Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas

Evidência e Credibilidade:
Teste Bayesiano de significância para Hipóteses
precisas
Evidência e Credibilidade:
Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas
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Objetivo
Definições
Cálculo do teste
Exemplo
Comentários
Bibliografia
Objetivo
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Apresentar uma medida de evidência bayesiana (bayesiana porque
trabalha com priores e posteriores) para hipótese nula precisa.
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A intenção é dar uma alternativa bayesiana para testes de
significância.
Definições
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Hipóteses precisas:
Temos uma hipótese precisa quando Ho (que chamamos de
hipótes nula) apresenta um valor fixo.
Exemplo: Ho :  = 0.3 vs H1:   0.3 ,
(onde  representa a média de uma população)
P-valor:
medida de evidência dos dados ,dado que a hipótese nula é
verdadeira
Probabilidade posteriori:
probabilidade condicional de  (parâmetro da distribuição)
depois que observamos os dados .
Definições
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Fator de Bayes:
O fator de Bayes consiste na divisão entre a razão das
densidades posteriores de 0 e 1 pela razão das priores 0
e 1 .Essa medida é usada em favor da hipótese nula, como
veremos abaixo:
B= (0/x)/(1/x)
0 / 1
Definições
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Confiabilidade de um conjunto:
Seja C um subconjunto de  tal que,
C=    : (/x)  K(),onde K() é
a maior constante tal que, P(C/x)  1- 
P(C/x)= c (/x)d ,caso contínuo e
=  (/x) , caso discreto
C
P(C/x) é a medida de confiabilidade do conjunto C.
Definições
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Medida de evidência bayesiana - Ev (H)
É uma medida de evidência dos dados a favor da hipótese nula,
ou seja, quanto podemos acreditar que a hipótese nula proposta
pelo teste é verdadeira.
Ev (H)=1 – K*
Cálculo de Ev (H)
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Definimos o teste de hipótese:
Ho :  = 0 vs H1:   0 , 0    Rn,
 - representa a média de uma população X
 - espaço paramétrico
Observamos uma amostra aleátoria de tamanho n da
população X = (x1 , x2 ,...... , xn )
Consideramos  como uma variável aleatória e definimos uma
priori para  que chamamos de 0
Cálculo de Ev (H)
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Depois de observar os dados calculamos a função densidade
posteriori , (/x).Discutiremos nesse trabalho testes de
hipótese precisa sob absoluta continuidade do modelo de
probabilidade posteriore.
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Definimos um conjunto T como sendo um subconjunto do
espaço paramétrico,cuja a densidade posteriori é maior que 
.
Cálculo de Ev (H)
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Calculamos a confiabilidade de T :
K*= T (/x),
(integramos em todo  cuja posteriore é maior que )
Calculamos f* (f*=f(*) ) que é o máximo da densidade
posteriore sob a hipótese nula, ou seja, encontramos o *
que maximiza a posteriore de , o valor f* será o  definido
anteriormente.
Cálculo de Ev (H)
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Temos então o nosso T como o conjunto tangente à
hipótese nula,cuja confiabilidade é K*, ou seja , temos o
conjunto dos ’s, cuja posteriore é maior que f*=  .
Calculamos Ev (H)=1- K* e podemos concluir que : se temos
T com alta probabilidade, significa uma baixa probabilidade
para a região da hipótese nula.
Cálculo computacional de Ev (H)
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Calculamos a medida de evidência em dois passos:
1. Calculamos * que maximiza a posteriori sob a hipótese
nula .
2. Calculamos K*=  (/x) , onde (/x) é igual a zero para
todo , cuja (/x)  f(*) ou .
Exemplo
Mostraremos um teste de proporção:
Seja uma variável aleatória X com distribuição binomial (20,) , seja
“S” o número de sucessos observados.
O espaço paramétrico será  = 0    1
Usaremos como priori Pr =p=0.5 e a densidade Uniforme para
sob a hipótese alternativa.
Teste : H0:  = 0.5 vs H1:   0.5
Avaliaremos a medida de evidência apresentada no trabalho, o fator
de Bayes, p-valor e PP(probabilidade posteriori de H0)
Tabela de resultados:
Exemplo
Comentários
•A Medida de evidência em relação a Hipótese nula Ev(H) traz
grandes vantagens por ter ser cálculo baseado nos dados da
amostra, ou seja, dados observados, porém devemos levar em
consideração a definição da priori dos parâmetros que deve ser
adequada.
•O p-valor tem a restrição de supor que a hipótese nula é
verdadeira e não temos garantias para esta suposição.
Comentários
•O valor da probailidade posteriori está diretamente ligada a
priori definida para o parâmetro, tendo como vantagem ser uma
medida calculada depois de observar os dados.
•O fator de Bayes quando definimos uma priori igual a 1 pode ser
considerada como uma razão de verossimilhanças que é bem aceito
pela teoria frequentista,caso contrário precisamos definir prioris
adequadas.
Bibliografia
•James O. Berger: Statistical Decision Theory and Bayesian
Analysis.
•Carlos alberto de Bragança Pereira and Julio Michael Ster:
Evidence and Credibility-Full Bayesian Significance Test for
Precise.
•José M Bernardo and Raúl Rueda: Hypotheses Bayesian
Hypothesis
testing.