Slide 1

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DO ESPAÇO-TEMPO
Relembrando: a interação + importante em grandes escalas
GRAVITACIONAL
teoria da gravitação + geral = teoria da relatividade geral
(TRG) Einstein 1915
referenciais não-inerciais = acelerados...
Discussão:
• Conceitos básicos da TRG e também da teoria da relatividade especial
(TRE)
referenciais inerciais
• conexão entre matéria e geometria espaço-tempo (E-T)
Fundamentos da comologia relativística...
O ESPAÇO-TEMPO (E-T)
Conceito importante: relatividade do tempo e espaço
Intervalos de tempo e espaço
NÃO são os mesmos para todos
Os observadores
Newton  os intervalos de tempo e de espaço que separam dois eventos
quaisquer são absolutos (são os mesmos para todos os obs.)
tempo e distância são independentes
Relatividade  troca dois dois invariantes : intervalo de tempo + de
espaço por dois novos invariantes
1. c= 3x105 km/s  velocidade da luz no vácuo é a mesma,
independente do movimento do observador
Experimento de Michelson e Morley (1887)
c é o limite de velocidade para todas as partículas que se
movem a altas energias
O mais importante é : mesmo para uma partícula que se move
Com v=0.999c  c=3x105 km/s
2. O intervalo de E-T é um invariante !!
Independente do movimento relativo dos observadores os
Intervalos de espaço-tempo entre eventos são os mesmos
Somente o intervalo de E-T
é absoluto
d(E-T)2=dtempo2-despaço2
se [t]=anos , [s]= anos-luz
podemos usar unidades de tempo para medir a
distância já que a velocidade da luz é universal!!
Minkowski (1908)
Diagramas de espaço e tempo representantes
de uma realidade física 4D
Elementos:
(acontecimento transitório)
• 1 ponto no E-T: EVENTO
• 1 linha no E-T: linha de mundo
(um obs.  descreve uma linha no E-T
do passado para o futuro)
•linhas de geodésicas nulas (d(E-T)2=0) : cones de luz
trajetória descrita pela luz
Se o t fosse absoluto (indep. das coordenadas)
descreveria a linha de mundo de
um observador
posição conhecida sabendo-se s(t)
Mas na TR ... outro parâmetro que cresça uniformemente do
passado para o futuro e indep. do sistema de coordenadas
tempo próprio

“Relógio” que viaja com o observador
Conhecendo (E-T)( )(=0,1,2 e 3) determina-se trajetória no E-T
Relatividade especial
1. c é constante
2. As leis físicas são idênticas em todos os referenciais
inerciais
+ geral do que a relatividade de Galileu
Seja um observador em repouso em relação a um ref. R
e em MRU em relação a R’
x’ = posição marcada no ref. R’
x = posição marcada no ref. R
Se R’ se desloca com velocidade constante  em rel a R
x’ = x –  t
V’=V-
Relatividade impõe
Transformadas de Lorentz (antes de Einstein formular a TRE )
 
1
1

2
c
2
1

1
 2V
c2
Portanto:
x   ( x  t )
,
V   (V   )
,
x 
,
x  t
1
V 
,

2
c2
V 
1
2
c
2
Métrica de Minkowski
d(E-T)2=c2dt2-ds2
Separação entre dois eventos:
d(E-T)2
ds2=dx2+dy2+dz2
Se t=constante  ~ métrica euclidiana
Métrica pseudo-euclidiana...
2
ds
Definição: d d(E-T)/c  dt 2 
c2
Intervalo de tempo próprio entre dois eventos ao longo
de uma linha de mundo de uma partícula
Se um ref. inercial é definido tal que a pertícula esteja em
repouso ds=0
d = dt
Tempo próprio é igual ao tempo
coordenada medido num referencial
que está em repouso em relação à
partícula
Partícula com V constante em relação a um referencial:
2
ds
d  dt 2  2
c
ds2=V2dt2
Substuindo e pondo dt em evidência
dt 
d
V2
1 2
c
Sendo c > V
Dilatação do
tempo !!!
dt sempre  d
E o comprimento ?!
Contração espacial de Lorentz
Sejam: L=x2-x1 o comprimento de uma barra medida num ref. R
L’=x’2-x’1 o comprimento de uma barra medida num ref. R’
onde R’ com velocidade
 constante relativo a R
Partindo das transformadas de Lorentz:
x 2   ( x2  t )
,
Subtraindo: x’2-x’1
x 1   ( x1  t )
,
X’2-x’1=  (x2-x1)
ou L’ = . L  L=L’/ 
Como
 
1
1
2
c
2
L  L'. 1 
Sendo c  
L sempre  L’
Contração do
comprimento!

2
c2