Aula 11(slides) - UFRJ-HidrodinÂmica Meteorologia

Hidrodinâmica
Aula 11
(10 Sem./2017)
1
As relações de energia
2
Nas aulas passadas estudamos a dinâmica dos fluidos através do sistema de forças
envolvidas em conjugação com a segunda lei de Newton. Vamos ver agora as
implicações do balanço energético para o movimento do fluido.
Um quadro mais completo não pode prescindir da análise energética uma vez que
num fluido em movimento estão presentes trocas de energia mecânica em
Energia térmica e vice-versa. Podemos ver claramente que sistemas como a
atmosfera e os oceanos são antes de tudo sistemas termodinâmicos e como tal
devem ser tratados.
O problema que vamos abordar consiste na aplicação das leis da Termodinâmica
ao escoamento de um fluido.
Todo e qualquer elemento
de fluido deve satisfazer
a primeira lei de Termodinâmica
dE  dW  dQ
3
A Equação diferencial da Energia
Vamos analisar a equação,

[1 / 2 u 2  ]  e
t


(11.1)
(Energia Mecânica + Energia interna)
para um fluido ideal ( = 0) em um fluxo adiabático (não há troca de calor).
m 2 (1 / 2.m.u 2 )
Energia cinética por unidade de volume
1 / 2 u  1 / 2
u 
V
V
m.e E
Energia Interna por unidade de volume
e 

V V
 E
 m EP EP
Energia potencial (p.ex. gravitacional)
      Potencial  
.

 m  V m V
por unidade de volume
2
4


u



 (1 / 2 u 2 )
(11.2)
 u .
 1 / 2u 2
t
t
t


 .( u )
Equação da continuidade (11.3)
t

 
u 1 
Equação de Euler (11.4)
 ( f  p )  (u .)u
t 
Substituindo (11.3) e (11.4) em (11.2) obtemos,
   
  
(1 / 2 u 2 )
2
 1 / 2u .( u )  u. f  u.p  u.(u.)u 
t
(Exercício) Mostre que:
(11.5)
  
 2
u. (u.)u   1/ 2u.u
5
Relações termodinâmicas relevantes:
H (Entalpia)  E (Energia Interna)  pV
(m)
h(entalpia específica )  e  p.v(volume específico )  e 
1
p
ρ
Sabemos, por sua vez que,
dh  T .ds(entropia específica )  v.dp  Tds 
(Exercício) Mostre que:
h  Ts 
Sugestão: h  h( x, y, z , t )  dh 
1

p
1

dp
(11.6)

h
dt  h.(dr )
t
Consideramos as funções h e s como funções de estado do fluido e portanto
h = h(x,y,z,t) e s = s(x,y,z,t).
6
Da relação 11.6, concluímos que,



uh  uTs  up




up  uh  uTs
(11.7)
Podemos substituir 11.7 em 11.5 para obter,
 (1/ 2  u 2 )
 1/ 2u 2.(  u )  u. f  u.p   u .(u.)u 
t
11.5



(1 / 2 u 2 )
2
2
 1 / 2u .( u )  u.(1 / 2u  h  )  Tu.s
t
(11.8)
7
Relações termodinâmicas relevantes (continuação):
de  Tds  pdv  Tds 
Nota:
p
2
d
1
dv
1
1
v 
  2  dv   2 d

d


de  dq  dw
dq  Tds
dw   pdv
d ( e)  e.d   .de


p
d ( e)  e.d   . Tds  2 .d 



p
d ( e)  (e  ).d  Tds  hd  Tds


 ( e)
s
h
 T
t
t
t
(11.9)
8
Temos também as seguintes relações,

 .(  u )
t
Equação da continuidade
ds s
  u .s  0 Para um fluxo adiabático:
dt t
Substituindo essas duas relações em 11.9
 (  e)

s
h
 T
t
t
t


 ( e)
 h.( u )  T (u .s )
t
(11.10)
9
O último termo da relação (11.1), pode ser escrita como:

[1 / 2 u 2  ]  e
t


 (  )



 .
t
t
t
Na maioria dos casos o potencial de interação, como por exemplo o potencial
gravitacional, pode ser considerado independente do tempo. Fazendo uso da
equação da continuidade temos então:

 ( )

 .
 .( u )
t
t
(11.11)
10
Substituindo as equações 11.11, 11.10 e 11.8 em 11.1 obtemos:
 (  )

 .
 .(  u ) 11.11
t
t
 (  e)
 h.(  u )  T (u .s ) 11.10
t



(1 / 2 u 2 )
 1 / 2u 2.( u )  u.(1 / 2u 2  h  )  Tu.s
t

[1 / 2 u 2  ]  e
t

(11.8)


1 2
1 2

2
[1/
2

u



]


e


u

h



.(

u
)


u
.

(
u  h  )




t
2
2

11
Considerando-se a identidade vetorial,



 (. A)  A.  .(A)
obtemos,

[1 / 2 u 2  ]  e  .(u[1 / 2 u 2  h  ])
t
(11.12a)
12
Vemos que a relação 11.11 é estruturalmente idêntica a equação da continuidade,


 .(  u )
t


2
[1 / 2 u  ]  e  .(u[1 / 2 u 2  h  ])
t

dV    .(  u )dV    (  u ).dS

t
V
V
S

dM
dV

   J .dS

t
dt
V
S
onde,
J  u
é o vetor vazão (kg/m3.m/s = kg/m2.s)
13
Analogamente,

[1 / 2 u 2  ]  e  .(u[1 / 2 u 2  h  ])
t
onde,
dE
   J E .dS
dt
(11.12b)
J E   (1/ 2u  h   )u
2
Essa relação exprime o principio
de conservação de energia para um
fluido ideal, não viscoso.
pode ser definido como uma “vazão de
energia" (J/m3.m/s = J/s.m2=W(watt)/m2).
14
A Equação diferencial da Energia (continuação):
a questão do atrito
15
Princípio fundamental: primeira lei da Termodinâmica aplicado a uma parcela do
fluido.
dE  dW  dQ
dE dW dQ


dt
dt
dt
dW
 (força)x(ve locidade)
dt



R  F (corpo)  T (superfície )
16
Potência aplicada pelas forças de superfície
17
Parede perpendicular ao eixo – x:




T1 ( x  dx, y, z )  u ( x  dx, y, z )  (T1 ( x, y, z )  u ( x, y, z ))

T   .iˆ   . ˆj   .kˆ  dy.dz
1

11
12
13


[ 11 ( x  dx, y, z )  u1 ( x  dx, y, z )   12 ( x  dx, y, z )  u 2 ( x  dx, y, z ) 
 13 ( x  dx, y, z )  u3 ( x  dx, y, z )] 
[ 11 ( x, y, z )  u1 ( x, y, z )   12 ( x, y, z )  u2 ( x, y, z ) 
 13 ( x, y, z )  u3 ( x, y, z )]  dy  dz

 11  
u1 

dx    u1 ( x, y, z ) 
dx 
 11 ( x, y, z ) 
x
x 

 
 11
u1
 11 ( x, y, z )  u1 ( x, y, z )  u1 
dx   11 
dx  ( termos em (dx) 2 )
x
x
18
Parede perpendicular ao eixo – x: resultado.

 13
u3 
 11
u1  
 12
u 2  
u





u





u





 dxdydz




11
2
12
3
13
 1 x
x  
x
x  
x
x 



(
u



u



u


)
2
12
3
13 V
 x 1 11


Analogamente, para as paredes perpendiculares aos eixos y e z, temos:


eixo  y :  (u1  21  u 2  22  u3  23 )V
 y



eixo  z :  (u1  31  u 2  32  u3  33 )V
 z

Combinando os resultados parciais obtemos:

 m
dW
(forças de superfície )     . u .V     . u  
dt

19
As operações .u representam o produto do tensor tensão (ij) pelo vetor
velocidade u num dado ponto do espaço. O resultado desta operação é
um vetor:
 11  12  13   u1    11.u1   12 .u2   13.u3 
   

 
 .u   21  22  23    u2    21.u1   22 .u2   23.u3 

  u   .u   .u   .u 


 31 33 33   3   31 1 32 2 33 3 
20
Potência aplicada pelas forças de corpo
21
  m
   
dW
(forças de corpo)  F . u  f . uV  f . u
dt

Resultado final:


   m
dW
 .( u )  f . u
dt

(11.13)
Devemos fazer agora uma observação importante sobre a relação 11.13: nesta relação
está inclusa a energia de movimento. Se queremos a contribuição do trabalho mecânico
para o aumento da energia interna do sistema devemos isolar a contribuição da energia
cinética.
22
O cálculo da potência mecânica nos levou ao seguinte resultado,


   m
dW
 .  u   f  u .
dt

Usando a notação de somatório, escrevemos:
u
dW   ij
  ui .
  ij  i
dt  x j
x j


  f i  ui   m

 

 ij 
ui  m
dW  

 ui  f i 
  ij 

dt  
x j 
x j  
du
u  m
dW 
   .ui  i   ij  i  
dt 
dt
x j  
u m
dW d (1 / 2.m.ui2 )

  ij  i 
dt
dt
x j 
Esse termo deve ser
mantido no da cálculo
da energia interna.
(11.14)
23
Cálculo do calor por unidade de tempo trocado
devido a parcela (dQ/dt):
Para concluirmos a aplicação da primeira lei da Termodinâmica, devemos calcular
a quantidade de calor por unidade de tempo trocada pela parcela (dQ/dt).
24
Condução
O fenômeno de condução de calor ocorre quando, por exemplo num corpo, suas
partes estiverem a temperaturas diferentes. O sentido do fluxo de calor é sempre
da parte de maior temperatura para aquela de temperatura mais baixa.
(𝐴)
𝑇2
Nã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟
𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟
(𝐵)
𝑇1
−−− −𝐿 −−− −
Após um tempo suficientemente longo, durante o qual os corpos (A) e (B) são
mantidos à temperatura T2 e T1 observa-se que os pontos da barra laranja
permanecem à mesma temperatura, (fluxo em regime estacionário), variando a
temperatura de um ponto para outro linearmente.
𝑇
𝑇2
Regime estacionário a
um tempo longo t∞
Regime não estacionário a
um tempo t* curto.
𝑇1
𝐿
Os resultados experimentais mostram que:
a) ∆𝑄 é diretamente proporcional a ∆𝑇 , ∆𝑡 e 𝐴 (área da seção reta do corpo)
∆𝑄
∆𝑇
∝ −𝐴
∆𝑡
∆𝑥
Obs 1: o sentido positivo de x é o mesmo de OX.
Obs 2: o sinal negativo está de acordo com a transferência de calor da
temperatura maior para menor
𝑑𝑄
𝑑𝑇
→
= −𝑘𝐴
𝑑𝑡
𝑑𝑥
kA(T2  T1 )
Q
H 
t
L
𝑑𝑇
−
= (𝑇2 − 𝑇1 )/𝐿
𝑑𝑥
ou
A(T2  T1 )
H
L/k
𝐿 𝑘 = 𝑅 (𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎)
Unidade de H: no S.I J/s (Watt)
Alguns valores de condutividade.
Fonte: Física 2, 5ª Edição, Resnick,
Halliday e Krane (LTC).
28
Exemplo (duas placas condutoras de calor colocadas entre duas fontes a
temperaturas 𝑇𝐻 e 𝑇𝐶 onde 𝑇𝐻 > 𝑇𝐶 )
(𝐴)
(𝐵)
𝐿2
𝐿1
𝑇𝐻
𝑇𝐶
𝑇𝑋
𝐴(𝑇𝐻 − 𝑇𝑋 )
𝐴(𝑇𝑋 − 𝑇𝐶 )
𝐻2 =
e 𝐻1 =
, na interface 𝐻2 = 𝐻1 = 𝐻,
(𝑅2 )
(𝑅1 )
logo 𝐻 =
𝐴(𝑇𝐻 − 𝑇𝐶 )
(𝑅1 + 𝑅2 )
R1 e R2 são as resistências térmicas de cada placa e A a área
de contato entre elas.
Convecção
O fenômeno de transferência de calor envolvendo o processo de convecção
ocorre quando, partículas de um ambiente, por exemplo o ar, absorvem energia e
estas partículas deslocam-se no meio de forma semelhante a um fluido. Assim o
calor é transferido de uma região para outra em um ambiente. Em algumas
situações pode-se estabelecer um regime estacionário de transferência de calor
descrito pela relação abaixo:
𝑄 = ℎ𝐴(𝑇𝑆 − 𝑇∞ )
Onde h é o coeficiente de convecção A a área do material a temperatura Ts e T∞ a
temperatura do fluido que circula pelo ambiente.
𝑇𝑆
𝑇∞
Exemplo
• Correntes de convecção
• A colocação de aberturas nas
coberturas aumenta a ventilação
natural e transferem o calor pela
formação de uma camada de ar
móvel entre o forro e o telhado.
𝑑𝑄
𝑑𝑇
= −𝑘𝐴
𝑑𝑡
𝑑𝑥
  kA
dT

dT

 q  k

dx
A
dx
Fluxo de calor (W/m2)
No espaço tridimensional,

q  kT 
Lei de Fourier (11.15)
 
q.ds 
quantidade de calor por
unidade de tempo que
atravessa a área ds
Q
 q.ds. cos 
t
ds
n̂


q
32
Lei de Fourier - Principio básico às trocas de calor no escoamento

q  k .T , onde T  T(x, y, z, t)
Contribuição das paredes perpendiculares ao eixo-x:


ˆ
[q ( x, y, z, t ).i  q ( x  dx, y, z, t ).iˆ]dydz 
T
 T

k
|( x  dx, y , z ) 
|( x , y , z ) dydz 
x
 x

T
T
 (T / x)
|( x  dx, y , z ) 
|( x , y , z ) 
dx
x
x
x
 2T
 k . 2 .dV
x
33
Estamos considerando, nesta dedução, que a condutibilidade térmica (k) é constante.
Levando em conta as contribuições análogas das paredes perpendiculares aos eixos y
e z, podemos escrever:
dQ
dm
 k 2T .dV  k 2T .
dt

(11.16)
u  m
dW d (1/ 2. m.ui2 )

  ij  i 
dt
dt
x j 
Para o cálculo da taxa de variação da energia interna da parcela de fluido devemos
considerar as contribuições 11.16 e 11.14:
dEint dW dQ


dt
dt
dt


u
de
  ij i  k 2T
dt
x j
Se usamos a equação constitutiva,

 ij   p. ij   (. u ). ij  2 ij
34
 2
ui
ui
de
2
  p
 k T  2 ij
  (. u )
dt
xi
x j

de
   p. u  k 2T  
dt
  2 ij

ui
  (. u ) 2
x j
(11.17)
Função dissipação
( - chi)
35
Observações finais:
1. Como vimos, a equação 11.12b não leva em conta as trocas de calor. Se consideramos
as trocas de calor por condução a equação 12.12b pode ser ampliada de forma a
incorporar o fluxo de calor dado pela lei de Fourier.


2
J E   (1 / 2u  h  )u  kT
2. Se consideramos um fluido em repouso a equação 11.17 pode ser escrita como,

de
 k 2T
dt
Se consideramos um material sólido ou mesmo um fluido de alta viscosidade a
presença de gradientes de temperatura não induzem a formação de correntes de
convecção. O calor é trocado por condução. Podemos assumir que a energia interna
36
é dada por,
de  c p .dT
onde sabemos que cp (calor específico à pressão constante)  cv (calor específico a
volume constante). Assim,
cP
dT
 k 2T
dt
dT
k

 2T   2 2T
dt cP
T
  2 2T
t

k

cP
A equação 11.18 é conhecida
como Equação de Difusão Térmica
e forma uma base importante
para os estudos de transferência
de calor.
(11.18)
coeficiente de difusão térmica
37
FIM
38