso da planilha eletrônica
Microsoft Excel .
ESTATÍSTICA
FUNÇÕES
FÓRMULAS NO EXCEL
Contagem Numérica
=CONT.NÚM(A1:A30)
Mínimo
Máximo
Total (Soma)
Média
Moda
Mediana
=MÍNlMO(A1:A30)
=MÁXlMO(A1:A30)
=SOMA(A1:A30)
=MÉDIA(A1:A30)
=MODO(A1:A30)
=MED(A1:A30)
Variância
Desvio padrão
=VAR(A1:A30)
=DESVPAD(A1:A30)
Probabilidades
Disciplina de Probabilidade e Estatística
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ESTATÍSTICA
69
ESTATÍSTICA
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar)
A teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável.
Será que o ônibus vai
demorar?
Será que essa chuva vai
passar?
Fonte: www.blogdogaz.com.br
70
ESTATÍSTICA
Ao começarmos o estudo
da probabilidade, normalmente
a primeira ideia que nos vem à
mente é a da sua utilização em
jogos, mas podemos utilizá-la
em muitas outras áreas.
71
ESTATÍSTICA
Exemplo na área comercial:
Um
site
de
comércio
eletrônico utiliza a probabilidade
para prever a possibilidade de
fraude por parte de um possível
comprador.
Fonte: http://www.morcego.blogger.com.br/2007_03_01_archive.html
72
ESTATÍSTICA
LEI DOS GRANDES NÚMEROS
Conforme DuPasquier, em uma série de observações de um
conjunto natural, realizadas em circunstâncias idênticas, um
atributo x ocorre com frequência relativa, cujo valor é uma
aproximação da probabilidade, aproximação esta tanto maior
quanto maior for o número de observações.
(CASTANHEIRA, 2010)
73
ESTATÍSTICA
Fonte: http://www.trendfollowingbovespa.com.br/2012_12_01_archive.html
74
ESTATÍSTICA
Pierre Simon Marquis de Laplace
Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749
Paris, 5 de março de 1827
Foi um matemático, astrônomo
e físico francês considerado o pai
da Teoria das Probabilidades.
75
ESTATÍSTICA
TEORIA DAS PROBABILIDADES
Os teoremas de base das probabilidades podem ser demonstrados
a partir dos axiomas das probabilidades e da teoria de conjuntos.
Calcula a chance de
um evento ocorrer
76
ESTATÍSTICA
Experimento Aleatório
Experimentos cujos resultados podem apresentar variações,
mesmo quando realizados em condições praticamente iguais.
Ex.: Lançamento de um dado
Observação do sexo de recém-nascidos
Lançamento de uma moeda
Jogar duas moedas
77
ESTATÍSTICA
Espaço Amostral (S)
Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
Exemplo:
S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
S2 = { M, F }
S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa
S4 = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... }
S5 = { CC, CK, KC, KK }
78
ESTATÍSTICA
Espaço Amostral no Lançamento de 3 Moedas
79
ESTATÍSTICA
Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente
denotado por letras maiúsculas.
Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a
ocorrência deste fato de evento.
Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.
Exemplo: lançamento de um dado
S={1,2,3,4,5,6}
Evento A = sair face par (evento composto)
Evento B = sair 1 (evento simples)
80
ESTATÍSTICA
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número
finito de resultados possíveis.
Seja A um evento associado a essa experiência aleatória. Então a
probabilidade do evento A é dada por:
P(A)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
81
ESTATÍSTICA
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Qual é a probabilidade de cair CARA no lançamento de uma moeda?
P(A)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
P(A)= 1/2 ou seja 50%
82
ESTATÍSTICA
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Qual é a probabilidade de sair o número 6 no lançamento de um dado?
P(B)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
P(B)= 1/6 ou seja 16,6667%
83
ESTATÍSTICA
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Qual é a probabilidade de cair um número PAR no lançamento de um dado?
P(C)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
P(C)= 3/6 ou seja 50%
84
ESTATÍSTICA
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Lançando-se dois dados simultaneamente, qual é a chance da soma dos
resultados ser igual a sete?
P(D)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
E = Multiplicação
Ou = Soma
Jogar um dado E outro (multiplicação)
P(D)= 6/36 ou seja 16,6667%
85
ESTATÍSTICA
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, qual é a chance de
aparecer coroa na moeda e um número menor que 4 no dado?
P(E)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
E = Multiplicação
(multiplicação)
Ou = Soma
Coroa na moeda E >4 no dado
P(E)= ½ x 3/6 ou seja 25%
86
ESTATÍSTICA
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Uma urna tem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas são
sacadas dessa urna sucessivamente e sem reposição. Qual é a
probabilidade de ambas serem brancas?
P(F)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
E = Multiplicação
Ou = Soma
1 branca E outra branca (Multiplicação)
P(F)= 4/9 x 3/8 ou seja 16,6667%
87
ESTATÍSTICA
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Uma urna tem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual é a probabilidade
de obter um número par ou menor que 5?
P(G)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
Par OU Menor que 5 (Soma)
E = Multiplicação
Ou = Soma
P(G)= 10/20 + 2/20 ou seja 60%
2 e 4 já haviam sido contados
88
ESTATÍSTICA
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar
doente é de 1/25. Quando está doente a probabilidade de ser
devorada por predadores é de ¼ e de 1/40 quando não está doente.
Qual é a probabilidade de uma ave, escolhida aleatoriamente, dessa
população ser devorada?
DOENTE E SER DEVORADA
SADIA E SER DEVORADA
1/25 x ¼ = 1/100 = 1%
24/25 x 1/40 = 24/1000 = 2,4%
Chance de uma ave Sadia OU Doente ser devorada
Soma das probabilidades: 1% + 2,4% = 3,4%
89
ESTATÍSTICA
Fonte: chargesdodenny.blogspot.com
90
Distribuição de Bernoulli
Disciplina de Probabilidade e Estatística
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Retornar
ESTATÍSTICA
Jackob Benoulli (1654-1705)
Foi um matemático suíço.
Nascimento: 27 de dezembro de 1654
Basiléia, Suíça.
Falecimento: 16 de agosto de 1705,
Basiléia, Suíça.
Educação: Universidade da Basiléia
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Estuda o comportamento dos Ensaios de Bernoulli
Sucesso / Fracasso
Na área de teoria das probabilidades, a distribuição de
Bernoulli é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que
tem valor 1 com a probabilidade de sucesso e valor 0 com a
probabilidade de falha.

ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Estuda o comportamento dos Ensaios de Bernoulli
Sucesso / Fracasso
Exemplos:
-
Lançar uma moeda e ver se ocorre cara ou não;
Lançar um dado e observar se ocorre 6 ou não;
Numa linha de produção, observar se um item é defeituoso ou não;
Verificar se um servidor de uma intranet está ativo ou não.
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Ensaios de Bernoulli
Quando x = 1 Sucesso / Quando x = 0 Fracasso
x
p (x)
0
1–p
1
p
Total
1
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
A distribuição de Bernoulli é um caso especial da Distribuição Binomial, com n=1
ESTATÍSTICA
EXEMPLO:
Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma
bola dessa urna. Seja x: nº de bolas verdes. Determinar P(x).
P(x) = 20/50 = 2/5 = 0,4 = 40%
Var(X) = p.q = (2/5).(3/5) = 6/25
Distribuição Binomial
Disciplina de Probabilidade e Estatística
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Retornar
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Estuda o comportamento amostral de eventos dicotômicos.
Masculino / Feminino
Satisfeito / Insatisfeito
Atrasado / Não-atrasado
Estes eventos são denominados designativos
(sim / não
ou
sucesso / fracasso)
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Ocorre em experimentos que satisfaçam as seguintes condições:
a.
O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um
número finito de vezes (n);
b.
As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o
resultado de uma não deve afetar os resultados das
sucessivas;
c.
Em cada prova
resultados;
d.
No decorrer do experimento, a probabilidade de sucesso e de
insucesso manter-se-ão constantes.
deve
aparecer
um
dos
dois
possíveis
ESTATÍSTICA
EXPERIMENTO BINOMIAL
Tem as seguintes características:
( 1 ) consiste de n ensaios;
( 2 ) cada ensaio tem apenas dois resultados: sim ou não;
( 3 ) os ensaios são independentes entre si;
( 4 ) com probabilidade  de ocorrer sim, sendo  uma constante
entre 0 e 1.
Exemplo:
Lançamento de uma moeda 3 vezes e observar o
número de caras.
n=3
 = 0,5
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Binômio de Newton
ESTATÍSTICA
Simplificando a Fórmula:
Cálculo Probabilístico (Distribuição Binomial):
P (r) =
n!
. pr . (1 - p)n-r
r! . (n - r)!
n = número de tentativas ou repetições do experimento
r = proporção desejada de sucessos
n - r = proporção esperada de fracassos
p = probabilidade de sucessos
Distribuição de Poisson
Disciplina de Probabilidade e Estatística
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Retornar
ESTATÍSTICA
Siméon Denis Poisson (1781-1840)
Foi um matemático e físico francês.
Nascimento: 21 de junho de 1781,
Pithiviers, França
Falecimento: 25 de abril de 1840,
Sceaux, França
Educação: École Polytechnique
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
 Considera as situações em que se avalia o número de
ocorrências de um tipo de evento por unidade de tempo, de
comprimento, de área, ou de volume.
Exemplos:
- Número de consultas a uma base de dados em um minuto;
- Número de pedidos a um servidor num intervalo de tempo;
- Número de erros de tipografia em um formulário;
- Número de defeitos em um m2 de piso cerâmico;
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
SUPOSIÇÕES:
- Independência entre as ocorrências do evento considerado;
- Os eventos ocorrem de modo aleatório (não há tentativas de
aumentar ou reduzir as ocorrências do evento, no intervalo
considerado)
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
x = número de ocorrências no intervalo
λ (lambda) = número médio de ocorrências no intervalo
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287
Observação: e = Número de Euler, Número de Nápier, Número de Neper, Número Neperiano
ESTATÍSTICA
EXEMPLO:
Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de
forma independente e aleatória, com uma taxa média de 3
consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no
próximo minuto não ocorra nenhuma consulta:

3 0
e 3
p ( x) =
0!
p( x) = 0,049787068 = 4,9787%
ESTATÍSTICA
EXEMPLO:
Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de
forma independente e aleatória, com uma taxa média de 3
consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no
próximo minuto ocorra apenas 1 consulta:

3 1
e 3
p ( x) =
1!
p( x) = 0,1493361205 = 14,9336%
ESTATÍSTICA
EXEMPLO:
Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de
forma independente e aleatória, com uma taxa média de 3
consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no
próximo minuto ocorram 2 consultas:

3
e 3
p ( x) =
2!
p( x) = 0,224041808 = 22,4042%
2
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Distribuição Normal
Disciplina de Probabilidade e Estatística
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Retornar
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL x DISTRIBUIÇÃO NORMAL
y
y
Média, Moda e
Mediana
x
Média, Moda e
Mediana
x
Variável dicotômica
(sim ou não, sucesso ou fracasso)
Variável contínua
(infinitos resultados possíveis)
Dá para enumerar os possíveis resultados
Não dá para enumerar os possíveis
resultados
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Variável contínua
y
(infinitos resultados possíveis)
Não dá para enumerar
os possíveis resultados
x
Média, Moda e
Mediana
ESTATÍSTICA
CURVA NORMAL
 É descrita pela média e pelo
desvio padrão.
y
 A mediana, a média e a moda
coincidem.
 A curva é simétrica ao redor
da média.
A curva é mesocúrtica.
Média, Moda e
Mediana
x
ESTATÍSTICA
CURVA NORMAL
 As inferências em pesquisas em
administração estão baseadas em
dados, cuja distribuição é normal.
y
 A curva normal (Gauss) é
simétrica, unimodal e tem forma
de sino.
 É assintótica em relação ao eixo
horizontal (eixo x).
Média, Moda e
Mediana
x
ESTATÍSTICA
CURVA NORMAL
ESTATÍSTICA
A ESTATÍSTICA Z
 A estatística Z (standard
score) está baseada na curva
normal.
 Mede o afastamento de um
valor em relação a média em
unidades de desvios padrão.
y
1 DP
Z = x - x
s
1 DP
2 DP
2 DP
3 DP
-3
-2
3 DP
-1
0
+1
+2
+3
x
ESTATÍSTICA
A ESTATÍSTICA Z
y
Exemplo:
A altura média dos estudantes
da ESTÁCIO é de 1,70m com
desvio padrão de 10cm
Z = x - x
s
140 150
-3
-2
160
170
-1
0
180 190 200 x
+1
+2
+3 z
ESTATÍSTICA
ÁREAS DA CURVA NORMAL
Áreas
y
-1DP a +1DP  68,27%
-2DP a +2DP  95,45%
-3DP a +3DP  99,73%
1 DP
1 DP
-1,96DP a +1,96DP  95%
2 DP
2 DP
Média a 1DP  34,13%
Média a 2 DP  47,72%
3 DP
-3 DP
-2 DP
-1 DP
Média a 3DP  49,86%
3 DP
Média, Moda e
Mediana
+1 DP
+2 DP
+3 DP
x
ESTATÍSTICA
ÁREAS DA CURVA NORMAL
y
34,13%
47,72%
49,86%
x
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
z
ESTATÍSTICA
ÁREAS DA CURVA NORMAL
y
68,27%
95,45%
99,73%
x
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
z
ESTATÍSTICA
TABELA Z
ESTATÍSTICA
(continuação)
Média, Moda e
Mediana
ESTATÍSTICA
No Microsoft Excel
=DIST.NORM (x; média; s; 1) - 1
Fornece o valor da área entre x
e a caudaMédia,
direita.
Moda e
Mediana
= DIST.NORMP (z) - 1
Fornece o valor da área entre z
e a cauda direita.
ESTATÍSTICA
EXERCÍCIOS
1) O processo de fabricação de uma determinada empresa apresenta a
média de peso de uma peça igual a 100g e desvio padrão de 1,5 g.
Qual é a proporção de peças entre 100 e 102g?
Z = (x - média) / desvio padrão = (102 - 100) / 1,5 = 1,33
?
na tabela qdo z = 1,33 a área é de 50% - 9,18% = 40,82%
100 102
0
?
x
z
ESTATÍSTICA
2) Calcule as seguintes proporções de peças:
(a) com peso entre 98 e 102g
(b) abaixo de 98g
(c) acima de 102g
(d) abaixo de 100g
(e) abaixo de 96,5g
Fonte Bibliográfica
Retornar

BARBETA, P. A. Estatística Aplicada às Ciências Sociais. 5.ed. Florianópolis:
UFSC, 2006.

BARBETA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de
Engenharia e Informática. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2008.

BRUNI, A. L. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo: Atlas,
2010.

BRUNI, A. L. Excel Aplicado à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo: Atlas,
2010.

CASTANHEIRA, N. P. Estatística Aplicada a Todos os Níveis. 5.ed. São Paulo:
IBPES, 2010.

CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009.

LEVIN, J. Estatística Aplicada às Ciências Humanas. 7.ed. São Paulo: Harbra,
2007.

SPIEGEL, M. R. Estatística. 8.ed. São Paulo: Makron Books, 2006.

STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra,
2007.
The Wrap-up
A little knowledge of statistic helps
you understand a lot about the
information which is presented to you.
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