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Tensão Contínua
 Uma tensão é chamada de contínua ou
constante quando o seu valor não se altera com
o tempo.
 Exemplo de geradores que geram tensão
continua são as pilhas e as baterias.
 A Figura a seguir mostra o aspecto físico,
símbolo e curva da tensão em função do tempo
deste tipo de gerador.
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
Exemplo de Fonte de Tensão
Contínua
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
Tensão Alternada
 É uma tensão cujo valor e polaridade se
modificam ao longo do tempo. Conforme o
comportamento da tensão, temos os diferentes
tipos de tensão:
 Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc.
 De todas essas, analisaremos a partir de agora
a senoidal, porque é a tensão fornecida nas
fontes geradoras e que alimenta as industrias e
residências.
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
Tensão Alternada
 Seja o circuito da próxima Figura, no qual
temos duas baterias e uma chave que ora
conecta a bateria B1 ao resistor, ora conecta a
bateria B2 ao resistor.
Vamos supor que cada
bateria fica conectada ao
resistor durante 1s.
Como seria o gráfico da
tensão em função do tempo nos
terminais da bateria ?
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
Exemplo de Geração Alternada
• O valor negativo significa que a polaridade da tensão mudou. Desta forma
obtemos uma forma de onda quadrada. Além desta, usualmente temos aplicações
em eletricidade as formas triangular e principalmente a senoidal.
• O tempo que leva para repetir uma mesma situação é 2s, sendo chamado de
período (T). O valor máximo da tensão é 12V ( sendo chamado de valor de pico
ou valor máximo VM). A seguir analisaremos mais em detalhes a senoidal.
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
Tensão Senoidal
 É uma tensão que varia com o tempo de
acordo com uma função senoidal
 A expressão matemática é dada pela função:
v(t )  VM .sen(.t   )
Onde VM é o valor de pico (valor máximo que a tensão
pode ter) , ω em (rad/s) é a freqüência angular e θ (rd ou
graus) é o angulo de fase inicial.
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
Representação Gráfica
 VPP (em V) é chamado de tensão de pico a
pico, T (em s) é o período da função.

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Representação gráfica de uma tensão
senoidal em função do angulo
 A rotação da bobina ao longo de 360º geométricos( 1
rotação ) gera sempre 1 ciclo ( 360º) de Tensão (
Gerador de 2 pólos).
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
Corrente Alternada
 Quando uma tensão senoidal é ligada aos terminais de uma
resistência de carga, a corrente também é uma onda senoidal.
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
Exemplo
 Exemplo 1:
 Uma tensão senoidal ca é
aplicada a uma resistência de
carga de 10 Ω. Mostre a
onda senoidal resultante para
a corrente alternada.
 O Valor instantâneo da
corrente
é
i=v/R. Num
circuito
apenas
com
resistência, a forma de onda
da corrente segue
a
polaridade da forma de onda
da tensão.
 Como a corrente é definida
pela expressão:
i  I M .sen

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 O valor máximo da corrente é
IM 
VM 10
  1A
R 10
 Graficamente, é representado por:
Freqüência e Período
O número de ciclos por minuto é chamado de Freqüência.
É representada pela letra f e unidade em hertz [Hz].
O intervalo de tempo para que um ciclo se complete é chamado de período.
É representado pelo símbolo T e expresso em segundos [s].
A freqüência é o recíproco do período, ou seja:





f 
1
T
e
T
1
f
 Quanto maior a freqüência,
menor o período.
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
Relação entre graus elétricos e
tempo
 O ângulo de 360º representa o tempo para um ciclo,
ou período T.
 Portanto, temos a seguinte representação gráfica.
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
Exemplo
 Exemplo 2
 Uma corrente ca varia ao longo de um ciclo completo em 1/100s. Qual o
período e a freqüência? Se a corrente tiver um valor máximo de 5A,
mostre a forma de onda para a corrente em graus e em segundos.
1
T
s
100
ou
10ms
ou 10ms
 Graficamente
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
1
1
f  
 100 Hz
T 1/100
Relações de Fase
 O ângulo de fase entre duas formas de onda de mesma freqüência é a
diferença angular num dado instante.
 Na figura abaixo, o ângulo de fase entre as ondas B e A é de 90º
 Enquanto a onda A começa com seu valor máximo e cai para zero em
90º.
 A onda B atinge o seu valor máximo 90º na frente de A.
 Este ângulo de fase de 90º entre as ondas B e A é mantido durante o
ciclo completo e todos os ciclos sucessivos.
Fasores
 Forma alternativa para representação de correntes e tensões
alternadas (senoidais).
 Um fasor é uma entidade com módulo e sentido.
 O comprimento do fasor representa o módulo da tensão/corrente
alternada.
 O ângulo em relação ao eixo horizontal indica ao ângulo de fase.
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
Representação Fasorial
 Tomando com exemplo a figura abaixo, o fasor VA representa a
onda de tensão A com ângulo de fase de 0º.
 O fasor VB é vertical para mostrar o ângulo de fase de 90º com
relação ao fasor VA, que serve de referência.
Representação Fasorial
 Quando duas ondas estão em fase, o ângulo de fase é
zero. As amplitudes se somam.
 Quando as ondas estão exatamente fora de fase, o
ângulo de fase é de 180º. Suas amplitudes são
opostas.
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
Exemplo
 Exemplo 3
 Qual o ângulo de fase entre as ondas A e B? Faça o diagrama de fasores primeiro
com a onda A como referência e depois como a onda B como referência.



Ângulo de fase é a distância angular entre pontos
correspondentes nas ondas A e B.
Os pontos correspondentes mais convenientes sâo os pontos
de máximo, dos mínimos e dos zeros de cada onda.
No cruzamento dos zeros no eixo horizontal, θ=30º.
A como referência
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
B como referência
Valores Características de
Tensão e de Corrente
 Valor de pico é o valor máximo VMax ou IMax.
 Valor de pico a pico é igual ao dobro do valor de pico, quando os picos positivo e
negativo são simétricos.
 Valor médio, corresponde à média aritmética de todos os valores numa onda
senoidal, considerando um meio ciclo.
Valor Medio  0,637 x valor de pico
VM  0,6237.VMax
I M  0,637.I Max


O valor rms de uma onda senoidal corresponde à mesma quantidade de tensão
ou corrente contínua capaz de produzir a mesma potência dissipada.
O valor eficaz ou rms ou valor médio quadrático corresponde a 0,707 vezes o
valor de pico.
Valor rms  0,707 x valor de pico
VM  0,707.VMax
I M  0,707.I Max
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
Valores Características de
Tensão e de Corrente
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
Resistência em Circuitos CA
 Em circuitos ca somente com resistência.
 Tensão e Corrente estão em fase.
 Esta relação entre V e I em fase, significa que este circuito ca
pode ser analisado pelos métodos usados para o circuito cc.
 Seja o circuito, abaixo, em série.
I
V 110

 11A
R 10
P  I 2 .R  112.10  1210W

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Exercício
 Exercício 1
 Calcule o ângulo
de fase para as
seguintes ondas
ca e desenhe os
respectivos
diagramas de
fasores
45o
45o
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
Exercício
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
Indutância, Reatância e
Circuitos Indutivos
 A capacidade de um condutor possui de induzir tensão em si
mesmo quando a corrente varia é chamada de auto-indutância
ou simplesmente indutância.
vl
L
i
t
Onde:
L= indutância, [H]
v= tensão induzida através da bobina, [V]
Δi/ Δ t= taxa de variação da corrente, [A/s]
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
Indutância Mútua
 Quando a corrente num condutor ou numa bobina varia, este
fluxo pode interceptar qualquer outro condutor ou bobina nas
vizinhanças, induzindo tensões em ambos.
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
Características das Bobinas
 A indutância de uma bobina depende de como ela é enrolada, material
do núcleo em torno do qual é enrolada, e do número de espiras que
formam o enrolamento.
 A indutância L aumenta com o número de espiras N em torno do núcleo. A
indutância aumenta com o quadrado do número de espiras.
 A indutância aumenta com a permeabilidade relativa μr do material de que é
feito o núcleo.
 À medida que a área A abrangida em cada espira aumenta. A indutância
aumenta com o quadrado do diâmetro.
 A indutância diminui à medida que o comprimento da bobina aumenta.
2
N .A
6
L  r .
1, 26 x10  ,[ H ]

l
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
Reatância Indutiva
 A reatância indutiva XL é a oposição à corrente ca
devida à indutância do circuito.
 A unidade da reatância indutiva é o ohm.
 A fórmula para a reatância indutiva é
X L  2. . f .L
Onde
XL= reatância indutiva,[Ω]
f = freqüência angular,[Hz]
L = indutância, [Hz]
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
Indutores em série
 Se os indutores forem dispostos afastados um do outro de modo
que não interajam eletromagneticamente entre si.
 Podem ser associados como resistores.
LT  L1  L2  L3  ........  Ln
 Se duas bobinas ligadas em série
forem colocadas próximas de modo
que linhas de campo magnético se
interliguem.
 A indutância total será:
LT  L1  L2  2.LM
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
Indutores em paralelo
 Afastados, de modo que a indutância mútua seja
desprezível, tem-se que:
1
1 1 1
1
    ........ 
LT L1 L2 L3
Ln
 No caso de apenas duas bobinas em paralelo, tem-se
que:
L1.L2
LT 
L1  L2
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
Circuitos Indutivos
 Seja uma tensão ca, v, aplicada a um circuito que tenha somente
indutância.
 A corrente iL, que passa pela indutância estará atrasada da
tensão vL, de 90º.
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
Circuito RL em série
 Quando uma bobina têm uma resistência em série, a corrente I é
limitada tanto por XL quanto por R.
 A corrente I , através de XL, está defasada da tensão VL de 90º.
VR  I .R
e
VL  I . X L
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
Exemplo
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
 Exemplo 4
Um circuito ca com RL em série tem uma corrente de 1A de pico, com R=50 Ω e XL=50 Ω.
 Calcule VR, VL, VT e θ. Faça o diagrama de fasores de VT e I. Faça também o diagrama
de tempo i, vR, vL e vT.

Impedância RL série
 A resultante da adição dos fasores R e XL é chamada de
impedância. É representada pelo símbolo Z.
 A impedância é a reação total ao fluxo da corrente em ohms [Ω].
VT2  VR2  VL2
 I .Z 
2
  I .R    I . X L 
2
2
Z 2  R 2  X L2
Z  R 2  X L2
XL
XL
tg 
   arctg
R
R
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
Circuito RL paralelo
 Para circuitos paralelo contendo R e XL , uma mesma tensão VT
está aplicada a eles.
 Portanto esta tensão será usada como referência.
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
Exemplo
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
Impedância RL paralelo
 Cálculo a partir da tensão como referência.
 Exemplo: Qual a impedância de ZT de um R de 200 Ω em paralelo
com XL de 400 Ω? Suponha que a tensão VT seja de 400 V.
IR 
VT 400

 2A
R 200
IL 
VT
400

 1A
X L 400
IT  I R2  I L2  4  1  5  2, 24 A
VT
400
ZT 

 178, 6
IT 2, 24
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
Potência em circuitos RL
 Num circuito ca com reatância indutiva, a corrente está atrasada
em relação a tensão aplicada.
 Existe neste caso 3 tipos de potência.
Pot. real P  V ( I .cos  )  VI cos 
Pot. reativa Q  V ( I .sen )  VIsen
Pot. aparente S  VI
Tensão e corrente expressos em valor rms.
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
Exemplo
 Exemplo 6
 O circuito ca tem 2A através de um R de 173  em série com um XL de 100
. Calcule o fator de potência, a tensão aplicada V, a potência real P, a
potência reativa Q e a potência aparente S.
X
100
  arctg L  arctg
 arctg 0,578  30o
R
173
FP  cos  cos 30o  0,866
Z
V  I .Z  2(200)  400V
P  I 2 R  22.(173)  692W
ou
P  V .I .cos   400.(2).(cos 30º )  692W
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
R
173

 200
cos cos 30º
Q  V .I .sen  400.(2).( sen30º )  400VAr
S  V .I  400.(2)  600VA
Capacitância, Reatância Capacitiva e
Circuitos Capacitivos
 Um capacitor é um dispositivo elétrico formado
por duas placas condutoras de metal separadas
por um material isolante chamado dielétrico.
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
Capacitância
 O capacitor armazena carga elétrica no dielétrico.
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
Capacitância
 Capacitância
 Capacidade de armazenamento de carga elétrica.
 Quantidade de carga que pode ser armazenada num capacitor
dividida pela tensão aplicada às placas.
Q
C
V
Onde
C=capacitância,F
Q= quantidade de carga,C
V=tensão,V
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
Capacitores em série e em
paralelo
 Associação série.
1
1
1
1
1
 

 ...................
CT C1 C2 C3
Cn
 Associação paralelo.
CT  C1  C2  C3  ...................Cn
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
Reatância Capacitiva
 A reatância capacitiva XC é a oposição ao fluxo de
corrente.
 Unidade: [ohm] ou [Ω].
1
1
0,159
XC 


2. . f .C 6, 28. f .C
f .C
Onde
XC = reatância capacitiva, Ω
f = freqüência, Hz
C = capacitância, F
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
Circuitos Capacitivos
 Somente Capacitância.
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
Circuitos RC Série
 A associação da resistência com a reatância capacitiva é
chamada de impedância.
 VC 
VC
tg  
   arctg   
V  V V
VR
VR 

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2
T

2
R
2
C
Exemplo
 Exemplo 7. Um circuito ca RC em série, tem
uma corrente de pico de 1 A com R=50 Ω e
XC=120 Ω. Calcule VR, VC, VT e θ. Faça o
diagrama de fasores de VC e I. Desenhe o
diagrama de tempo de i, VR, VC e VT.




Vr=R.I=50.1=50V
Vc=Xc.I=120.1=120V
VT=130V
θ=arc tg=-(120/50)=-67,4º
Impedância em Circuitos RC
Série
 O Triângulo de tensão.
Corresponde ao triângulo de impedância
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
Exemplo
 Exemplo 8
 Um R de 30 Ω e um XC de 40 Ω estão ligados em série a uma
fonte de 120V. Calcule Z, I, e θ. Faça o diagrama de fasores.
Z  R 2  X C2
 302  402  2500  50
VT 120
I

 2, 4 A
Z
50
 XC
tg   
 R

 40 
o



arctg


arctg

1,33


53,1





30



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
Circuito RC Paralelo
 No circuito RC paralelo a tensão é a mesma.
IT  I  I
2
R
2
C
IC
IC
tg 
   arctg
IR
IR
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
VT
ZT 
IT
Impedância em
Circuitos RC Paralelo
 Exemplo 9
 Um resistor de 15 Ω e um capacitor de 20 Ω de reatância
capacitiva estão dispostos em paralelo ligados a uma linha ca de
120V. Calcule IR, Ic, IT, θ e Z. Faça o diagrama de fasores.
IR 
VT 120

 8A
R 15
IC 
VT 120

 6A
XC
20
IT  I R2  IC2  82  62  100  10 A
IC
6
tg 
   arctg  arctg 0, 75  36,9o
IR
8
VT 120
ZT 

 12
IT
10
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
Potência em Circuitos RC
 Num circuito ca com reatância capacitiva, a corrente está
atrasada em relação a tensão aplicada.
 Existe neste caso 3 tipos de potência.
Pot. real P  V ( I .cos  )  VI cos  ,[W ]
Pot. reativa Q  V ( I .sen )  VIsen ,[VAr ]
Pot. aparente S  VI , VA
Tensão e corrente expressos em valor rms.
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
Circuitos Monofásicos
 Circuito RLC série.
Exemplo
 Exemplo 10
 Num circuito RLC série, qual a tensão aplicada e o ângulo
de fase? Desenhe o diagrama de fasores de tensão.
VR  I .R  2.(4)  8V
VL  I . X L  2.(19, 5)  39V
VC  I . X C  2.(12)  24V
Com VL  VC
VT  VR2  VL  VC   82   39  24   17V
2
2
VL  VC
15
  arctg
 arctg  61,9o
VR
8
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
Impedância num Circuito RLC
Série
 A impedância Z é igual ao fasor soma de R, XL e XC.
Quando X L  X C
Quando X L  X C
Z  R2   X L  X C 
2
Z  R2   X C  X L 
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
2
RLC Paralelo
 A tensão é a mesma
através de cada
ramo, de modo que
VT =VR= VL=VC.
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
Exemplo
 Exemplo 11
 Um resistor de 400 Ω, Uma reatância indutiva de 50 Ω e uma reatância
capacitiva de 40 Ω estão ligados em paralelo através de uma linha de 120V.
Determine os fasores de corrente nos ramos, a corrente total, o ângulo de fase
V
120
a impedância.
IR  T 
 0, 3 A
R
400
V
120
IL  T 
 2, 4 A
XL
50
V
120
IC  T 
 3, 0 A
XC
40
Com X L  X C  50  40  ou I C  X L  3, 0 A  2, 4 A 
Circuito Capacitivo
IT 
I R2   I C  I L  
2
0, 32   3, 0  2, 4   0, 671A
2
I C  VL
0, 6
  arctg
 arctg
 63, 4o
IR
0,3 Uso Racional de Energia no Meio Rural - FCA - Botucatu 2004

Potência e Fator de Potência
 A potência instantânea é
 O produto da tensão
na resistência pela
corrente que
percorre por ela é
sempre positiva e é
chamada de potência
real.
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
p  v.i
Potência Reativa
 No caso de uma
reatância, a tensão está
defasada de 90º em
relação a corrente, o
produto px=vxix é sempre
negativo.
 Este produto é chamado
de potência reativa.
 Observe o gráfico para
um circuito RL.
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
Expressões de Potência
Pot. real P = VR . IR = V . I cosθ [W]

Pot. Reativa Q= VX . IX=V . I senθ [VAR]

Pot. Aparente S = V.I [VA]

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
Fator de Potência
pot. real
VR .I R V .I .cos 
FP 


 cos
pot. reativa V .I
VI
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
Correção do Fator de Potência
A fim de se utilizar o mais
eficientemente possível a corrente
liberada para a carga.
 É necessário um alto FP.
 FP baixo se deve normalmente as cargas indutivas ,
como os motores de indução.
 A Solução é adição de cargas capacitivas, com
potência reativa oposta à indutiva, compensando o
fator de potência.
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
Exemplo
 Exemplo 12
 Com o auxílio do diagrama de fasores, mostre como o FP
produzido por um motor indutivo pode ser corrigido para
chegar a unidade.
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
Exercício

Uso Racional de Energia no Meio Rural - FCA Botucatu 2004

Um motor de induçao de 10kVA, funcionando com um FP de 0,8 indutivo e um motor síncrono de 5
kVA, funcionando com FP de 0,7 capacitivo. Estão ligados em paralelo atraves de uma linha de
alimentação de 220V e 60 Hz. Calcule a potência real total PT, a potência reativa total QT, o fator
de potência total , a potência aparente total ST e a corrente total IT.
S A  V .I  10kVA
PA  V .I .cos  10.(0,8)  8kW
 A  arccos(0,8)  36,9º
QA  V .I .sen A  10.( sen36,9o )  10.(0, 6)  6kVAr
S B  V .I  5kVA
PB  V .I .cos  5.(0, 7)  3,5kW
 B  arccos(0, 7)  45, 6º
QB  V .I .sen B  5.( sen45, 6o )  5.(0, 71)  3,57kVAr
Exercício
PA  PA  PB  8  3,5  11,5kW
QT  QA  QB  6  3,57  2, 43kVAr
 QT
 PT
T  arc tg 

 2, 43 

arc
tg

 11,5   11,9º



FPT  cosT  cos 11,9o   0,979  97,9% indutivo
ST  PT2  QT2 
11,5   2, 43
2
2
 11,8kVA
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
Sistemas Trifásicos
 Um sistema trifásico é uma combinação de três sistemas monofásicos.
 Um gerador ca produz três tensões iguais, defasadas de 120º.
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
Sistemas Trifásicos
 Vantagens
 Condutores mais leves/finos.
 Flexibilidade de tensões.
 Permite ligação de aparelhos 1.
 Equipamentos 3, têm menores dimensões.
 Dois tipos de ligações.
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
Tipos de Ligações
 Ligação em Y ou estrela.
 Ligação em Δ (delta) ou triângulo.
Potência em Cargas Trifásicas
Equilibradas
 Carga Δ
VL  V f
I L  3.I f
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
Potência em Cargas Trifásicas
Equilibradas
 Carga Y
IL  I f
IN  0
VL  3.V f
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
Potência em Cargas Trifásicas
Equilibradas
 Como a impedância de fase cargas Y ou Δ tem
correntes iguais, tem-se
Pf  V f .I f .cos
 A potência total será:
PT  3.V f .I f .cos 
 Como
IL
VL  V f e I f  3. , para uma carga 
3
PT  3.VL .I L .cos 
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
Potência em Cargas Trifásicas
Equilibradas
IL  I f
 Como
VL
e V f  3. , para uma carga Y
3
PT  3.VL .I L .cos 
 Portanto, seja em Y ou Δ a expressão para o cálculo
da potência trifásica é a mesma.
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
Potência em Cargas Trifásicas
Equilibradas
 Finalmente, temos as seguintes expressões:
PT  3.VL .I L .cos 
QT  3.VL .I L .sen
ST  3.VL .I L
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
Cargas Trifásicas Não
Equilibradas
 Quando as impedâncias das 3 cargas não forem
entre si, o fasor resultante da soma das correntes e
IN não serão nulos.
 Desbalanceamentos :


Curto-circuito .
Abertura do circuito.
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
Cargas Trifásicas Não
Equilibradas
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
Exemplo
 Exemplo 13
 Num sistema Y 120/208V de quatro fios, liga-se duas lâmpadas da fase
A ao neutro, cinco lâmpadas da fase B ao neutro e quatro lâmpadas da
fase C ao neutro. Se todas as lâmpadas forem de mesma especificação
e se cada uma retirar 2A, qual a corrente em cada fase e a corrente
neutra.
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
Exemplo
Como cada lampada consome 2 A,
I A  2 lampadas X 2 A  4 A
I B  5 lampadas X 2 A  10 A
I C  4 lampadas X 2 A  8 A
Ao longo do eixo x
IA  4A
I B  10 cos 60o  5 A
I C  8cos 60o  4 A
I x  4  5  4  5 A
Ao longo do eixo y
IA  0A
I B  10sen60o  8, 66 A
I C  8sen60o  6,93 A
I y  0  8, 66  6,93  1, 73 A
Logo,
I N  I x2  I y2 
 5  1, 73
2
2
 5, 29 A
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
 Bibliografia:
 1. Circuitos Elétricos : Coleção Schaum.
 2. ORSINI, L. Q. Curso de Circuitos Elétricos, v. 2,

p. 286,
Edgard Blüncher, 2004
 3. SADIKU, M. N. O.; Alexander, C. K. Fundamentos de
Circuitos Elétricos. p. 857, Bookman, 2003.
 4. NILSSON, J. W.; Riedel, S. A. Circuitos Elétricos. ed.
6, p. 658, LTC, 2003.
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