Material de apoio: interacção gravítica

Material de apoio: interacção gravítica

Lei Universal da Gravitação – Isaac Newton sec. XVII
cada partícula do Universo atrai outra com uma força que é
proporcional ao produto das suas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distância entre elas

r21
m1

F12

F21

m1m2 
F21  G 2 ur
21
r21
m2

ur
12



r
r
 12   21  ur
21
r12
r21


F21   F12
formam par acção/reacção
G  6.673 1011 Nm2 kg 2
Nota: Lei formulada para massas pontuais
força que m1exerce em m2

m1m2 
F12  G 2 ur
12
r12
força que m2exerce em m1
constante gravítica universal
Material de apoio: interacção gravítica

massa gravítica e massa inercial

r
m

F
M
massa gravítica

Mm 
F  G 2 ur
r
força gravítica que M exerce em m
referencial do CM de M
massa inercial


F  ma
lei fundamental da dinâmica
experiência mostra que a razão das massa gravítica e inercial tem o
mesmo valor para todos os objectos  massas gravítica e inercial podem
ser feitas iguais por ajuste da constante G
Material de apoio: interacção gravítica
Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton
demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada
esférica de massa M homogénea e sem espessura:
 numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector

posição r, é igual à que seria produzida por uma massa M pontual
colocada no seu centro geométrico
m
m

F

r
M
M


r'

dM 
F  Gm 2 ur '
r'


Mm 
F  G 2 ur
r
Material de apoio: interacção gravítica
Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton
demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada
esférica de massa M homogénea e sem espessura:
 numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior, é nula; o
cancelamento de todas as forças é exacto
m
M

r'

dM 
F  Gm 2 ur '
r'


F 0
Material de apoio: interacção gravítica
Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera
homogénea de massa M, raio R e densidade r :
 numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector

posição r, é igual à que seria produzida por uma massa M pontual
colocada no seu centro geométrico
m
m

F
M

r'

dM 
F  Gm 2 ur '
r'


M

r

Mm 
F  G 2 ur
r
Material de apoio: interacção gravítica
Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera
homogénea de massa M, raio R e densidade r:
 numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior de vector

posição r , é equivalente à força que seria exercida uma massa M’
pontual colocada no seu centro, onde M’ é a massa contida na
esfera de raio r
M

r
m

r
m
F
camada que
não contribui
para a força
gravítica
M'

dM 
dM ' 
F  Gm 2 ur '  Gm 2 ur '
r'
r'


M 'm 
4
F  G 2 ur ; M '  r  r 3
r
3
Material de apoio: interacção gravítica

Campo gravítico,

E
, gerado pela massa M no ponto P de vector

posição r - no referencial fixo ao CM de M

r
M

E

M 
E  G 2 ur
r
condição criada no espaço por M, tal que uma
massa m colocada em P ficasujeita à força
gravítica F


Mm 
F  mE  G 2 ur
r

Nota: E pode ser interpretado como a força gravítica que M exerce numa massa
unitária colocada em P
Material de apoio: interacção gravítica

Peso da massa m – força gravítica que o planeta, de massa Mp e
raio Rp, exerce em m à altura h da sua superfície


PF
1
1
1

( RP  h) 2 RP 2 (1  h ) 2
m
RP

vertical do lugar
 1

1 
h
1



1

2



h
2
 R 2
RP
RP 

P
horizontal do lugar

r
RP
raio do planeta
 
M Pm 
M Pm 
P  F  G 2 ur  G
uz
2
r
( RP  h)
MP


MT   
h 



P  m  G 2 u z 1  2
RP 
RP  

  

g
correcção do peso
com a altura
massa do planeta


P  mg
aproximação corrente

Terra - g  g  9.8ms 2
Material de apoio: interacção gravítica

Energia potencial gravítica

força gravítica conservativa  deriva de uma energia potencial
 1

 
r


x
1
 




Mm 
F (r )  E p (r )  G 2 ur  E p (r )
r
x2  y2  z 2
1
x2  y2  z 2


ux 
y
1
x2  y2  z 2

x 
y 
z 
r
1 
  3 u x  3 u y  3 u z   3   2 ur
r
r
r
r
r


uy 
z
1
x2  y2  z 2

Mm
Mm 

   G
 constante   G 2 u r
r
r


Mm
E p (r )  G
 constante
r
constante  E p ()
energia potencial da massa m sob a acção do campo
 gravítico criado por M no referencial fixo
ao CM de M – só depende do módulo de r : resulta do facto da força ser central

uz
Material de apoio: interacção gravítica

Energia potencial gravítica de m à altura h da superfície de um
planeta de massa Mp e raio Rp
E p (r )  G
m

r
RP
raio do planeta
MP
r
 G
M pm
( RP  h)
vertical do lugar
1
1
1

( RP  h) RP (1  h )
h
RP

horizontal do lugar
 1

1 
h
1 
h 





1
  
1


RP 
RP
RP 
 RP 
 M
E p (r )   m G P
 RP
massa do planeta
M pm
E p (h)  mgh  constante
mgRp  E p (0)
 MP 

h 
1 
  m G 2 R p  h 
 R 
RP 


P


g g
aproximação corrente

Terra - g  g  9.8ms 2
Material de apoio: interacção gravítica

Energia mecânica de m sujeita apena à acção da força gravítica
conserva-se
m
no referencial do CM de M

r
E  Ek  E p 
M
1
Mm
mv 2  G
2
r
 constante
conserva-se
energia potencial aumenta com r
energia cinética diminui com r
Material de apoio: interacção gravítica

Energia potencial do sistema de duas massas

r2

r1

F21
m2
no referencial do CM do sistema


m1m2 
m1m2 
F21  G 2 ur ; F12  G 2 ur
21
12
r21
r12


F21   F12
 CM
F12
m1
WF  WF
12
21
WF  WF
12
21
  E p1  E p2


  F12  dr1  

if


if
 


F12  dr12

if

if


F21  dr2

m1m2 
G 2 ur  dr12
12
r12

m1m2  
m1m2 
  G
   G

r
r
12  i
12  f


E p (r12 )  G
m1m2
 constante
r12
energia potencial do sistema
só depende da coordenada
relativa  independente
do sistema de referência
Material de apoio: interacção gravítica

Energia mecânica do sistema de duas massas

r1
m1
 CM
F12

r2

F21
m2
no referencial do CM do sistema
E  Ek  E p 
1
1
mm
m1v12  m1v22  G 1 2
2
2
r12
 constante
energia mecânica do sistema conserva-se
m1>>>m2  CM do sistema coincide aproximadamente com CM de m1 e v1~0 
dinâmica do sistema é descrita pela dinâmica de m2 no referencial do CM de m1
Material de apoio: interacção gravítica

potencial gravítico, V(r), gerado pela massa M no ponto P de

vector posição r - no referencial fixo ao CM de M

r
P
V (r )  G
M
 constante
r
M
condição criada por M no espaço, tal que uma massa m
colocada em P adquire a energia potencial gravítica Ep
Mm
E p (r )  mV (r )  G
 constante
r
Nota: V(r) pode ser interpretado como a energia potencial gravítica de uma massa
unitária colocada no campo gravítico criado por M em P
Material de apoio: interacção gravítica

Campo e potencial gravítico gerado por uma distribuição de N

massas no ponto P, de vector posição r

ri
mi
 
r  ri

r
z
y
x
P
campo gravítico total criado pela distribuição de
N massas no ponto P
N 

 
EP   Ei (r  ri )
i 1
campo criado pela massa mi
força exercida numa massa unitária
força é uma grandeza aditiva
potencial gravítico total criado pela distribuição das N massas no ponto P
 
VP   Vi ( r  ri )
N
i 1
potencial criado pela massa mi
energia de uma massa unitária
energia é uma grandeza aditiva
Material de apoio: interacção gravítica
 Momento
Angular

v

r
M

F

Mm 
F  G 2 ur
r
m

r
força central

 
L  mr  v

  
dL
 N  r F 0
dt
vectores paralelos
momentos calculados relativamente ao
sistema soliário com CM de M

momento angular de um objecto sob a acção de uma força gravítica conserva-se
 
L v
 
L r
F

a

r

 
 L perpendicular ao plano da trajectória formado por v e a

 L constante  plano da trajectória constante 
movimento plano
Material de apoio: interacção gravítica
 Momento
Angular

v

r
m

F
M
 

u
ur   r

u

 
L  mr  v


  dr 
d 
 mr 
ur  r
u

dt
dt

v
vr
 r

d 
 mr  r
u
dt

vr








L  L  mr 2w
w e r variam por forma a que L permaneça constante
Material de apoio: interacção gravítica

Força gravítica e trajectória circular

ex: órbita circular de um satélite em torno de um planeta

r

v
 m
F
M


planeta e satélites esferas homogéneas
referencial do CM do planeta



Mm 
Mm 
u N  ur  F  G 2 ur  G 2 u N
r
r
força puramente normal  norma da velocidade
é constante
r  Rh
Mm
v2
G 2 m
 rv 2  GM
r
r
raio do planeta
altitude da órbita
relação entre o raio da órbita e a
velocidade com que é descrita
Material de apoio: interacção gravítica

Força gravítica e trajectória circular


satélite geoestacionário: em órbita equatorial, mantem-se sobre o mesmo
ponto da superfície do planeta  movimentos de rotação do planeta e satélite
têm a mesma velocidade angular
2
velocidade angular constante  w  W 
período do movimento de
T
rotação do planeta
rv 2  GM  ( R  h)( R  h)w   GM
2
 2 
 ( R  h) 3 
  GM
 T 
2
altitude de um satélite geoestacionário
Ex: satélite geoestacionário da Terra
T  24h


M T  5.97 10 24 kg

6

h

35
.
9

10
m

6
RT  6.34 10 m

G  6.67 10 11 Nm2 kg  2 

Material de apoio: interacção gravítica

Velocidade de escape - ve

velocidade mínima comunicada a um objecto à superfície de um planeta por
forma a escapar ao seu campo gravítico  velocidade que lhe permite chegar
ao infinito com velocidade nula

conservação da energia mecânica
Esup  E
energia no infinito
energia à superfície do planeta
massa do objecto
massa do planeta
1
Mm
mve2  G
2
R
1
Mm
2
E  m v
0
 G
2

0
Esup 
E p ( )  0
Ex: Terra - ve  1.13 10 4 ms 1
raio do planeta
ve 
2G
M
R
E  0 objecto escapa - trajectória aberta
E  0 objecto não escapa - trajectória fechada
Material de apoio: interacção gravítica

Velocidade de escape - ve



objecto escapa, independentemente da direcção de lançamento, desde que v  ve


momento angular é conservado em qualquer das situações: Lsup  L
lançamento radial

R

ve
m
vectores paralelos

 
Lsup  mR  ve  0
M
por continuidade

 
L  mr  v  0
 

0

indeterminação matemática

lançamento não radial
 m

R
ve
M
vectores não paralelos

 
Lsup  mR  ve  0
por continuidade


 
L  m r  v  Lsup
 

0

indeterminação matemática
Material de apoio: interacção gravítica


Distância máxima num lançamento com vi<ve  E<0


a t  trajectória rectilínea


conservação do momento angular Lsup  Lr
lançamento radial v

R

vi
m

max
vectores paralelos

 

Lsup  mR  vi  0  Lr
M
max


 mrmax  vr
max
0



ponto
de
distância
máxima
ponto
onde
a
velocidade
se
anula
v
L  0 t
rmax  0

conservação da energia mecânica Esup  Er
max
Esup 
1
Mm
1
Mm
1
M
M
mvi2  G
 Er
 mvr2  G
 vi2  G
 G
max
max
2
R
2 
rmax
2
R
rmax
0
equação que determina rmax
Material de apoio: interacção gravítica
Distância máxima num lançamento com vi<ve  E<0




a  trajectória curvilínea


conservação do momento angular Lsup  Lr
lançamento não radial v
 m

R
ve
M

max
vectores não paralelos

 

Lsup  mR  vi  0  Lr
max


 mrmax  vr
max
0

L  0 t  a velocidade nunca se pode anular  ponto de distância máxima:
instante que maximiza a distância
rmax
dr
 r (t0 ) :
dt
distância máxima
t t0
dr 2
0
dt
t t0
 


d (r  r )
0
 0  r (t0 )  v (t0 )  0


dt t t0


rmax vrmax
 no ponto de distância máxima o vector posição é perpendicular à velocidade
Material de apoio: interacção gravítica

Distância máxima num lançamento com vi<ve  E<0



a  trajectória curvilínea


conservação do momento angular Lsup  Lr
lançamento não radial v
 m

R
ve

max
ângulo de lançamento

 

Lsup  mR  vi  Lsup  mRvi sin 




Lr
 mrmax  vr  Lr
 mrmax vr
M
max
max
max
max


  Rv i sin   rmax vrmax


vectores
perpendiculares

conservação da energia mecânica Esup  Er
max
Esup 
1
Mm
1
Mm
mvi2  G
 Er
 mvr2  G
max
max
2
R
2
rmax
sistema de equações que determina rmax
M 1 2
M
1 2
 2 vi  G R  2 vrmax  G r
max

 Rv i sin   rmax vr
max
