Trabalho_Energia

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR
UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS
DISCIPLINA: FÍSICA I
ENERGIA CINÉTICA E
TRABALHO
Prof. Bruno Farias
Introdução
Neste módulo concentraremos nossa atenção no estudo da
energia.
O estudo da energia é de extrema importância pois, nossa
civilização se baseia na obtenção e no uso eficiente de energia.
Energia
O termo energia é tão amplo que é difícil pensar em uma
definição concisa.
De forma bem genérica, podemos definir energia como
uma grandeza escalar associada ao estado de um ou
mais objetos.
A energia pode ser transformada de uma forma para outra e
transferida de um objeto para outro, mas a quantidade total é
sempre a mesma, ou seja, a energia é conservada.
Existem vários tipos de energia, porém nesse capítulo, trataremos apenas da
energia cinética. E também numa única forma de transferir energia que é o
trabalho.
Energia Cinética
A energia cinética K é a energia associada ao estado de
movimento de um objeto.
Para um objeto de massa m cuja velocidade v é muito menor
que a velocidade da luz:
1 2
K  mv
2
A unidade de energia cinética no SI é o joule (J), onde 1 J = 1
kg x m2/s2.
Exemplo
Trabalho
Trabalho (W) é a energia transferida para um objeto ou
de um objeto através da aplicação de uma força que age
sobre o objeto.
Quando a energia é transferida para o objeto, o trabalho é
positivo, quando a energia é transferida do objeto, o
trabalho é negativo.
Trabalho é uma grandeza escalar e sua unidade no SI é o
joule (J), onde 1 J = 1 N x m.
Trabalho Realizado por uma Força
Constante
O trabalho realizado por uma força constante atuando num
corpo, é definido como o produto interno entre a força F e
deslocamento d , assim:

F
 
W  F  d  Fd cos 
m



d

x
A componente da força perpendicular ao deslocamento não
realiza trabalho.
Trabalho Total
Quando duas ou mais forças atuam sobre um objeto, o
trabalho total realizado sobre o objeto é a soma dos
trabalhos realizados separadamente pelas forças.
W  WF  WF  WF  
1
2
3
Exemplo
A Figura abaixo mostra três forças aplicadas a um baú que se
desloca 3 m para a esquerda sobre um piso sem atrito. Os
módulos das forças são F1 = 5 N, F2 = 9 N e F3 = 3 N; o
ângulo indicado é θ = 60º. Nesse deslocamento, a) qual é o
trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças?
Teorema do Trabalho e Energia
Cinética
Demonstração: Consideremos um objeto de massa m
movendo-se ao longo do eixo x sob ação de uma força
resultante constante de módulo F orientada no sentido positivo
do eixo x. Através da 2ª lei de Newton, temos que:
F  Fx  ma x
(1)
Quando o objeto sofre um deslocamento d, sua velocidade
varia de um valor inicial v0 para outro, v. Como a força e a
aceleração são constantes podemos escrever:
v  v0  2ax d .
2
2
Explicitando a aceleração na equação anterior, ficamos com:
v  v0
ax 
.
2d
2
2
(2)
Substituindo a equação (2) na equação (1), e multiplicando
ambos o membros por d, obtemos que:
2
2
v
v0
Fd  m  m .
2
2
E finalmente podemos escrever:
Wtotal  K  K 0  K .
(Teorema do Trabalho-Energia Cinética)
Exemplo
A Figura abaixo mostra três forças aplicadas a um baú que se
desloca 3 m para a esquerda sobre um piso sem atrito. Os
módulos das forças são F1 = 5 N, F2 = 9 N e F3 = 3 N; o
ângulo indicado é θ = 60º. Nesse deslocamento, a) qual é o
trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças? b) A
energia cinética do baú aumentou ou diminuiu?
Exercício
Um bloco de gelo flutuante é colhido por uma correnteza que

aplica ao bloco uma força F  210 N iˆ  150 N  ˆj , fazendo com que
ele sofra um deslocamento d  15 miˆ  12 m ˆj . a) Qual é o trabalho
realizado pela força sobre o bloco durante esse deslocamento?
b) Se o bloco tem
uma energia cinética de 500 J no início do

deslocamento d , qual é sua energia cinética ao final do
deslocamento?
Trabalho Realizado pela Força
Gravitacional
O trabalho Wg realizado
gravitacional Fg é dado por:
pela
força
 
Wg  mgd cos  Fg  d ,
onde ϕ é o ângulo entre os vetores Fg e d.
Numa subida ϕ = 180º e o trabalho realizado
por Fg é:
Wg   Fg d .
Numa descida ϕ = 0º e o trabalho realizado por Fg é:
Wg   Fg d .
Exemplo
Trabalho Realizado por Força Variável
– Movimento Unidimensional
Vamos considerar uma força F(x) que
aponta no sentido positivo do eixo x e
que possui o módulo variando com a
posição x, a qual é aplicada num bloco
de massa m (Figura ao lado).
Vamos
supor
também
que
a
intensidade da força F(x) varia com a
posição conforme o gráfico ao lado.
m


F x 

d

x
Dividimos a área sob a curva em um grande número de faixas
estreitas de largura Δx. Δx é suficiente pequeno para que
possamos considerar a força F(x) aproximadamente constante
nesse intervalo.
Denotamos por Fj,méd o valor aproximadamente constante de
F(x) no intervalo de ordem j.
Assim, o incremento de trabalho ΔWj realizado por Fj,méd no
intervalo de ordem j é dado por:
Wj  Fj ,méd x.
Para denotarmos o trabalho total W realizado pela força F(x)
quando a partícula se desloca de xi para xf, somamos as áreas
de todas as faixas entre xi e xf, assim:
W   W j   Fj ,méd x.
Para melhorar a precisão da expressão acima reduzimos a
largura Δx dos retângulos e usamos mais retângulos, conforme
a Figura abaixo.
No limite, fazemos a largura dos retângulos tender a zero;
nesse caso, o número de retângulos se torna infinitamente
grande e temos como resultado:
W  lim  Fj ,méd x.
x0
A equação acima é a definição da integral da função F(x) entre
os limites xi e xf. Assim:
xf
W   F  x dx.
xi
( Trabalho de uma força variável)
Geometricamente, o trabalho é igual à área entre a curva de
F(x) e o eixo x, entre os limites xi e xf.
Observação: O teorema do trabalho-energia cinética
também é válido quando o trabalho é realizado por uma
força variável.
Wtotal  K  K 0  K .
Exemplo
Uma vaca está saindo do celeiro, apesar de você tentar puxála de volta. Nas coordenadas com origem na porta do celeiro,
a vaca caminha de x = 0 até x = 6,9 m enquanto você aplica
F  20 N  30 N m x . Quanto
uma força com o componente
trabalho a força exercida por você realiza sobre a vaca
durante o seu deslocamento?
x
Exemplo
Trabalho Realizado pela Força
Elástica
Consideramos um bloco sobre uma
superfície horizontal sem atrito, preso a
uma mola. Se a mola é esticada ou
comprimida, ela exerce uma força sobre o
bloco, dada pela expressão:


Fs   kd
( lei de Hooke)
onde k é uma constante (chamada de
constante elástica) e d é a distensão da
mola.
Como a força que a mola exerce sobre o bloco varia com x, o
trabalho realizado por esta força sobre o bloco, enquanto o
bloco sofre um deslocamento de xi até xf, é obtida da seguinte
forma:
 x f 2 xi 2 
Ws   F  x dx    kx dx  k  xdx  k 
 ,
2 
x
x
x
 2
xf
xf
xf
i
i
i
E portanto:
1 2 1 2
Ws  kxi  kx f .
2
2
( trabalho de uma força elástica)
Tomando xi = 0 e xf = x podemos escrever também:
1 2
Ws   kx .
2
( trabalho de uma força elástica)
Exemplo
Um bloco de 4 kg está sobre uma mesa sem atrito e preso a
uma mola com k = 400 N/m. A mola é inicialmente comprimida
de 5 cm. Encontre a) o trabalho realizado sobre o bloco pela
mola enquanto o bloco se move de x = xi = - 5 cm até sua
posição de equilíbrio x = xf = 0 cm, b) a velocidade do bloco
em xf = 0 cm.
Potência
Potência é a taxa com que uma força realiza trabalho.
Se uma força realiza um trabalho W em um intervalo de tempo
Δt, a potência média desenvolvida durante esse intervalo de
tempo é:
Pméd
W
 .
t
A potência instantânea P é a taxa de variação instantânea com
a qual o trabalho é realizado, sendo expressa como:
dW
P
.
dt
A unidade de potência no SI é o joule por segundo, a qual recebeu o nome
de watt (W).
1 watt  1W  1 J s

F
m



v

x
Também podemos expressar a potência instantânea P em
termos da força e da velocidade sobre a partícula. Para isso
fazemos:
dW F cosdx
dx
P

 F cos  Fv cos ,
dt
dt
dt
de onde obtemos:
 
P  F  v.
Exemplo