A velocidade angular é

Movimento circular uniforme
No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante,
porém sua direcção muda continuamente
Exemplos:
As pessoas girando com o movimento da Terra
Movimento de satélites artificiais
Pontos de um disco num gira discos
Pontos de um disco rígido de computador
Ponteiros de um relógio
1
Movimento circular uniforme
y

ey

r
Para descrever o MCU utilizamos
as coordenadas polares
r


ex
x
e 
Vector posição
O arco sobre a trajetória que subentende um
ângulo  é:
ds
r

x
d
s
s  r
O arco descrito em dt é dado por
ds  r d
2

v

ac
r
O vector velocidade é sempre tangente à
trajectória da partícula e é perpendicular ao
raio da trajectória
B

v

ac
Demonstraremos que
A
A aceleração centrípeta é responsável pela
mudança da direcção da velocidade
A aceleração centrípeta aponta para o centro do
círculo
No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante
No SI a unidade da velocidade angular é
Pode-se escrever também
rad s 1
s 1
O movimento circular é um movimento periódico
O tempo de uma volta completa é o período
T
ao tempo que demora para descrever um ângulo de
A velocidade angular é

2
T
ou
  2f
A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)

2
onde f é a frequência
3
y

ey
A velocidade da partícula

v

r
( 
O módulo da velocidade é


ex
é a
derivada em ordem ao tempo de

r

v
v
d
)
dt
x
 
v vy

vx
porque
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
v 2   2  r sin     2 (r cos ) 2   r sin    r cos    r (sin   cos  )
 v  r
Relaciona a velocidade angular

velocidade linear
v
4
O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direcção varia
O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a
direcção da velocidade
A aceleração é
Observe que a direcção da aceleração tem sentido inverso ao do vector posição 
está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama-se aceleração
centrípeta
É a aceleração centrípeta que faz variar o vector velocidade
O módulo da aceleração centrípeta é

v

ac
como
v  r
B

v

ac
A
5
Exemplo 13. Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a
aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?
A velocidade angular é:
  (2 rad)(16 Hz) 
  2 f
  (2  3.14 rad)(16 Hz)  100 .48 rad s -1 ~ 101 rad s -1
A aceleração centrípeta será
ac   r  (101 rad s ) (3 10 m)  306 .0 m s
2
-1 2
2
-2
6
Movimento circular uniformemente variado
No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear
Como
v  r , a velocidade angular 

v
não é constante.
também não é constante.
A aceleração é

d
[
dt
]
+
d

dt

v
at
onde
é a aceleração angular

a t é a aceleração tangencial e tema mesma
direcção do vector velocidade
cujo módulo é

ac
v
7

at

a
Módulo da aceleração total

ac
Quando a aceleração angular é constante podemos obter
8
Exemplo 14: um ponto na trajetória de uma partícula é dada pelas equações (em
unidades SI):
x(t) = 0.2 t2 + 5.0 t + 0.5
y(t) = -1.0 t2 + 10.0 t + 2.0
a) Calcular
 

r  r (6)  r (3)
em t = 3 s :
x(3) =17 m e y(3) =23 m
em t = 6 s :
x(6) =38 m e y(6) =26 m
 





r  r (6)  r (3)  (38 m ex  26 m e y )  (17 m ex  23 m e y ) 


(21 ex  3e y ) m
b) Sabendo que a velocidade da partícula é v x  0.4 t  5.0 e
calcule a aceleração da partícula.
v y  2.0 t  10
dvx
d
O módulo da aceleração e ângulo

( 0.4 t  5.0)  0.4 m/s 2
dt
dt

2
2
2
a

a

a

a

4
.
2

2
.
0
m/s
dv y
x
y
d
2
 2.0 t  10    2.0 m/s
ay

dt
dt
a
 2.0
o
ax 



a  (0.4 ex  2.0 e y ) m/s2
tg  
y
ax

0.4
  5.0     79
9
1.3 Movimento em três dimensões
Para um movimento em três dimensões o vector posição é




r  xe x  ye y  zez
A velocidade média é




v  vmx e x  vmy e y  vmz e z
A velocidade é




v  v x ex  v y e y  v z ez
z
A aceleração média é




a  a mx e x  a my e y  a mz e z

ez

ex
A aceleração é




a  a x ex  a y e y  a z ez
x

ey


r
y
10
Exemplo 12. Uma pedra cai dum penhasco com velocidade v = 10 m/s na horizontal. a)
Descreva o movimento,
ou seja, determine vx(t), vy(t), x(t) e y(t). b) Obtenha os ângulos

 e   de r e com a horizontal em t =1.0 s.
a) Descreva o movimento, ou seja, determine vx(t),
vy(t), x(t) e y(t).
As componentes da velocidade são:
v x  10 m/s

v
v y  voy  gt  0  gt  9.8t
As componentes do vetor posição são:
x  x0 x  v0 x t  0  10t  10t
1 2
1
y  y0  v0 y t  gt  0  0  9.8t 2  4.9t 2
2
2
 
b) Obtenha os ângulos  e  ' que r e v
fazem com a horizontal em t =1.0 s.





r  xex  yey  (10 t ex  4.9 t 2 ey ) m





v  v x ex  v y e y  (10 ex  9.8te y ) m/s
y
tg    0,49 t  (0.49 )(1 s)  -0.49
x
  26o
tg  
vy
vx
 '  44o
  0,98 t  (0.98)(1 s)  -0.98
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