PowerPoint Presentation - Departamento de Física

Teoria de Bandas – 2
Elétrons Quase Livres
CF086 - Introdução a Física do Estado Sólido 1
Introdução
 O modelo de elétrons livres fornece alguns resultados interessantes,
mas existem pontos não explicados.
 Num sólido periódico, as funções de onda eletrônicas têm essa mesma
periodicidade.
 Como consequência, surgem bandas de energia, e pode haver
intervalos de energia separando estas bandas. São os gaps de energia.
 Os elétrons não podem ter energias nas regiões dos gaps.
2
Introdução
 Dependendo do valor dos gaps, e do preenchimento das bandas, o
material é isolante, semicondutor ou condutor.
 Se as bandas são totalmente preenchidas ou vazias, temos um
isolante.
 Se o preenchimento das bandas está entre algo como 10 % e 90 %,
temos um condutor.
 Fora destes limites, temos um semicondutor.
3
Introdução
 Por que há gaps? Considere um sólido periódico 1D, onde a 1ª ZB
𝜋 𝜋
fica na região [− , ].
𝑎 𝑎
 Vetores recíprocos nessa rede são dados por
𝐾=
2𝜋𝑛
𝑎
 Condição de Laue:
1
𝑘⋅𝐾 = 𝐾
2
4
Introdução
 Nesta rede 1D, na condição de difração, temos
𝜋𝑛
𝑘=
𝑎
 Logo, nos limites da 1ª ZB, onde
𝑘=±
𝜋
𝑎
 a condição de Laue é satisfeita. Sendo assim, elétrons que tenham
esse vetor de onda são refletidos de volta para dentro da 1ª ZB,
resultando em ondas estacionárias.
5
Introdução
 Estas ondas são da forma
𝜓+ ∝ 2 cos
𝜋𝑥
𝑎
,
𝜓− ∝ 2𝑖 sen
𝜋𝑥
𝑎
 As formas acima fazem com que os elétrons tenham probabilidades
diferentes para locais diferentes, resultando em energias potenciais
diferentes.
 Densidade de probabilidade:
𝜚 𝑥 = 𝜓∗𝜓 = 𝜓
2
6
Introdução
 Os caroços iônicos geram um potencial periódico, como na figura.
 Onda plana: dada por 𝑒 𝑖𝑘𝑥 . Densidade de probabilidade:
𝜚 𝑥 = 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘𝑥 = 1
 Não há acúmulo de carga em nenhum ponto.
7
Introdução
 Para a função de onda 𝜓 + , a densidade de probabilidade fica
𝜚+ 𝑥 = 𝜓+∗ 𝜓+ ∝ cos 2
𝜋𝑥
𝑎
 Ocorrem máximos em 𝑥 = 0, ±𝑎, ±2𝑎, … → locais dos íons positivos.
 Elétrons ficam localizados nos locais onde o potencial elétrico
positivo é alto, resultando numa energia potencial negativa e pequena.
8
Introdução
 Para a função de onda 𝜓 − , a densidade de probabilidade fica
𝜚− 𝑥 = 𝜓−∗ 𝜓− ∝ sen2
𝜋𝑥
𝑎
 Ocorrem mínimos em 𝑥 = 0, ±𝑎, ±2𝑎, … → locais dos íons positivos.
 Os máximos de probabilidade ocorrem entre os íons.
9
Introdução
 Elétrons ficam localizados nos locais onde o potencial elétrico
positivo é baixo ou nulo, resultando numa energia potencial maior que
nos dois casos anteriores.
10
Introdução
 Estas diferenças entre as energias potenciais geram diferenças nas
energias totais para as funções 𝜓± 𝑥 → gap de energia na borda da
ZB.
 Vamos investigar o problema em mais detalhes.
11
Elétrons de Bloch
 Os elétrons numa estrutura periódica ficam sujeitos a um potencial
periódico, de modo que
𝑈 𝑟+𝑅 =𝑈 𝑟
 𝑅: qualquer vetor da rede de Bravais.
 Hamiltoniana do sistema:
ℏ2 2
ℋ𝜓 = −
𝛻 + 𝑈 𝑟 𝜓 = ℰ𝜓
2𝑚
 onde 𝑈(𝑟) é o potencial periódico.
12
Elétrons de Bloch
 Elétrons descritos pela equação acima: elétrons de Bloch.
 Elétrons livres: caso particular de elétrons de Bloch quando 𝑈 𝑟 =
0.
 Soluções de Bloch 𝜓(𝑟): descrevem elétrons de Bloch e são
autofunções (autovetores) do operador ℋ com autovalor ℰ.
13
Teorema de Bloch
 Os autovetores 𝜓 da hamiltoniana apresentada acima, onde 𝑈 𝑟 é
periódica para qualquer vetor 𝑅 da rede de Bravais são dados por
𝜓𝑛𝑘 𝑟 = 𝑒 𝑖𝑘⋅𝑟 𝑢𝑛𝑘 (𝑟)
 onde 𝑒 𝑖𝑘⋅𝑟 → onda plana (elétron livre) e 𝑢𝑛𝑘 𝑟 segue
𝑢𝑛𝑘 𝑟 + 𝑅 = 𝑢𝑛𝑘 (𝑟)
14
Teorema de Bloch
 Outro modo de escrever o teorema (demonstrar equivalência):
𝜓𝑛𝑘 𝑟 + 𝑅 = 𝑒 𝑖𝑘⋅𝑅 𝜓𝑛𝑘 (𝑟)
 Demonstração 1: quadro.
 Condições de contorno: Born – von Karman. Nesse caso, supor 𝑁𝑖
células unitárias na direção definida por 𝑎𝑖 . Então,
𝜓 𝑟 + 𝑁𝑖 𝑎𝑖 = 𝜓 𝑟 ,
𝑖 = 1, … , 3
15
Elétrons de Bloch
 Há 𝑁 = 𝑁1 𝑁2 𝑁3 células primitivas no sólido. Das equações
anteriores, temos
𝜓𝑛𝑘 𝑟 = 𝑒 𝑖𝑁𝑖𝑘⋅𝑎𝑖 𝜓𝑛𝑘 (𝑟)
 Logo,
𝑒 𝑖𝑁𝑖𝑘⋅𝑎𝑖 = 1
 Mas,
𝑘 = 𝑥1 𝑏1 + 𝑥2 𝑏2 + 𝑥3 𝑏3
16
Elétrons de Bloch
 Com isso, os valores de 𝑘 são:
𝑘=
𝑚1
𝑚2
𝑚3
𝑏1 +
𝑏2 +
𝑏
𝑁1
𝑁2
𝑁3 3
 Cada possível 𝑘 ocupa um volume
𝑣𝑘 =
𝑏1 𝑏2 𝑏3
1
⋅
×
= 𝑏1 ⋅ 𝑏2 × 𝑏3
𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁
 Note que o volume da célula primitiva na rede recíproca vale
𝑉𝑘 = 𝑏1 ⋅ 𝑏2 × 𝑏3
17
Elétrons de Bloch
 Assim, o número de valores possíveis para 𝑘 numa célula primitiva
(1ª ZB) vale
𝑉𝑘
=𝑁
𝑣𝑘
 Note que 𝑁 é também o número de pontos de rede. 𝑁 ∼ 1023 .
 Relação com rede real (volume 𝑣 da célula primitiva):
1
1 2𝜋
𝑣𝑘 = 𝑏1 ⋅ 𝑏2 × 𝑏3 =
𝑁
𝑁 𝑣
3
2𝜋
=
𝑉
3
18
Elétrons de Bloch
 Densidade de estados:
𝒟 𝑘 =
𝑉
2𝜋
3
 Igual a elétrons livres.
19
Modelo de Kronig-Penney
 Exemplo de potencial periódico 1D: modelo de Kronig-Penney:
sucessão periódica de poços finitos.
 Região 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎: equação de Schrödinger
ℏ2 𝑑 2 𝜓
−
= ℰ𝜓
2𝑚 𝑑𝑥 2
20
Modelo de Kronig-Penney
 Definindo-se
𝑍=
2𝑚ℰ
,
𝑚
ℏ2 𝑍 2
ℰ=
2𝑚
 temos soluções
𝜓1 𝑥 = 𝐴𝑒 𝑖𝑍𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑍𝑥 ,
0≤𝑥≤𝑎
21
Modelo de Kronig-Penney
 Região −𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 0: equação de Schrödinger
ℏ2 𝑑 2 𝜓
−
+ 𝑈0 = ℰ𝜓
2𝑚 𝑑𝑥 2
 Definindo-se
𝑄=
2𝑚(𝑈0 − ℰ)
,
𝑚
ℏ2 𝑄2
𝑈0 − ℰ =
2𝑚
 temos soluções
𝜓2 𝑥 = 𝐶𝑒 𝑄𝑥 + 𝐷𝑒 −𝑄𝑥 ,
−𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 0
22
Modelo de Kronig-Penney
 As soluções devem seguir o teorema de Bloch, ou seja,
𝜓 𝑥+ 𝑎+𝑏
= 𝑒 𝑖𝑘
 Considerando as continuidades de 𝜓 e
𝐴+𝐵 =𝐶+𝐷 ,
𝑎+𝑏
𝑑𝜓
𝑑𝑥
𝜓(𝑥)
em 𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝑎, temos
𝑖𝑍 𝐴 − 𝐵 = 𝑄 𝐶 − 𝐷 ,
𝐴𝑒 𝑖𝑍𝑎 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑍𝑎 = 𝑒 𝑖𝑘
𝑎+𝑏
𝑖𝑍 𝐴𝑒 𝑖𝑍𝑎 − 𝐵𝑒 −𝑖𝑍𝑎 = 𝑄𝑒 𝑖𝑘
𝑥=0
𝐶𝑒 −𝑄𝑏 + 𝐷𝑒 𝑄𝑏
𝑎+𝑏
𝐶𝑒 −𝑄𝑏 − 𝐷𝑒 𝑄𝑏
23
Modelo de Kronig-Penney
 Resolvendo o sistema de equações, chega-se a
𝑄2 − 𝑍 2
senh 𝑄𝑏 sen 𝑍𝑎 + cosh 𝑄𝑏 cos 𝑍𝑎 = cos 𝑘 𝑎 + 𝑏
2𝑄𝑍
 Vamos definir
𝑄2 𝑎𝑏
𝑃=
2
 Considerando os limites 𝑏 → 0 e 𝑈0 → ∞, com 𝑃 fixo, temos uma
sucessão de funções delta como potencial.
24
Modelo de Kronig-Penney
 Nesse caso, a condição entre os parâmetros é
𝑃
sen 𝑍𝑎 + cos 𝑍𝑎 = cos 𝑘𝑎
𝑍𝑎
 Só há solução na faixa −1 ≤ cos 𝑘𝑎 ≤ 1.
•
•
Um dado 𝑃 fixa o valor de ℰ.
Se há solução para esse 𝑃,
temos o(s) valor(es) de 𝑘
correspondentes.
25
Modelo de Kronig-Penney
 Há valores de ℰ não acessíveis nas bordas das ZB → gaps.
𝑃
sen 𝑍𝑎 + cos 𝑍𝑎 = cos 𝑘𝑎
𝑍𝑎
26
Modelo de Kronig-Penney
 Comparação entre um poço finito e uma sucessão periódica de poços
27
Equação Central e T. de Bloch
 Vamos obter outra relação que permite provar o teorema de Bloch,
além de reescrever a equação de Schrödinger.
 Solução em série de Fourier:
𝑐𝑞 𝑒 𝑖𝑞⋅𝑟
𝜓 𝑟 =
𝑞
 𝑞: vetores permitidos pelas condições Born – von Karman.
 Na 1ª ZB, 𝑞 = 𝑘.
28
Equação Central e T. de Bloch
 Potencial é periódico. Em série,
𝑈𝐾 𝑒 𝑖𝐾⋅𝑟
𝑈 𝑟 =
𝐾
 onde
𝑈𝐾 =
1
𝑣
𝑈 𝑟 𝑒 −𝑖𝐾⋅𝑟 𝑑𝑣
celula
 Por hipótese, 𝑈0 = 0, além disso, como 𝑈 é real,
𝑈𝐾∗ = 𝑈−𝐾
29
Equação Central e T. de Bloch
 Se 𝑈(𝑟) tiver simetria de inversão, 𝑈𝐾 é real.
 Calculamos agora
𝑝2
ℏ2 2
𝜓=−
𝛻
2𝑚
2𝑚
e
𝑐𝑞 𝑒 𝑖𝑞⋅𝑟 =
𝑞
𝑞
𝑈𝐾 𝑐𝑞 𝑒 𝑖
𝑈𝜓 =
ℏ2 𝑞 2
𝑐𝑞 𝑒 𝑖𝑞⋅r
2𝑚
𝐾+𝑞 ⋅𝑟
𝐾,𝑞
30
Equação Central e T. de Bloch
 Definindo 𝑞′ = 𝐾 + 𝑞 e manipulando, chega-se a
𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾 𝑒 𝑖𝑞⋅𝑟
𝑈𝜓 =
𝐾,𝑞
 Substituindo na eq. de Schrödinger, obtém-se a equação central, dada
por
ℏ2 𝑞 2
− ℰ 𝑐𝑞 +
2𝑚
𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾 = 0
𝐾
31
Equação Central e T. de Bloch
 Na 1ª ZB, 𝑞 = 𝑘, e ficamos com
ℏ2 𝑘 2
− ℰ 𝑐𝑘 +
2𝑚
𝑈𝐾 𝑐𝑘−𝐾 = 0
𝐾
 Fora da 1ª ZB, introduzimos um 𝐾′ tal que obtemos
ℏ2
𝑘 − 𝐾′
2𝑚
2
− ℰ 𝑐𝑘−𝐾′ +
𝑈𝐾−𝐾′ 𝑐𝑘−𝐾 = 0
𝐾
 onde 𝑘 está na 1ª ZB.
32
Equação Central e T. de Bloch
 Para um dado 𝑘 na 1ª ZB, os coeficientes 𝑐𝑘−𝐾′ envolvem vetores 𝑞
que diferem de 𝑘 por um vetor da rede recíproca.
 Há 𝑁 valores de 𝑘 na 1ª ZB ⇒ 𝑁 problemas independentes.
 Soluções:
𝑐𝑘−𝐾 𝑒 𝑖
𝜓𝑘 𝑟 =
𝐾
𝑘−𝐾 ⋅𝑟
= 𝑒 𝑖𝑘⋅𝑟
𝑐𝑘−𝐾 𝑒 −𝑖𝐾⋅𝑟
𝐾
33
Bandas de Energia
 Com isso, a função 𝑢(𝑟) do teorema de Bloch fica
𝑐𝑘−𝐾 𝑒 −𝑖𝐾⋅𝑟
𝑢𝑘 𝑟 =
𝐾
 Obs.:
1.
2.
𝑘 não é dado por 𝑘 = 𝑝/ℏ para elétrons de Bloch pois 𝜓𝑘 (𝑟) não é
autoestado de 𝑝 (verificar) (𝜓𝑘 é de ℋ). ℏ𝑘 é o momento cristalino do
elétron de Bloch.
Para um dado 𝑘, há diversas soluções para ℰ, o que dá origem ao índice n
em 𝜓𝑛𝑘 (𝑟). Então, ℰ = ℰ𝑛 (𝑘).
34
Bandas de Energia
3.
Se 𝑘 não está restrito à 1ª ZB, então deve ocorrer
𝜓𝑛,𝑘+𝐾 = 𝜓𝑛𝑘 ,
4.
ℰ𝑛 𝑘 + 𝐾 = ℰ𝑛 𝑘
Os níveis de energia têm a periodicidade da rede, e formam as bandas do
sólido. ℰ𝑛 (𝑘) são funções periódicas e contínuas de 𝑘, de modo que têm
máximos e mínimos.
35
Bandas de Energia
5.
A velocidade média eletrônica num dado nível é dada por
𝑣𝑛 𝑘 =
6.
1
𝛻 ℰ (𝑘)
ℏ 𝑘 𝑛
Com isso, apesar da interação com a rede, os elétrons se movem sem
degradar sua velocidade média, que é alterada por impurezas, defeitos,
etc, não pela rede em si.
36
Bandas de Energia
 O preenchimento das bandas no estado fundamental de N elétrons de
Bloch é feito de forma similar ao caso de elétrons livres. Os índices 𝑛
e 𝑘 representam os elétrons.
 Por hipótese, consideramos 𝑘 na 1ª ZB, para evitar repetição. Há,
então, duas situações.
 Algumas bandas ficam totalmente vazias enquanto outras ficam
totalmente preenchidas. Nesse caso, a diferença de energia entre o
topo da mais alta banda preenchida e a base da banda vazia
imediatamente superior é o gap 𝐸𝑔 de energia.
37
Bandas de Energia
•
Se 𝐸𝑔 ≫ 𝑘𝐵 𝑇, temos um isolante. Se 𝐸𝑔 ∼ 𝑘𝐵 𝑇, temos um semicondutor intrínseco.
•
Como o número de níveis numa banda é igual ao
número de células primitivas, e como cada nível
acomoda dois elétrons, se o número de elétrons
na célula primitiva é par, então nesses casos
pode ocorrer um gap de energia.
38
Bandas de Energia
•
Se algumas bandas ficam parcialmente preenchidas, é
possível ter um metal ou semimetal. Nesse caso, a
energia do elétron mais energético (energia de Fermi)
fica no intervalo entre bandas ou intrabanda.
•
Há uma superfície de energia que separa os níveis preenchidos dos
vazios, que é a superfície de Fermi (análogo à esfera de Fermi para
elétrons livres), dada matematicamente por
ℰ𝑛 𝑘 = 𝐸𝐹
39
Bandas de Energia
•
Se existe uma superfície de Fermi, o sólido é metálico.
Cu (FCC)
W (BCC)
40
Bandas de Energia
•
•
Vamos agora investigar dois casos importantes.
Começamos com elétrons livres, onde 𝑈 = 0 e 𝑈𝐾 = 0. A equação central fica
0
ℰ𝑘−𝐾
′ − ℰ 𝑐𝑘−𝐾 ′ = 0
•
onde
0
ℰ𝑘−𝐾
′
•
ℏ2
=
𝑘 − 𝐾′
2𝑚
2
,
ℰ𝑞0
ℏ2 𝑞 2
=
2𝑚
ℰ 0 é a energia de um nível para elétron livre.
41
Bandas de Energia
•
Para cada 𝐾′, há duas opções:
1.
𝑐𝑘−𝐾′ = 0. Nesse caso, o termo associado a esse coeficiente não aparece em 𝜓𝑘 (𝑟).
2.
0
ℰ = ℰ𝑘−𝐾
′ . Esse caso ocorre apenas uma vez, a menos que alguns valores de 𝐾′
0
correspondam ao mesmo ℰ𝑘−𝐾
′ , ou seja, o nível é degenerado.
3.
As funções de onda ficam, nesse caso, ondas planas, dadas por
𝜓𝑘 𝑟 ∝ 𝑒 𝑖
𝑘−𝐾′ ⋅𝑟
42
Bandas de Energia
•
Outro caso importante: 𝑈𝐾 não é nulo, mas é muito pequeno, e os elétrons estão
sujeitos a um potencial fraco. Temos novamente dois casos.
•
No primeiro caso, para um dado 𝑘, considere um vetor recíproco 𝐾1 tal que a
0
0
energia ℰ𝑘−𝐾
para elétrons livres é bem diferente dos valores ℰ𝑘−𝐾
para outros
1
𝐾 quando comparado com os valores de 𝑈𝐾 (ou 𝑈, em geral), ou seja,
0
0
ℰ𝑘−𝐾
− ℰ𝑘−𝐾
≫𝑈 ,
1
∀𝐾 ≠ 𝐾1
43
Bandas de Energia
•
0
Queremos investigar o entorno do nível ℰ = ℰ𝑘−𝐾
com 𝑐𝑘−𝐾 = 0 pois 𝐾 ≠ 𝐾′.
1
A equação central fica
0
ℰ − ℰ𝑘−𝐾
1
𝑐𝑘−𝐾1 =
𝑈𝐾−𝐾1 𝑐𝑘−𝐾
𝐾
•
Temos, também, da equação central, com 𝐾 ′ ≠ 𝐾1 ,
0
ℰ − ℰ𝑘−𝐾
′ 𝑐𝑘−𝐾 ′ =
𝑈𝐾−𝐾′ 𝑐𝑘−𝐾 = 𝑈𝐾1−𝐾′ 𝑐𝑘−𝐾1 +
𝐾
𝑈𝐾−𝐾′ 𝑐𝑘−𝐾
𝐾≠𝐾1
44
Bandas de Energia
•
ou,
𝑐𝑘−𝐾′ =
•
0
ℰ − ℰ𝑘−𝐾
′
𝑈𝐾−𝐾′ 𝑐𝑘−𝐾
+
𝐾≠𝐾1
0
ℰ − ℰ𝑘−𝐾
′
𝑐𝑘−𝐾 ∼ 0 para 𝐾 ≠ 𝐾1 , logo 𝑐𝑘−𝐾′ ∼ 𝒪(𝑈), e então (quadro),
ℰ=
•
𝑈𝐾1−𝐾′ 𝑐𝑘−𝐾1
0
ℰ𝑘−𝐾
1
+
𝑈𝐾−𝐾1
0
ℰ𝑘−𝐾
1
𝐾
−
2
0
ℰ𝑘−𝐾
+ 𝒪(𝑈 3 )
A correção dos níveis não degenerados é de 2ª ordem em U.
45
Bandas de Energia
•
Considere agora um dado 𝑘 e 𝑚 vetores 𝐾1 , 𝐾2 , … , 𝐾𝑚 onde
0
0
ℰ𝑘−𝐾
− ℰ𝑘−𝐾
∼𝒪 𝑈
𝑖
•
e
𝑗
0
0
ℰ𝑘−𝐾
− ℰ𝑘−𝐾
≫𝑈 ,
𝑗
𝐾 ≠ 𝐾𝑗
Neste caso, desenvolvendo chega-se a (quadro)
0
ℰ − ℰ𝑘−𝐾
𝑐𝑘−𝐾𝑖 =
𝑖
𝑈𝐾𝑗 −𝐾𝑖 𝑐𝑘−𝐾𝑗 ,
𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑗
46
Bandas de Energia
•
Caso particular: dois níveis eletrônicos próximos entre si, com uma diferença ∼
𝒪(𝑈), mas muito longe de outros níveis.
47
Bandas de Energia
•
Neste caso, desenvolvendo chega-se a (quadro)
ℰ − ℰ𝑞0 𝑐𝑞 = 𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾
0
ℰ − ℰ𝑞−𝐾
𝑐𝑞−𝐾 = 𝑈−𝐾 𝑐𝑞 = 𝑈𝐾∗ 𝑐𝑞
•
0
Devemos ter ℰ𝑞0 ≈ ℰ𝑞−𝐾
, pois os níveis estão próximos entre si, e também
0
′
ℰ𝑞0 − ℰ𝑞−𝐾
′ ≫ 𝑈, para 𝐾 ≠ 0, 𝐾.
48
Bandas de Energia
•
0
Para ocorrer ℰ𝑞0 = ℰ𝑞−𝐾
, deve ocorrer
•
Portanto, 𝑞 deve terminar num plano de Bragg, que é um plano que bissecta 𝐾,
correspondendo ao limite da 1a ZB.
𝑞 = |𝑞 − 𝐾|
49
Bandas de Energia
•
Quando dois níveis eletrônicos estão próximos entre si, isso ocorre perto da
fronteira da ZB.
•
Estes níveis são os mais afetados pelo potencial fraco.
•
Apenas na fronteira da ZB a diferença entre elétrons livres e elétrons de Bloch
tornam-se relevantes.
•
Apenas na fronteira da ZB o potencial realmente importa.
50
Bandas de Energia
•
•
Para obter ℰ, devemos resolver
ℰ − ℰ𝑞0
−𝑈𝐾
−𝑈𝐾∗
0
ℰ − ℰ𝑞−𝐾
=0
Então (quadro),
ℰ=
0
ℰ𝑞0 + ℰ𝑞−𝐾
2
1
±
2
ℰ𝑞0
0
− ℰ𝑞−𝐾
2
+ 4 𝑈𝐾
2
51
Bandas de Energia
•
Exatamente na 1ª ZB (|𝑞 = |𝑞 − 𝐾), temos
ℰ𝑞 = ℰ𝑞0 ± |𝑈𝐾 |
•
No plano de Bragg, a diferença entre níveis vale 2 𝑈𝐾 .
•
Em 1D, introduzimos a variável
𝐾=𝑞−
•
𝐾
2
que mede o afastamento do plano
52
Bandas de Energia
•
Com isso, desenvolvendo chega-se a (quadro)
0
0
ℰ+ = ℰ𝐾/2
+ 𝑈𝐾
2ℰ𝐾/2
ℏ2 𝐾 2
+
1+
2𝑚
𝑈𝐾
0
ℰ− = ℰ𝐾/2
− 𝑈𝐾
2ℰ𝐾/2
ℏ2 𝐾 2
+
1−
2𝑚
𝑈𝐾
0
53
Bandas de Energia
• Representação (1D):
A. Desenha-se um nível de elétron livre
B.
Outro nível de elétron livre é colocado em 𝐾
C.
Separa-se a degenerescência em
𝐾
2
54
Bandas de Energia
D.
Representação da distorção no nível de elétron livre.
E.
Efeito das outras ZBs no nível de elétron livre. Note o
surgimento dos outros gaps associados aos outros vetores
da rede recíproca. Esse modo de apresentar chama-se
esquema de zona estendida.
55
Bandas de Energia
F.
Níveis apresentados no esquema de zona reduzida, onde
os vetores 𝑘 possíveis são apresentados apenas na 1ª ZB,
após uma translação apropriada.
G.
Níveis apresentados no esquema de zona repetida,
explicitando a periodicidade dos níveis.
56
Bandas de Energia
•
Comparação entre o esquema de zona estendida e bandas.
57
Bandas de Energia
•
Note que, se 𝑈𝐾 = 0 para um dado K, não há descontinuidade nas bandas em
𝐾
𝑘 = 2 , e não aparece um gap na fronteira dessa ZB.
•
Quando elétrons em bandas de energias ficam sujeitos a campos externos, é
interessante introduzir a ideia de massa efetiva 𝑚∗ ou 𝑚𝑒𝑓 , que é
particularmente importante no estudo de semicondutores.
•
Considere inicialmente a velocidade de grupo do elétron, dada por
𝑑𝜔
𝑣𝑔 =
𝑑𝑘
58
Massa Efetiva
•
Podemos associar uma energia ℰ à frequência 𝜔, mediante ℰ = ℏ𝜔. Então,
𝑣𝑔 =
•
Generalizando:
𝑣𝑔 =
•
1 𝑑ℰ
ℏ 𝑑𝑘
1
𝛻 ℰ(𝑘)
ℏ 𝑘
Ao aplicar um campo elétrico sobre um elétron, durante um tempo 𝑑𝑡,
executando um deslocamento 𝑑ℓ, realiza-se um trabalho
𝑑𝑊 = −𝑒𝐸𝑑ℓ = −𝑒𝐸𝑣𝑔 𝑑𝑡
59
Massa Efetiva
•
Podemos escrever, também,
𝑑ℰ =
𝑑ℰ
𝑑𝑘 = ℏ𝑣𝑔 𝑑𝑘
𝑑𝑘
•
O trabalho transferido ao elétron varia sua energia pelo mesmo valor, de onde
sai
𝑑𝑘
𝑒𝐸
=−
𝑑𝑡
ℏ
•
E, então,
ℏ
𝑑𝑘
=𝐹
𝑑𝑡
60
Massa Efetiva
•
Se houver um campo magnético ℬ agindo sobre o elétron, obtemos
ℏ
•
𝑑𝑘
= −𝑒𝑣 × ℬ
𝑑𝑡
ou
𝑑𝑘
𝑒
= − 2 𝛻𝑘 ℰ × ℬ
𝑑𝑡
ℏ
•
Com isso, no espaço recíproco, 𝑘 varia de forma que é perpendicular tanto a ℬ
como a 𝛻𝑘 ℰ.
61
Massa Efetiva
•
O elétron se move numa superfície isoenergética (ℰ = 𝑐 𝑡𝑒 ).
•
A projeção de 𝑘 sobre ℬ, ou seja, 𝑘ℬ , é constante de movimento.
•
A órbita do elétron fica na intersecção entre a superfície de energia constante e
o plano perpendicular a ℬ, caracterizado por 𝑘ℬ .
62
Massa Efetiva
•
Para elétrons livres, a energia é dada por
ℏ2 𝑘 2
ℰ=
2𝑚
•
onde 𝑚 é a massa usual (de repouso) do elétron.
•
Se há um campo elétrico externo aplicado, temos
𝑑𝑣 1 𝑑 𝑑ℰ
=
𝑑𝑡 ℏ 𝑑𝑡 𝑑𝑘
63
Massa Efetiva
•
Podemos escrever (quadro)
𝑑𝑣
1 𝑑2ℰ
=
𝐹
𝑑𝑡 ℏ2 𝑑𝑘 2
•
ou
𝐹 = ℏ2
•
𝑑2ℰ
𝑑𝑘 2
−1
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Comparando com 2a lei de Newton, temos a massa efetiva
𝑚∗ = 𝑚𝑒𝑓 = ℏ2
𝑑2ℰ
𝑑𝑘 2
−1
64
Massa Efetiva
•
Outra forma de escrever
1
1 𝑑2ℰ
=
𝑚∗ ℏ2 𝑑𝑘 2
•
Para superfícies de energia anisotrópicas (Ge ou Si, p. ex.), temos um tensor
massa efetiva, dado por
1
𝑚∗
𝜇,𝜈
1 𝑑 2 ℰ𝑘
= 2
ℏ 𝑑𝑘𝜇 𝑑𝑘𝜈
𝑑𝑣𝜇
=
𝑑𝑡
𝜈
1
𝑚∗
𝐹𝜈
𝜇,𝜈
65
Massa Efetiva
•
•
Note que
energia.
𝑑2 ℰ
𝑑𝑘 2
Na região do centro da 1ª ZB, 𝑘 ≃ 0, e a energia é
dada por ℰ =
𝑚.
•
estabelece a concavidade da curva ℰ(𝑘), ou seja, da banda de
ℏ2 𝑘 2
2𝑚
(elétrons livres). Então, 𝑚∗ =
Nessa região, ao aplicar um campo elétrico, o
elétron se comporta como um elétron livre sujeito
ao campo.
66
Massa Efetiva
•
Afastando-se do centro da 1ª ZB e indo em direção à borda da zona, a
concavidade muda.
𝑑2 ℰ
𝑑𝑘 2
= 0. Nesse ponto, 𝑚∗ →
•
Em algum ponto há um ponto de inflexão, onde
∞, e o elétron não responde ao campo elétrico.
•
Passando desse ponto, em direção à borda da ZB, a curvatura é negativa, e o
elétron acelera em sentido oposto ao do campo.
•
Ao passar para a próxima ZB, a concavidade muda novamente, e a resposta
volta a ser “normal”, mas 𝑚∗ pode ser bem diferente da massa do elétron.
67
Massa Efetiva
•
Qual a razão para esses comportamentos? Há relação com a condição de
𝜋
difração de Bragg ( 𝑘 = 𝑎 ).
•
Em 𝑘 ≃ 0 (centro da ZB), estamos longe da condição de difração, e não há
participação do cristal. O elétron adquire energia ao ser acelerado, e também
momento.
𝜋 −
,
𝑎
•
Quando 𝑘 →
aumentar sua energia faz com que o momento fique ainda
mais perto da condição de difração, dando origem a uma reflexão e a uma troca
de sentido no momento do elétron (compensada em parte pela rede).
•
A compensação é exata no ponto de inflexão.
68
Massa Efetiva
•
𝑑2 ℰ
𝑑𝑘 2
1
Outra questão: se
é grande, então 𝑚∗ é grande, e ℰ(𝑘) cresce rapidamente
com 𝑘 ⇒ número de estados 𝑘 num intervalo 𝑑ℰ é pequeno ⇒ 𝒟(ℰ) é pequena.
D(E)<
E
E
*
m<
D(E)>
*
m>
dE
 k<
k
 k>
k
69
Massa Efetiva
•
Como estimar 𝑚∗ ? Usando ressonância cíclotron.
•
Submete-se a amostra a um campo magnético ℬ estático e intenso perpendicular
ao plano da amostra.
•
Os elétrons executam órbitas helicoidais em torno das linhas de campo. No
plano perpendicular a ℬ, elas descrevem circunferências.
•
A frequência angular de giro é dada por
•
𝜔𝑐 é a frequência cíclotron.
𝜔𝑐 =
𝑞
ℬ
𝑀
70
Massa Efetiva
•
•
•
Aplica-se um campo elétrico oscilante com frequência 𝜔𝐸 paralelo ao plano da
amostra.
Quando 𝜔𝐸 = 𝜔𝑐 , ocorre ressonância, e
energia é absorvida pelos elétrons do material.
Com isso, acham-se as massas efetivas dos
elétrons, mediante
𝑚∗ =
𝑒
ℬ
𝜔𝐸
71
Massa Efetiva
•
Variando-se 𝜔𝐸 ou ℬ, faz-se uma varredura e, cada vez que alguma frequência
𝜔𝑐 é atingida, há um pico de absorção.
72
Massa Efetiva
•
A partir das frequências de ressonância,
acham-se as respectivas massas efetivas 𝑚∗ .
•
Para ocorrer ressonância, o tempo médio entre
colisões deve ser da ordem ou maior que o
período cíclotron.
Para diminuir a frequência de colisões,
diminui-se a temperatura.
•
Ge - 4 K
73
Bandas de Energia
•
Voltando à questão das bandas de energia, note que, se 𝑈𝐾 = 0 para um dado K,
𝐾
não há descontinuidade nas bandas em 𝑘 = 2 , e não aparece um gap na
fronteira dessa ZB.
•
Nosso próximo passo é investigar algumas propriedades de materiais
semicondutores, em particular propriedades ópticas e os gaps de energia.
74