Monitoria de Lógica para Computação * EC

Monitoria de Lógica para
Computação – EC
Slides baseados em slides antigos da monitoria e nos
slides utilizados pela professora em sala de aula.
Mini prova 1
Lógica aristotélica.
Validade x Consistência
Algum A é B
Nenhum H é B
-------------------------Nenhum A é H
Todo A é B.
Nenhum C é B.
y é C. y é A.
O argumento é valido ?
O conjunto de sentenças é
consistente ?
Validade
 Primeiro vamos saber o que é um argumento...
 Um argumento é uma sequência de sentenças.
 Mas não uma sequência qualquer. Essas sentenças
precisam ter uma relação entre si (silogismo).
 Uma delas é chamada de conclusão (tese) e as demais
são as justificativas que garantem a conclusão, que
chamamos de premissa.
Validade
 Quando um argumento é válido?
Um argumento é válido se toda situação que torne as
premissas verdadeiras torne também a conclusão
verdadeira. Ou, de outro modo, um argumento é válido
se não existe situação que torne as premissas
verdadeiras e a conclusão falsa.
 Toda vez que as premissas forem falsas ou tiverem
uma contradição, o argumento será válido.
(P1 ^ P2 ^ P3 ^ ... ^ Pn ) -> C
Validade
 Ex.:
Todo P é M.
Algum S é M.
----------------Algum S é P.
O argumento é válido?
Opa! Há ao menos um caso
em que nenhum S é P! Ou
seja, há ao menos um caso
em que as premissas são
verdadeiras e a conclusão,
falsa.
P=M
S=M
P
S
S=M=P
S
S =M
P
M
S
M
M
S
M
S
P=M
P=M
P
M
S
...
P=M
S
Validade
 O argumento da questão anterior é válido?
Não! Pois há ao menos um caso em que as premissas
são verdadeiras e a conclusão é falsa! Agora que
encontramos esse caso, não precisamos mostrar as demais
possibilidades.
Obs.: No caso de um argumento válido, é necessário
mostrar que em todos os casos em que as premissas são
verdadeiras, a conclusão também é!
Consistência
 Quando um conjunto de sentenças é consistente?
Um conjunto de sentenças em lógica proposicional é
dito consistente se houver um conjunto de valoresverdade para as proposições tal que todas as
sentenças sejam verdadeiras simultaneamente.
Consistência
 Ou seja, usando o diagrama de venn, basta que
encontremos um caso em que todas as sentenças
sejam verdadeiras simultaneamente.
 Você pode perceber que para um conjunto de
sentenças inconsistentes, é impossível achar um caso
valido, ou seja, no conjunto de sentenças há algum
tipo de contradição, implícita ou explicita.
Consistência
Opa! Em todos os casos é
impossível que todas as 4
sentenças sejam
verdadeiras
simultaneamente!
 Ex.: Todo A é B. Nenhum C é B. y é C. y é A.
OBconjunto de sentenças
é consistente?
C
B
A=B
A
C
A=B
y
B
y
A
C
y
y
Consistência
 O conjunto de sentenças anterior é consistente?
 Não! Pois em todos os casos possíveis, não existe ao
menos um caso em que as 4 sentenças sejam
verdadeiras simultaneamente!
Obs.: No caso de um conjunto de sentenças consistente,
basta que encontremos um caso em que todas as
sentenças sejam verdadeiras simultaneamente.
Observação
Se em um argumento as premissas formarem um
conjunto inconsistente então o argumento será válido
independentemente do que seja sua conclusão.
Por quê?
Vamos Analisar
Se em um argumento as premissas formarem um conjunto
inconsistente ...”
Premissas inconsistentes? Ou seja, as premissas não podem ser
verdadeiras simultaneamente!
“... então o argumento será válido independentemente do que seja
sua conclusão.”
Argumento válido independentemente da conclusão? Sim, pois se
não há caso em que as premissas sejam verdadeiras, então
também não há caso em que as premissas são verdadeiras e a
conclusão falsa!
 (P1 ^ P2 ^ ... ^ Pn ^ ¬Pn ) -> C ou seja zero -> qualquer coisa =
Válido.
Exemplificando
João é professor.
João não é professor.
--------------------------Logo, a Lua é feita de queijo.
Chamemos:
João -> J
Conjuntos dos professores -> P
Lua -> L
Conjunto das coisas feitas
de queijo -> Q
JéP
J não é P
-----------LéQ
P
P
j
Impossível ‘juntar’ as duas
premissas! Logo, não há ao
menos um caso em que as
premissas sejam verdadeiras
e a conclusão falsa!
Portanto, o argumento é
válido!
j
Paradoxo
Exercícios
Mini prova 2
Conjuntos Indutivos
Fechos Indutivos
Conjuntos Indutivos
 Seja A um conjunto e X um subconjunto de A (X ⊂ A).
Considere F um conjunto de funções cada uma com sua
aridade.
 Dizemos que um subconjunto Y de A (Y ⊆ A) é indutivo em
relação à base X e a F se:
1.
2.
Y contém a base X. (X ⊂ Y)
Y é fechado sobre todas as funções de F.
 Y é um conjunto indutivo
em relação a X e a F.
F = { f1, f2, ... }
A
X
Y
Fecho Indutivo
 Como nós chegamos ao menor conjunto indutivo ?
 Há duas formas de chegarmos ao fecho indutivo:
1. De baixo para cima ( bottom-up )
2. De cima para baixo ( top-down )
Fecho indutivo ( Bottom-up )
 Sejam f e g funções de F e a, b e c elementos da base.
f(_,_)
g(_)
f(a,b)
f(b,a) f(a,c)
f(c,a)
ab
c f(b,c) (...)
f(c,b) g(a) g(b)
g(c)
f(a,f(a,b)) f(a,f(b,a))
f(a,f(a,c)) f(a,f(c,a)) f(a,f(b,c)) f(a,f(c,b))
f(a,g(a)) f(a,g(b)) f(a,g(c)) f(f(a,b),a) f(f(b,a),a) f(f(a,c),a)
f(f(c,a),a) f(f(b,c),a) f(f(c,b),a) f(g(a),a) f(g(b),a) f(g(c),a)
X+
f(b,f(a,b)) f(b,f(b,a)) f(b,f(a,c)) f(b,f(c,a)) f(b,f(b,c)) f(b,f(c,b)) f(b,g(a)) f(b,g(b))
f(b,g(c)) f(f(a,b),b) f(f(b,a),b) f(f(a,c),b) f(f(c,a),b) f(f(b,c),b) f(f(c,b),b) f(g(a),b)
f(g(b),b) f(g(c),b) f(c,f(a,b)) f(c,f(b,a)) f(c,f(a,c)) f(c,f(c,a)) f(c,f(b,c)) f(c,f(c,b))
f(c,g(a)) f(c,g(b)) f(c,g(c)) f(f(a,b),c) f(f(b,a),c) f(f(a,c),c) f(f(c,a),c) f(f(b,c),c) f(f(c,b),c)
f(g(a),c) f(g(b),c) f(g(c),c) f(f(a,b),f(a,b)) f(f(a,b),f(b,a)) f(f(a,b),f(a,c)) f(f(a,b),f(c,a)) f(f(a,b),f(b,c))
f(f(a,b),f(c,b)) f(f(a,b),g(a)) f(f(a,b),g(b)) f(f(a,b),g(c)) f(f(b,a),f(a,b)) f(f(a,c),f(a,b)) f(f(c,a),f(a,b))
f(f(b,c),f(a,b)) f(f(c,b),f(a,b)) f(g(a),f(a,b)) f(g(b),f(a,b)) f(g(c),f(a,b)) f(f(b,a),f(b,a))
f(a,b)
f(f(b,a),f(a,c)) f(f(b,a),f(c,a)) f(f(b,a),f(b,c)) f(f(b,a),f(c,b)) f(f(b,a),g(a)) f(f(b,a),g(b))
f(f(b,a),g(c)) f(f(a,c),f(b,a)) f(f(c,a),f(b,a)) f(f(b,c),f(b,a)) f(f(c,b),f(b,a)) f(g(a),f(b,a))
f(b,a) f(a,c)
f(g(b),f(b,a)) f(g(c),f(b,a)) f(f(a,c),f(a,c)) f(f(a,c),f(c,a)) f(f(a,c),f(b,c))
f(c,a)
ab
f(f(a,c),f(c,b)) f(f(a,c),g(a)) f(f(a,c),g(b)) f(f(a,c),g(c)) f(f(c,a),f(a,c))
f(b,c)
c
f(f(b,c),f(a,c)) f(f(c,b),f(a,c)) f(g(a),f(a,c)) f(g(b),f(a,c)) f(g(c),f(a,c))
f(c,b) g(a) g(b)
f(f(c,a),f(c,a)) f(f(c,a),f(b,c)) f(f(c,a),f(c,b)) f(f(c,a),g(a)) f(f(c,a),g(b))
g(c)
f(f(c,a),g(c)) f(f(b,c),f(c,a)) f(f(c,b),f(c,a)) f(g(a),f(c,a)) f(g(b),f(c,a))
...
f(g(c),f(c,a)) f(f(b,c),f(b,c)) f(f(b,c),f(c,b)) f(f(b,c),g(a)) f(f(b,c),g(b)) f(f(b,c),g(c))
f(f(c,b),f(b,c)) f(g(a),f(b,c)) f(g(b),f(b,c)) f(g(c),f(b,c)) f(f(c,b),f(c,b)) f(f(c,b),g(a))
f(f(c,b),g(b)) f(f(c,b),g(c)) f(g(a),f(c,b)) f(g(b),f(c,b)) f(g(c),f(c,b))
f(g(a),g(a)) f(g(a),g(b)) f(g(a),g(c)) f(g(b),g(a)) f(g(c),g(a))
f(g(b),g(b)) f(g(b),g(c)) f(g(c),g(b)) f(g(c),g(c))
Fecho indutivo ( Bottom-up )
Uma definição mais formal...
 Vamos construir o fecho indutivo a partir da base:
X0  X
X n1  X n  { f ( x1 , x2 ,..., xk )}
Onde aridade (f) = k e x1, x2, ..., xk ∊ Xn e ∊ F
Fecho Indutivo – Top-down
 Considere a família C de conjuntos indutivos em
relação a X e F.
 Perceba que C não é vazia pois contém pelo menos A.
 Considere X+= ∩ C o conjunto formado pela
intersecção de todos os conjuntos de C.
 Temos que X+ é o menor conjunto indutivo em relação
a X e F (fecho indutivo)
Conjuntos Livremente Gerados
 Definição:
 Sejam A e X conjuntos, X está contido em A, e seja F um
conjunto de funções que recebem como parâmetro
elementos de A: O fecho indutivo de X+ de X sob F será
livremente gerado se e somente se:
 Todas as funções de F forem injetoras.
 Sejam f e g funções de F sobre X+, o conjunto imagem de f e g
são disjuntos.
 Nenhum elemento da base X é resultado de aplicações de f
sobre o fecho de X.
Todo CLG tem a propriedade de leitura única, ou seja, só existe
uma forma de, aplicando funções de F, se “chegar” a elementos
do conjunto CLG.
f(a,b) != g(a,b) != f(g(a),f(a,b)) !=(...)
Exercícios
1. Dê uma definição indutiva para os conjuntos abaixo:
a)Conjunto das cadeias binárias de tamanho par.
b)Conjunto das cadeias binárias que têm a quantidade de 1’s
maior que a quantidade de 0’s e os 0’s aparecem antes dos 1’s;
2)
Usando conjuntos indutivos, construa o conjunto de todas
as cadeias binárias palíndromas e de tamanho ímpar:
a) Dê a base e as funções de geração desse conjunto:
b) O conjunto gerado em a) é livremente gerado?
c) Qual o menor conjunto indutivo ?
d) Qual o maior conjunto indutivo que satisfaz a propriedade dita na
questão?
Mini prova 3
Tabela Verdade, recursão e provas por indução em
conjuntos indutivos
Tabela Verdade
 O que vocês precisam saber ?
•
•
•
•
Satisfatível
Insatisfatível
Tautologia
Refutável
 Como começar?
• 2ⁿ número de linhas, onde n = número de variáveis
• Estabelecer todas as possibilidades
 Quais as vantagens x desvantagens?
• É simples (implementação + verificação)
• É custoso (o tempo de resposta para verificar é longo)
• É limitado (para fórmulas muito grandes, o método é exaustivo)
Exercício
 y = ((((A→∼B)→C)→((∼D→(∼B v A))→C)) v A) y é
Tautologia ?
Indução sobre FBF
• Por onde começar?
• Defina as funções recursivas que está sendo pedida;
• Faça isso para os três casos:
• Atômico
• Unário
• Binário
• Estabeleça as hipóteses de indução pros dois casos indutivos:
• Unário tem uma hipótese de indução
• Binário tem duas hipóteses de indução
• Prove por indução estrutural.
Exemplo
 1) Mostre, por indução, que, para toda fórmula Φ da
lógica proposicional, o numero de subexpressoes
de Φ é no máximo igual a duas vezes o numero de
operadores de Φ mais 1. (Obs.: Defina
recursivamente as funções necessárias para a
formalização do problema, e use indução para provar
o enunciado.)
Resolução
 1. Para provar algo por indução, precisamos primeiramente
definir as funções que estão sendo pedidas no problema. Elas
são: o número de subexpressões e o número operadores.
 Seja S(x) o número de subexpressões de x, e C(x) o número de
conectivos de x:.
 Para o caso atômico:
S(x) = 1
C(x) = 0
 Para o caso unário, onde x = ¬p (e p é uma fórmula qualquer)
S(¬p) = 1 + S(p)
C(¬p) = 1 + S(p)
Continuação
 Para o caso binário, onde x = p#q, onde p e q são
fórmulas quaisquer e # é um operador binário.
S(p#q) = 1 + S(p) + S(q) - |S(p)∩ S(q)|
C(p#q) = 1 + C(p) + C(q)
 Pronto, definimos as funções, qual o próximo passo ?
Precisamos Agora definir nossas hipóteses de indução
pro caso unário e binário:
H.I pro unário: S(p) <= 2.C(p) + 1
H.I 1 pro binário: S(p) <= 2.C(p) + 1
H.I 2 pro binário: S(q) <= 2.C(q) + 1
(...)
 Caso binário:
S(p#q) <= 2.C(p#q) + 1
Por definição:
1 + S(p) + S(q) - |S(p)∩ S(q)| <= 2. (1 + C(p) + C(q) ) + 1
S(p) + S(q) - |S(p)∩ S(q)| <= 2 + 2.C(p) + 2.C(q)
S(p) + S(q) - |S(p)∩ S(q)| <= 2.C(p) + 1 + 2.C(q) + 1
-Como, por hipótese S(p)<= 2.C(p) + 1 e S(q) <= 2.C(q) + 1, então:
S(p) + S(q) <= 2.C(p) + 1 + 2.C(q) + 1 também é verdade.
-Porém |S(p)∩ S(q)| é sempre positivo, então, podemos subtrair
algo positivo do termo menor, que ainda continuará sendo menor,
então:
S(p) + S(q) - |S(p)∩ S(q)| <= 2.C(p) + 1 + 2.C(q) + 1
 Está provado por H.I.
Continuação
 Agora, como último passo, iremos provas pros três casos:
 Caso atômico (base):
S(p) <= 2.C(p) +1
Sendo que S(p) = 1 e C(p) = 0, pro Atômico logo:
1 <= 2.0 +1 [provado pela definição]
 Caso Unário:
S(¬p) <= 2.C(¬p) +1
Por definição, temos:
1 + S(p) <= 2.( 1 + C(p) ) + 1
1+ S(p) <= 2 + 2.C(p) + 1
S(p) <= 2.C(p) + 1 + 1
Como, por hipótese temos que S(p) <= 2.C(p) + 1, então, se
adicionarmos +1 ao termo da direita, ainda continuará sendo
verdade.
 Então, provamos por H.I.
Exercício
 Mostre, por indução, que, para toda fórmula Φ da
lógica proposicional, o posto de Φ é no máximo igual
ao número de operadores de Φ. (Obs.: Defina
recursivamente as funções necessárias para a
formalização do problema, e use indução para provar
o enunciado.)
Teorema da Extensão Homomórfica
Única
f
g
A
h’(_)
B
X
h(_)
Mini Prova 4
Método dos Tableaux Analíticos, Resolução, Dedução
Natural e Cálculo de Sequentes
Consequência Lógica
 Dizemos que uma frase S é consequência lógica
de um conjunto de frases T, desde que todas as
atribuições de verdade que tornem as frases de T
simultâneamente verdadeiras, também tornem S
verdadeira.
 Vamos considerar o conjunto que tem como
membros todas as frases de T mais a frase S, ou seja
T  {S}.
 Dizemos que a frase S é consequência lógica do
conjunto T se e só se o conjunto T  {S} é um
conjunto logicamente falso, ou seja nunca pode ser
satisfeito.
 “Ou seja, pra S ser consequencia Lógica de T, tudo que satisfazer T
também tem que satisfazer S, então T  {S} será sempre falso,
pois falso e qualquer coisa é falso.”
Tableaux Analíticos
 Estratégia : Montar uma “Árvore de Possibilidades”,
onde cada caminho da raiz até uma folha caracteriza
um “Mundo Possível”
 E pra isso iremos utilizar algumas regras…
Tableaux Analíticos
 Regras:
Tableaux Analíticos - Exercício
 {C → D, ¬(B v D), A → (B v C)}╞ ¬A ?
Resolução
 O método da resolução é outra forma para
verificarmos se uma sentença é consequência lógica
de um conjunto de sentenças.
 Podemos definir um algoritmo pra utilizarmos esse
método...
Resolução
 Primeiro transforme as sentenças na forma:
(T1  T2 .... Tn  S)
 Depois transofme tudo isso na forma normal
conjuntiva (FNC). Substituindo os símbolos lógicos
“implica” e “se somente se”, e depois usando as leis
de De Morgan e a propriedade distribuitiva.
 P->Q = ¬P v Q
 ¬(A ^ B) = (¬A v ¬B) (...)
 Ao ter uma conjunção de cláusulas, basta
adicionarmos novas cláusulas que derivem da junção
de duas cláusulas antigas. Ex: (¬r v a) ^ (r v b), gerará
a v b. Faremos isso várias vezes, até esgotarmos as
possibilidades ou chegarmos a uma cláusula vazia,
teremos que todo o conjunto é vazio
Resolução
 Como é uma conjunção de cláusulas, se uma for vazia,
todas as outras serão, sendo então consequência
lógica.
 Se não conseguir, não será consequência lógica. Já
que não conseguimos refutar as cláusulas.
Resolução
 Vantagens: Não é necessário o uso de equivalências para
rearranjar p v q como q v p. Já que tudo é colocado na FNC
antes da aplicação do método, e para o método a posição
do átomo a ser eliminado é indiferente.
 Existe apenas uma regra de inferência para ser lembrada
 Fácil de ser mecanizado, porém em provas longas , é
possível “andar em círculos”
 Linguagem Prolog está baseada no princípio da resolução
aplicado a cláusulas de Horn, usando busca em
profundidade.
Resolução
 Cláusula de Horn: é uma disjunção que
contém no máximo um literal positivo,
sendo muito importante para a
computação, nos ramos de IA, Teoria
Lógica, Banco de Dados e Engenharia de
Software.
 Ex.: ¬q v ¬t v p v ¬s v ¬z
Resolução - Exercício
 {X v (Y ^ P), ¬(P ^ Q), ¬(X v Y) ^ (Q v S),¬X} |= S
Dedução Natural
 Estratégia: Utilizar uma árvore de dedução através
das regras de introdução e eliminação;
Introdução dos Operadores
Introdução do E (^):
 Introdução do OU (v)
 Introdução do Implica: Se supormos que A é verdade
e através de derivações chegarmos em B, temos
A→B;
 Introdução da Negação:
Se supormos que A é verdade e através de derivações
chegarmos em um absurdo, temos ¬A;
Eliminação dos Operadores
 Eliminação do E:
 Se temos que A^B é verdade, então A é verdade e B é
verdade;
 Eliminação do OU:
 Se temos que AvB é verdade, então um dos dois deve
ser verdade. Então supomos os dois como verdade e
dos dois, devemos obter o mesmo resultado;
Eliminação dos Operadores
 Eliminação do Implica: Se temos que A→B é verdade,
então se A for verdade, B também é. Então supomos
A como verdade (se já soubermos que A é verdade,
não precisa supor);
 Eliminação da Negação: Se temos ¬A como verdade,
então forçamos um absurdo para eliminar a negação;
Dedução Natural - Exercício
 Provar que:
 http://www.danielclemente.com/logica/dn.en.html
 Site com diversos exercícios de dedução Natural
Cálculo de Sequentes
 Estratégia: analisar as hipóteses (esquerda) e suas
proposições (direita) através de regras estruturais
presentes no símbolo de derivação:
Onde as hipóteses A são “negativas” e as proposições
B são “positivas”
Dualidade Importante:
Regras
Calculo de Sequentes - Exercício
 ⱶ A ˅ ¬A
 (A-> B), (C->D) ⱶ (A^C) -> (B^D