Aula 14 - Moodle@FCT

Física I
2009/2010
Aulas 14
Rotação I
Sumário
•
•
•
•
•
As variáveis do movimento de rotação
As variáveis da rotação são vectores?
Rotação com aceleração angular constante
A relação entre as variáveis lineares e angulares
A energia cinética de rotação
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Corpo Rígido
Um corpo rígido é um corpo indeformável
As distâncias relativas entre as posições das
partículas de que é composto um corpo
permanecem constantes
Todos os corpos são, na realidade, deformáveis,
mas o modelo do corpo rígido é muito útil em
situações em que a deformação é desprezável
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Corpo rígido
Um sólido é constituído por um número muito grande de partículas, átomos ou
moléculas. O sólido surge-nos como rígido porque as partículas que o
constituem exercem umas nas outras forças atractivas de intensidade tão
elevada que as distâncias entre as partículas se mantêm constantes.
Podemos imaginar um modelo de corpo rígido (em duas dimensões) como o da
Figura.
Supomos as partículas constituintes do
sólido como pequenas esferas ligadas por
varas rígidas.
Para movermos o sólido, aplicamos um
força, , numa das partículas à superfície do
sólido, por exemplo a partícula A.
Para que o sólido se mova essa força tem de
ser transmitida às restantes partículas.
Mas devido ao facto de as varas imaginária que ligam a partícula A às partículas
suas vizinhas serem rígidas, isto é, não se deformarem, a força não se pode
transmitir (se a força for demasiado intensa, pode, no limite, partir as varas).
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4
Corpo rígido
Num modelo mais realista, as varas rígidas que ligam as partículas de um sólido
são substituídas por pequenas molas em hélice.
Neste modelo, se uma partícula é actuada
por uma força exterior, as ligações às
partículas vizinhas deformam-se, de modo
que a força é transmitida a todo o corpo
Em conclusão: apesar de aos nossos olhos, um sólido parecer completamente
rígido, na realidade, a nível macroscópico, qualquer sólido pode sofrer deformações.
Esta possibilidade permite a transmissão à totalidade do sólido das forças exteriores
exercidas nas suas superfícies.
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Corpo rígido
Vamos agora supor que um corpo rígido possui pelo menos um ponto fixo.
Um exemplo é o de uma porta, que possui um conjunto de pontos fixos, que são os que se
encontram ao longo do eixo da dobradiça.
Como consequência da existência de um ponto fixo, o corpo não pode ter movimentos
de translação pura, porque é impossível que todos os pontos do corpo possuam o
mesmo deslocamento num determinado intervalo de tempo – o ponto fixo não pode
deslocar-se.
No entanto, um corpo rígido com um ponto fixo não tem que estar sempre em repouso.
O corpo pode rodar em torno de do ponto fixo ou, mais concretamente, em torno de um
eixo passando pelo ponto fixo. Ao movimento de um corpo em torno de um eixo
chamamos movimento de rotação.
Se o movimento de rotação é em torno de um eixo fixo, todos os pontos desse eixo
encontram-se em repouso.
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Variáveis angulares - Posição Angular
O eixo de rotação é o
centro do disco
Escolhe-se uma linha de
referência fixa,
passando pela origem O
Linha de
referência
O ponto P está à
distância constante, r, da
origem
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Variáveis angulares - Posição Angular
Quando o disco roda em torno do eixo que passa por O, o
ponto P descreve uma trajectória circular de raio r ,
centrada em O.
Todas as partículas que constituem o disco efectuam
movimento circular em torno da origem O.
As coordenadas mais convenientes para representar a
posição de P, ou de qualquer outro ponto, são as
coordenadas polares.
A posição de P é descrita pelas coordenadas (r, q) em que r
é a distância da origem a P e q é o ângulo medido, no
sentido contrário aos ponteiros do relógio, a partir da linha
de referência
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Variáveis angulares - Posição Angular
Quando a partícula se move, a
única coordenada que varia é q
Ao movimento angular da
partícula dado por q,
corresponde um arco de
comprimento s.
Linha de
referência
A relação entre s e r é:
s=qr
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Radiano
Esta expressão pode ser posta na forma
q não tem dimensões mas exprime-se, em geral,
numa unidade artificial, o radiano
Um radiano é o ângulo subtendido por um arco
de comprimento igual ao raio
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Conversão de Unidades
Se compararmos graus com radianos
1 rad =
= 57.3°
A conversão de graus para radianos é
θ [radiano] =
[grau]
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Variáveis angulares - Posição Angular
Podemos associar o ângulo q a uma determinada
partícula do corpo e ao corpo rígido como um todo
Todas as partículas do corpo rodam do mesmo ângulo
A posição angular do corpo rígido é o ângulo q
entre a linha de referência no corpo e a linha de
referência fixa no espaço
Em geral a linha de referência fixa é o eixo dos x
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Variáveis angulares - Deslocamento Angular
O deslocamento angular é o
ângulo de que o corpo roda
num dado intervalo de tempo
q  q f  q i
Este é o ângulo varrido pela
linha de referência de
comprimento r
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Variáveis angulares - Velocidade angular média
A velocidade angular média, med , de um corpo
rígido em rotação é a razão entre o deslocamento
angular e o intervalo de tempo em que ele ocorre
med
q f  qi
q


t f  ti
t
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Variáveis angulares - Velocidade angular Instantânea
A velocidade angular instantânea é o limite da
velocidade angular média, quando o intervalo de
tempo tende para zero

lim
t 0
q dq

t
dt
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Variáveis angulares - Velocidade angular
A unidade SI de velocidade angular é rad/s
A velocidade angular é positiva se θ está a
aumentar (sentido directo)
A velocidade angular é negativa se θ está a
diminuir (sentido retrógrado)
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Eixo de rotação
Linha de referência
Deslocamento e Velocidade Angulares
Zero da posição
angular
 positivo
 nulo
 negativo
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Variáveis angulares - Aceleração Angular Média
A aceleração angular média,  ,
de um corpo é a razão da variação da velocidade
angular em relação ao intervalo de tempo em que
ocorre:
 med
 f  i



t f  ti
t
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Aceleração Angular Instantânea
A aceleração angular instantânea é definida como
o limite, quando o tempo tende para zero, da
aceleração angular média.

lim
t 0
 d

t
dt
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Aceleração Angular
A unidade SI da aceleração angular é rad/s²
A aceleração angular é positiva se o módulo da
velocidade angular de um corpo que roda no
sentido directo está a aumentar
A aceleração angular também é positiva se o
módulo da velocidade angular de um corpo que
roda no sentido retrógrado está a diminuir
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Movimento de Rotação, Resumo
Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo
fixo num determinado intervalo de tempo, cada
partícula do corpo roda do mesmo ângulo num
determinado intervalo de tempo e possui a mesma
velocidade angular e a mesma aceleração angular
Assim q, ,  caracterizam o movimento (de rotação) do
corpo rígido como um todo, assim como o movimento de
cada partícula do corpo
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Deslocamento angular como vector
Uma rotação finita não é, em geral
um vector
Na realidade, a adição de rotações
de um ângulo finito não é
comutativa, em geral
Verifica-se
q1  q2  q2  q1
a menos que o eixo de rotação seja
o mesmo
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Deslocamento angular como vector
Mas uma rotação infinitesimal é um vector
dq
O módulo é o ângulo dq
A direcção é a do eixo de rotação e o sentido pode
ser dado pela regra da mão direita
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O Vector Velocidade Angular Instantânea
A velocidade angular
instantânea é

dq

dt
A direcção é a do eixo de
rotação e o sentido pode
ser dado pela regra da mão
direita
(como para dq )

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O Vector Aceleração Angular Instantânea
A aceleração angular
instantânea é

d  d 2q


dt
dt 2
A direcção é a do eixo de
rotação e o sentido pode
ser dado pela regra da mão
direita
(como para d  )

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Direcção e Sentido

Na realidade, utilizámos atrás
grandezas escalares para
caracterizar a velocidade e a
aceleração angulares (, )
porque a rotação era em
torno de um eixo fixo

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Resolução de Problemas
As técnicas são análogas às da resolução dos
problemas de translação unidimensional
Se a aceleração angular é constante, as técnicas são
análogas às do movimento unidimensional com
aceleração constante
Existem diferenças que devem ser tidas em conta
No movimento de rotação temos de definir um eixo de
rotação
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Cinemática Rotacional
Se a aceleração angular for constante, podemos
descrever o movimento do corpo rígido utilizando
um conjunto de equações cinemáticas
Estas equações são análogas às equações
cinemáticas para o movimento rectilíneo
As equações para o movimento de rotação
possuem a mesma forma das equações do
movimento rectilíneo
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Equações da Cinemática Rotacional
1 2
q f  q i  i t   t
2
 f  i  t
 2f  i2  2 q f  qi )
1
q f  q i   i   f ) t
2
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Comparação entre as Equações da Cinemática Rotacional e da Cinemática Linear
Equações da Cinemática Rotacional e Rectlínea do Movimento
com aceleração constante
Movimento de Rotação
em torno de um eixo fixo
Movimento Rectlíneo
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A Relação entre Grandezas Angulares e Lineares
(eixo de rotação fixo)
Deslocamentos
s qr
Velocidades
Todos os pontos do
corpo em rotação
possuem o mesmo
movimento angular
v  r
Acelerações
a  r
Mas o movimento
rectilíneo é diferente de
ponto para ponto
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Velocidades
A velocidade linear é
sempre tangente à
trajectória circular
Denominada velocidade
tangencial
v
ds
dq
v
r
 r
dt
dt
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Acelerações
A aceleração tangencial
(componente tangencial da
aceleração) é a derivada
componente tangencial
(que é a única) da
velocidade linear
at 
a
dv
d
r
 r
dt
dt
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Comparação entre Grandezas
Todos os pontos de um corpo rígido possuem a
mesma velocidade angular mas não a mesma
velocidade linear
Todos os pontos de um corpo rígido possuem a
mesma aceleração angular mas não a mesma
componente tangencial da aceleração
Porque o valor das grandezas lineares depende de
r, e r não tem o mesmo valor para todos os pontos
do corpo
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Aceleração Centrípeta
Todos os pontos de um corpo rígido em rotação
possuem aceleração com uma componente
centrípeta
2
v
2
aC 
 r
r
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Aceleração Resultante
A componente tangencial da aceleração resulta
da variação do módulo da velocidade
A componente centrípeta da aceleração resulta
da variação da direcção
O módulo da aceleração é obtido a partir destas
componentes
a  at2  ar2  r 2 2  r 2 4  r  2   4
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Energia Cinética Rotacional
Um corpo que roda em torno de um eixo com
velocidade angular, ω, possui energia cinética
rotacional, mesmo que não possua energia cinética
de translação
Cada partícula possui a energia cinética
Ec= ½ mivi2
Como vi depende da distância, r, ao eixo de
rotação, podemos efectuar a substituição vi =  ri
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Energia Cinética Rotacional
A energia cinética rotacional do corpo rígido é a soma
dos valores da energia cinética de todas as partículas
do corpo
EC R
1
  EC i   mi ri 2 2
i
i 2
EC R
1
1 2
2 2
   mi ri   I 
2 i
2

I é denominado momento de inércia do corpo
Quando se refere o momento de inércia de um corpo, é
necessário indicar o eixo em relação ao qual é calculado
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Energia Cinética Rotacional
Há uma analogia entre a expressão da energia
cinética associada ao movimento linear (EC = ½ mv 2)
e a energia cinética associada ao movimento
rotacional (ECR= ½ I2)
A energia cinética rotacional não é um novo tipo de
energia, a expressão é diferente porque está escrita
em termos de grandezas rotacionais
A energia cinética rotacional exprime-se, obviamente,
em joule (J)
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Momento de Inércia
O momento de inércia em relação a um eixo define-se
como
I   ri 2mi
i
ri é a distância do elemento de massa mi ao eixo em relação
ao qual o momento de inércia é calculado
As dimensões são [M][L]2 e a unidade SI é kg.m2
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