Fórmula do montante composto

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Introdução
Montante
Composto
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Taxas
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Sair
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ATIVIDADES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS
Prof. Rodrigo Fioravanti Pereira
Orientador: Dr. Marcio Violante Ferreira
Link para dissertação (PDF): http://tede.unifra.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=54
Titulo
Título
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Introdução
Matemática financeira
A matemática financeira é amplamente trabalhada
em diversos cursos de graduação por ser uma
ferramenta adequada para a tomada de decisões
relacionadas ao mercado financeiro.
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Sair
O que acontece
Formam-se profissionais com características
fortes do ponto de vista do conteúdo puramente
matemático mas inexperientes quanto a
aplicações deste conteúdo à realidade do
mercado.
No ensino
Entretanto, o ensino desta disciplina mostra-se
alheio à realidade do mercado que deveria ter
como fim. A percepção deste fato é clara se
observados os livros didáticos de matemática
financeira que trazem a disciplina de forma
estanque, com os problemas previamente
determinados, sem espaço para as novidades e
imprevistos do mercado.
Proposta
A proposta deste trabalho é dar ferramentas para
a contextualização da matemática financeira com
o mercado financeiro no mesmo momento que
constrói o conteúdo matemático de forma aplicada
ao mercado que está se desenvolvendo
contemporaneamente.
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Introdução
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Seção A:
Desenvolvimento da fórmula do Montante Compostos.
Atividade 1:
Na tabela abaixo obtida a partir de dados bancários analise o índice da poupança e faça o que se pede a
seguir
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Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da
tabela, considerando o índice da poupança a cada mês.
FV (Future Value)  é o montante auferido a cada mês.
Mar/
07
Abr/0
7
Mai/
07
Jun/
07
Jul/0
7
Ago/
07
Set/0
7
Out/
07
Nov/
07
Dez/
07
Jan/
08
Fev/
08
Ano
12
meses
24
meses
0,56
0,60
0,52
1,12
7,53
16,46
36
meses
INVESTIMENTO
Poupança
(5 a.m.)2
0,59
0,63
0,67
0,60
0,65
0,65
0,54
0,61
0,56
27,15
1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9
2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371
3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191
4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332
5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965
6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032
...
12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092
Dica
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Atividade 2:
Estime, mentalmente, um valor médio que poderia resumir todas as taxas da poupança constantes na
tabela.
Mar/
07
Abr/0
7
Mai/
07
Jun/
07
Jul/0
7
Ago/
07
Set/0
7
Out/
07
Nov/
07
Dez/
07
Jan/
08
Fev/
08
Ano
12
meses
24
meses
0,56
0,60
0,52
1,12
7,53
16,46
36
meses
INVESTIMENTO
Poupança
(5 a.m.)2
0,59
0,63
0,67
0,60
0,65
0,65
0,54
0,61
0,56
Pela tabela, percebe-se que uma estimativa para o valor
procurado é de 0,6% a.m.
27,15
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Atividade 3:
Calcular o montante ao final dos 12 meses, a partir do capital de R$ 1000,00 e da taxa estimada de 0,6% a.m.
Resposta
1º mês
(1+0,6 / 100) = 1,006
1000 X 1,006 =1006
1° mês → 1000 x 1,006
2° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2
3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3
4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4
...
n° mês → 1000 x 1,006 x ...x 1,006 = 1000(1,006)n
1° mês → 10001,006 = 1006
2° mês → 1012,036
3° mês → 1018,1082
4° mês → 1024,2168
...
12° mês → 1074,4241
Esta forma de resolução é comum entre os estudantes mas não permite a visualização da fórmula
do montante composto.
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Atividade 3:
Construir a fórmula do montante composto a partir das experiências anteriores
Modelo
1° mês → 1000 x 1,006
2° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2
3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3
4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4
...
n° mês → 1000 x 1,006 x ... x 1,006 = 1000(1,006)n
FV = 1000(1 + 0,006)n
FV = PV(1 + i)n
FV Future Value - Montante
PV  present value
i  taxa decimal
n  número de capitalizações
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Taxas
Fórmula do montante composto
Com a fórmula a disposição, é tempo de experimentá-la, a fim de surgir o convencimento com
relação às suas vantagens além de permitir que os alunos desfrutem dos benefícios do seu próprio
trabalho.
FV = PV(1 + i)n
Neste sentido, pede-se o montante de uma aplicação de longo prazo, como por exemplo 120
meses, mantendo a taxa de 0,6%a.m e o capital inicial de R$ 1000,00.
Resposta
FV = 2050,01
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Seção B:
Taxas Proporcionais e Equivalentes
Atividade 1:
Procurar no extrato bancário a relação entre as taxas mensal e anual de cada tipo de crédito,
supor um capital inicial de R$ 100,00 e calcular o montante, ao final de um ano, para a taxa mensal e
anual.
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Montante
Composto
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Taxas
CDC AUTOMOVEIS
Taxa i : 1,80% mensal
23,87%, anual
Para i = 1,80% a.m.
Para i = 23,87% a.a.
FV = PV(1+ i1 )n1
FV = PV(1+ i 2 )n2
FV = 100(1+ 0,018)12
FV = 123,8722
FV = 100(1+ 0,2387)1
FV = 123,87
Percebe-se que os dois montantes são iguais e que a taxa anual aparece no extrato com duas
casas depois da vírgula para fins de arredondamento.
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Montante
Composto
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CRED. PESSOAL
Taxa i : 3,85% mensal
57,35%, anual
Para i = 3,85% a.m.
Para i = 57,35% a.a.
FV = PV(1+ i1 )n1
FV = PV(1+ i2 )n2
FV = 100(1+ 0,0385)12
FV = 157,3540
FV = 100(1+ 0,5735)1
FV = 157,35
Novamente a igualdade foi comprovada
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Atividade 2:
Com base nos procedimentos anteriores, construir uma fórmula para as taxas equivalentes
Concluindo que os valores encontrados são iguais a busca da fórmula que relaciona a taxa mensal
com a anual passa por igualar as fórmulas dos montantes encontrados nos cálculos anteriores.
Abaixo, segue o desenvolvimento feito para o CDC Automóveis:
Mensal
Anual
100(1  0, 018)12
100(1  0, 2387)1
(1  0, 018)12
(1  0, 2387)1
1, 2387  1, 2387
Como o montante obtido pela taxa mensal é o mesmo da
taxa anual podemos escrever o modelo abaixo
(1  i1 ) n1  (1  i2 ) n2
Esta é a fórmula das taxas equivalentes para os juros compostos.
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Atividade 3:
Ainda no extrato, temos uma taxa de i=7,95% a.m. que não possui a sua taxa anual equivalente. Propõe-se o
cálculo da tal taxa utilizando a fórmula que foi desenvolvida.
(1  i1 )n1  (1  i 2 )n 2
(1  0,0795)12  (1  i 2 )1
i 2  1,50421585
Logo, a taxa anual equivalente a 7,95%a.m. é 150,42% a.a.
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Taxas
CRÉDITO UM MINUTO
A fórmula que desenvolvida anteriormente, foi utilizada nesta atividade.
(1  i1 )n1  (1  i 2 )n 2
(1  0,048)12  (1  i 2 )1
i 2  0,75523549
Nota-se que a taxa encontrada é menor do que a indicada no extrato. A discussão em aula desta
disparidade é um ótimo exercício.
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Atividade 2:
Utilizando o modelo encontrado, analisar a fatura do cartão de crédito mostrada abaixo procurando
confirmar as taxas mensais e anuais cobradas pela operadora. Baseados nas informações que já
temos sobre o mercado financeiro, o que podemos afirmar sobre estas taxas?
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Nele estão assinaladas a taxa mensal e anual de juros do cartão (11,50%a.m. e 269,23%a.a.). Verificase através de cálculos que estas taxas são equivalentes. A comparação entre as taxas dos dois
exercícios é um importante fator de conhecimento crítico do mercado financeiro.
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Seção C:
Taxa Nominal e Efetiva
Quando se contrata um “Crédito Um Minuto”, do Banrisul, além dos juros de 4,80% a.m., segundo o
extrato do Banrisul usado como exemplo, é cobrada uma taxa administrativa de R$ 8,50 devido à
realização do empréstimo (taxa informada pela gerente de contas do banco).
Atividade 1:
A partir das informações acima, responda como esta taxa administrativa influi na taxa efetiva de
juros. Será que a taxa de juros já considera esta cobrança?
Proposta: Supor um empréstimo de R$ 1000,00 por 3 meses. Conhecendo as taxas (de juros e
administrativa) do “Crédito Um Minuto”, quanto o tomador do empréstimo efetivamente levará para casa
e quanto ele deverá pagar ao banco até o final do empréstimo?
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Cálculo dos juros sobre um empréstimo de R$1000,00 durante 3 meses:
Como sobre os R$ 1000,00 incide uma taxa administrativa de R$ 8,50, o empréstimo será calculado
sobre R$ 1008,5 e não sobre R$ 1000,00.
Lembrar que o Crédito Um Minuto”, do Banrisul, os juros são de 4,80% a.m
Obtem-se, sucessivamente,
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Sabendo que o tomador do crédito levou pra casa a quantia de R$ 1000,00 e pagará, após 3 meses, o
montante de R$ 1160,80, podemos calcular de quanto será o juro efetivo a ser pago:
Logo, a taxa de juros que incide efetivamente sobre a operação é de 5,096% a.m. e não
apenas os 4,8% a.m. indicada no extrato
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Seção D:
Desconto Composto
OBS:
Nesta seção pressupõe-se o conhecimento das diferentes regras dos descontos.
Atividade 1:
Vamos considerar um título tal como uma nota promissória, que tem um valor de face de R$1000,00 e é
vencível em 40 dias, pergunta: Se este título for descontado antes dos 40 dias, o seu portador ainda
ficará com os R$1000,00?
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Desconto racional: pela definição de desconto racional, o valor atual (Va) deve ser “levado”, por 3 meses,
até a data do cheque pela taxa da operação, onde terá o mesmo valor do cheque
Formalização:
Desconto comercial: já no desconto comercial, o valor nominal (N) é descontado por 3 meses pela taxa
de desconto até assumir o valor atual (Va).
Formalização: N
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Conclusão:
Este trabalho buscou a mescla da realidade financeira com a construção do conteúdo matemático
constante na maioria das ementas da disciplina de matemática financeira. Neste sentido, a proposta
desenvolvida trabalhou o conteúdo dos juros compostos por estar presente, direta ou indiretamente, na
maioria das situações do mercado financeiro e no conteúdo da matemática financeira.
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Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da
tabela, considerando o índice da poupança a cada mês.
FV (Future Value)  é o montante auferido a cada mês.
Mar/
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Abr/0
7
Mai/
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Jun/
07
Jul/0
7
Ago/
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Set/0
7
Out/
07
Nov/
07
Dez/
07
Jan/
08
Fev/
08
Ano
12
meses
24
meses
0,56
0,60
0,52
1,12
7,53
16,46
36
meses
INVESTIMENTO
Poupança
(5 a.m.)2
0,59
0,63
0,67
0,60
0,65
0,65
0,54
0,61
0,56
27,15
1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9
2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371
Para darmos um acréscimo a um valor
3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191
inicial multiplicamos este valor por 1 + a
taxa de acréscimo.
4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332
5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965
Exemplificando:
6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032
Se a taxa de acréscimo i =0,4% => 0,004
...
12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092
teremos = 1 + 0,004 =1,004
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