ETE_Modulo_I

APRESENTAÇÃO
Esta apostila corresponde ao primeiro capítulo do curso de Eletrotécnica, o qual tem como
finalidade introduzir ao aluno do curso de Engenharia Produção os principais fundamentos da
Eletrotécnica, de maneira simples e prática. Todos os assuntos do curso serão voltados ao chão de
fábrica, ou seja, terão uma abordagem mais técnica, e não somente focada na engenharia.
PROFESSOR: Leonardo Jose Amador Salas Maldonado
EMENTA:
Circuitos de corrente contínua: série, paralelo e misto. Voltímetros. Amperímetros. Corrente
alternada. Transformadores. Circuitos magnéticos. Eletroímã. Máquinas de corrente contínua.
Máquinas de corrente alternada. Alternadores. Motores monofásicos e trifásicos. Ensaios elétricos de
instalação. Chaves magnéticas. Disjuntores. Acessórios para iluminação.
Introdução:
SEGUNDA GUERRA MUNDIAL
Tratado de Versalles > Engenharia de produção
Ferdinand Porsche –

Professor Doktor Ingenieur Honoris Causa (Dr. h.c. Ing.)
(Maffersdorf, 3 de setembro de 1875 — Stuttgart, 30 de janeiro de 1951)
2
Produção industrial segunda guerra
Engenharia no ano século XXI - OBSOLENCIA PROGRAMADA
Procura de uma solução de engenharia
NÃO MUITO BOA
Conhecida como “Centennial Light Bulb”, ou lâmpada centenária, ela está localizada em uma central
de bombeiros na Califórnia e foi instalada em 1901. Desde então, a lâmpada de 60 watts funciona 24
horas por dia, operando com cerca de 4 watts. A data exata do início de seu funcionamento não é
conhecida, mas o aniversário do curioso objeto acontece no dia 18 de junho.
3
O problema de Europa é o problema mundial:
“Comprar coisas que não preciso com dinheiro que não tenho “ > Agiotagem bancário
Uma breve História
No século XVIII o francês Alejandro Volta inventou a pilha, com isto os físicos da época dispuseram
de uma nova forma de energia, a energia elétrica limpa e fácil de transmitir .
A corrente continua resultou ser tão útil que primeiramente substituiu os sistemas de iluminação a gás,
e posteriormente, com o invento do motor elétrico, se utilizou também como uma fonte motriz. Em
1838, Samuel Morse inventor do telégrafo começa a utilizar a corrente continua para a transmissão de
dados.
O problema que a energia elétrica em corrente continua apresentava era a transmissão a longas
distâncias devido a que sua perda era significativa, estas são conhecidas por perdas de linhas ou
perdas por efeito Joule, as quais dependem da corrente e a resistência do material condutor.
A solução técnica da época foi mudar de corrente continua para alternada já que esta permite a
utilização de transformadores.
4
Nikola Tesla (Eng elétrico Yugoslavo)
Veja como é um sistema de transmissão de energia elétrica:
.
Definição de transformador:
5
É um equipamento estático que transfere energia entre seus enrolamentos provocando a variação
dos valores de tensão e corrente mantendo os valores de potência e de freqüência constantes.
Constituído de dois enrolamentos e um núcleo que os interliga magneticamente.
Leis fundamentais do eletromagnetismo
Experiência de Oersted:
“Todo condutor percorrido por uma corrente elétrico cria em torno de si um campo magnético”.
Lei de Faraday:
“Todo condutor mergulhado em um campo magnético variável terá em seus terminais uma fem
(força eletromotriz) induzida”.
e(t) = - N
d
dt
onde: N = número de espiras
d
= variação do fluxo magnético no tempo
dt
6
Lei de Lenz:
“A corrente que aparece em um circuito elétrico fechado, em função de uma fem (força
eletromotriz) induzida, tem sentido tal a anular a causa que lhe deu origem”.
A energia elétrica é utilizada de duas formas, continua e alterna.
Corrente Contínua:
É a corrente que passa através de um condutor ou de um circuito elétrico somente em um
sentido. Uma fonte de tensão contínua pode variar o valor de sua tensão de saída, mas se a
polaridade for mantida a corrente fluirá somente em um sentido.
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Corrente Alternada:
São correntes que possuem picos positivos e negativos passando por um valor nulo num
intervalo de tempo.
Leis fundamentais da corrente continua
Lei de Ohm
A lei de OHM é uma fórmula matemática que estabelece a relação entre as três grandezas
fundamentais da eletricidade: a corrente, a resistência e a tensão (tensão : também conhecida como
diferença de potencial). Foi descoberta pelo alemão George S. Ohm.
As grandezas elétricas são representadas por símbolos (letras), veja a seguir:
Grandeza
tensão
Símbolo
U ou V
Unidade
Volt (V)
corrente
I
Ampère (A)
resistência
R
Ohm (Ω)
potência
P
Watts (W)
Tensão
A diferença de potencial entre os terminais de um circuito é igual ao produto da resistência
desse circuito pela intensidade da corrente elétrica que passa por tal circuito.
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Corrente
A intensidade da corrente elétrica que percorre o circuito é igual à divisão da diferença de
potencial entre os terminais desse circuito pela resistência que esse circuito apresenta à passagem da
corrente elétrica.
I=V/R
Resistência
A resistência que um circuito, apresenta a passagem da corrente elétrica é igual à divisão da
diferença de potencial (tensão) entre os terminais desse circuito pela intensidade da corrente que por
ele passa.
Veja como fica a representação da lei de OHM através de uma fórmula matemática:
R=V/I
Potência
A potência elétrica corresponde a um triangulo onde temos 3 componentes , a hipotenusa
chamada de potencia aparente em VA , o cateto adjacente , chamada de potencia ativa em watt e o
cateto oposto chamada de potencia reativa em VAR .
O ângulo formado entre a hipotenusa e o cateto adjacente se conhece como  e seu coseno  como
fator de potencia. Quando o ângulo entre a tensão e a corrente e zero o fator de potencia é unitário
nesta condição a potencia aparente se iguala a potencia ativa.
Exemplo “ O chuveiro
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Leis de Kirchhoff
As Leis de Kirchhoff são empregadas em circuitos elétricos mais complexos, como por
exemplo circuitos com mais de uma fonte de resistores estando em série ou em paralelo. Para estudálas vamos definir o que são Nós e Malhas:
Nó: é um ponto onde dois (ou mais) condutores são ligados.
Malha: é qualquer caminho condutor fechado.
Fig. 1: Circuito com várias malhas e nós
Analisando a figura 1, vemos que os pontos a e d são nós, mas b, c, e e f não são. Identificamos
neste circuito 3 malhas definidas pelos pontos: afed, adcb e badc.
Primeira lei de Kirchhoff (lei dos nós)
Em qualquer nó, a soma das correntes que o deixam(aquelas cujas apontam para fora do nó) é
igual a soma das correntes que chegam até ele. A Lei é uma conseqüência da conservação da carga
total existente no circuito. Isto é uma confirmação de que não há acumulação de cargas nos nós.
Segunda lei de Kirchhoff (lei das malhas)
A soma algébrica das forças eletromotrizes (f.e.m) em qualquer malha é igual a soma algébrica
das quedas de potencial ou dos produtos iR contidos na malha.
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Aplicando as leis de Kirchhoff
Exemplo 1: A figura 1 mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes valores:
E1=2,1 V, E2=6,3 V, R1=1,7 Ώ, R2=3,5 Ώ. Ache as correntes nos três ramos do circuito.
Fig. 1: Circuito com várias malhas e nós
Solução: Os sentidos das correntes são escolhidos arbitrariamente. Aplicando a 1ª lei de
Kirchhoff (Lei dos Nós) temos:
i1 + i2 = i3
Geração da tensão alternada
Funcionamento do gerador elementar, que é um tipo de fonte de fem, gera a corrente
alternada. É dito elementar por ser um modelo simplificado dos grandes geradores. No entanto seu
princípio de funcionamento é o mesmo que dos geradores encontrados em grandes usinas.
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FIGURA 1 – GERADOR ELEMENTAR
E da forma de onda resultante do processo de geração que se obtém a fórmula da Tensão
Instantânea:
e  Emáx  sen
A equação e  Emáx  sen é também válida quando tratamos de corrente. Neste caso a
equação fica:
i  I máx  sen
Observe que são utilizadas letras minúsculas (e,i) para denotar uma grandeza na forma
instantânea.
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Conceitos sobre a tensão senoidais
Valor Instantâneo
V(t )  2V0 Sent => Função senoidal
Valor de pico
Vp =
2Vo
Valor de pico a pico
Vpp = 2 2Vo
Valor médio
Vm =
1
2
2

2V0 Sent.dt
0
No caso da corrente alterna Vm = 0
Valor efetiva
Ve =
1
2

2

2
2V0 Sent dt
0
No caso da expressão apresentada para a tensão instantânea Ve = V 0
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Principio de Funcionamento do transformador:
Aplica-se uma tensão alternada (V1) ao enrolamento primário do transformador representado na
figura abaixo. Verifica-se que o enrolamento primário é um circuito elétrico fechado aparecendo então
uma corrente I0 denominada de corrente de excitação. Esta corrente cria no enrolamento primário um
fluxo magnético variável (-
d
), conforme prediz a experiência de Oersted, que circulará pelo
dt
caminho de menor relutância oferecida pelo núcleo, cortando assim o enrolamento secundário
originando uma fem (força eletromotriz) induzida, conforme prevê a Lei de Faraday.
Observe que para facilitar a explicação, considera-se que:

O transformador é ideal, isto é, sem perdas internas;

O secundário está em aberto (sem carga), logo sem circulação de corrente.
Relações do Transformador ideal
Da lei de Faraday tem-se:
e(t) = - N
d
, aproximando e(t) = V(t)
dt
Então:
V1= - N 1
d
(primário)
dt
V2 = - N 2
=>
V
d
= 1
dt
N1
V
d
d
(secundário) =>
= 2
dt
dt
N2
Assim
V1
V
= 2
N1
N2
Por tanto:
V
N
1  1
V
N
2
2
14
Do Conceito de Potência
A potência primária (S1)e a secundaria (S2) no transformador ideal é considerada iguais
Isto é S1 = S2
, ou seja,
V1 I1 = V2 I2
=>
V
I
1  2
V
I
2
1
Associando as equações já vistas, tem-se:
V
N
I
1  1  2
V
N
I
2
2
1
= a = relação de transformação
Exercícios:
Em um transformador, o lado primário possui uma tensão de 220 volts e uma corrente de 6
Ampéres, enquanto que o lado secundário possui uma corrente de 32 Ampéres. Pede-se o valor da
tensão no lado secundário deste transformador.
Termos utilizados em transformadores:
Transformador Monofásico:
São transformadores que possuem apenas um conjunto de bobinas de Alta e Baixa tensão
colocado sobre um núcleo.
Diagrama de um transformador monofásico
15
Disposição real das bobinas
Transformadores Trifásicos:
São transformadores que possuem três conjuntos de bobinas de Alta e Baixa tensão colocadas
sobre um núcleo. O funcionamento é idêntico a um transformador monofásico, uma vez que a sua
constituição é de três transformadores monofásicos entre si.
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Tensão Nominal:
São valores de tensão projetados e especificados pelo fabricante para funcionamento adequado
do equipamento. Sempre que ligar um transformador deve-s observar as suas tensões nominais e e
compará-las com tensões de linha e de carga para não danificar qualquer elemento do circuito.
Enrolamento Primário:
É o enrolamento do transformador que recebe a energia.
Enrolamento Secundário:
É o enrolamento do transformador que fornece a energia a uma carga.
Enrolamento de Alta Tensão (AT):
É o enrolamento do transformador que possui maior valor de tensão nominal.
Enrolamento de Baixa Tensão (BT):
É o enrolamento do transformador que possui menor valor de tensão nominal.
Transformador Elevador:
São os transformadores que elevam os valores de tensão recebidos, isto é, o enrolamento
primário coincide com o enrolamento de baixa tensão.
Transformador Abaixador:
São os transformadores que abaixam os valores de tensão recebidos, isto é, o enrolamento
primário coincide com o enrolamento de alta tensão.
Potência Nominal:
É a máxima potência que pode ser transferida do enrolamento primário para o enrolamento
secundário sem danos ao equipamento. Esta potência é especificada pelo fabricante e deve ser contida
na placa de identificação. É fornecida em VA, KVA, MVA.
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Corrente Nominal:
É o valor de corrente que circula em um enrolamento quando o transformador estiver
trabalhando com potência e tensão nominal.
Freqüência Nominal:
É a freqüência para qual o equipamento foi projetado e fabricado. No caso do Brasil é de 60 Hz.
Classe de isolamento:
É a classe que determina o valor da temperatura que os componentes do transformador devem
suportar sem sofrerem alterações em suas características. É dada em 0C.
Classe de tensão de isolamento:
É a classe que determina o valor de tensão que os componentes devem suportar sem danos as
suas características iniciais. É dado em KV. Exemplo: a tensão de alimentação do transformador de
distribuição é de 13,8 KV e a classe de tensão de isolamento é de 15 KV.
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Corrente de Excitação:
É a corrente que circula em um enrolamento do transformador quando este é alimentado com sua
tensão nominal e o outro enrolamento está aberto. É representado por I0 e é dada em % da corrente
nominal, sendo responsável pela produção do fluxo magnético e suprir perdas no núcleo. Ela não deve
ser superior a 6% da corrente nominal.
Correntes Parasitas ou Correntes de Foucault:
Sendo o núcleo feito de um material condutor e este mergulhado em um campo magnético
variável, segundo a Lei de Faraday, nele deverá induzir forças eletromotrizes. Considerando o núcleo
como um circuito fechado nele aparecem correntes que são chamadas de correntes parasitas.
Estas correntes, por sua vez provocam perdas por aquecimento no núcleo. Para reduzir o valor
desta corrente deve-se aumentar a resistência elétrica a sua laminação e isolação das chapas. Pode-se
também, com este intuito, adicionar 4% de silício a composição das chapas.
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Ferro maciço
Ferro laminado
Histerese:
Pode-se entender como a resistência que as partículas de um material ferromagnético oferece as
mudanças de polaridade de um campo magnético.
Por facilidade tomar-se-a um corpo supostamente constituído de pequenos imãs elementares.
Assim, cada vez que o corpo for colocado na presença de um campo magnético, suas partículas
tenderão a orientar-se. Como o núcleo do transformador está mergulhado em um campo magnético
variável suas partículas tenderão a orientar-se constantemente. Podem-se reduzir os efeitos da histerese
com o uso de ligas de aço silício de grão orientado.
Autotransformador:
Um transformador pode ser constituído por um único enrolamento, sendo assim, o primário
coincide com o secundário. Este tipo de transformador denomina-se de autotransformador,
representado abaixo. Ele possui maior rendimento e pequenas perdas de capacidade em KVA, porém
se usados para grandes variações de tensão estaremos sacrificando os itens de isolamento do primário e
secundário.
Rendimento de um autotransformador:
É a relação entre a potência que uma máquina fornece e a potência que a mesma recebe, podendo
ser dado por:
η=
PotênciaSecundária
x 100%
Potência Pr imária
Os transformadores são os aparelhos que apresentam os maiores rendimentos.
Léxico técnico
Parte Ativa
Formada pelos bobinados primários e secundários.
Impedância:
É um valor percentual que indica a queda de tensão produzida internamente em um
transformador, dando também a ideia das perdas internas.
Polaridade
É a marcação existente nos terminais (dos enrolamentos) dos transformadores indicando o
sentido da circulação de corrente em um determinado instante em conseqüência do sentido do fluxo
produzido.
Corrente de Linha (IL)
É a corrente que circula na rede de alimentação do circuito independe da conexão deste circuito.
Corrente de Fase (IF)
É a corrente que circula no elemento de um circuito, logo, depende da conexão deste circuito.
Tensão de Linha (VL)
21
É a tensão entre duas linhas na rede de alimentação do circuito, independe da conexão deste
circuito.
Tensão de Fase (VF):
É a tensão aplicada sobre o elemento do circuito, logo depende da conexão feita.
Conexão Triângulo (∆):
VL = VF
IL = IF .
3
Conexão Estrela (Y):
VL = VF .
3
IL = IF
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Transformador de Potência a Óleo
Os transformadores comumente utilizados na distribuição são do tipo imerso em óleo mineral,
extraído do petróleo. Esses transformadores estão colocados em tanques cheios de óleo com radiadores
para aumentar a circulação do óleo por convecção e a superfície irradiadora do calor..
As ligações do transformador devem ser realizadas de acordo com o diagrama de ligação de sua
placa de identificação. É importante que se verifique se os dados da placa de identificação estão
coerentes com o sistema ao qual o transformador vai ser instalado.
As ligações das buchas deverão ser bem apertadas, porém cuidando para que nenhum esforço
seja transmitido aos terminais, o que ocasionaria afrouxamento das ligações, mau contato e posteriores
vazamentos por sobre aquecimento no sistema de vedação.
Com a finalidade de adequar a tensão do transformador à tensão de alimentação, o transformador
é dotado de derivações (tap’s) que podem ser escolhidos mediante a utilização de um painel de
ligações ou comutador. Conforme projeto e tipo construtivo, este dispositivo é fixado junto à parte
ativa, dentro do tanque, podendo ser acionamento externo ou acionamento interno. Para fazer-se o
acionamento interno. Deve-se abrir a janela de inspeção para executar a comutação. Para o
acionamento externo a comutação é feita diretamente no manípulo existente na tampa. Em ambos os
casos o transformador deverá estar dês-energizado.
O tanque deverá ser efetiva e permanentemente aterrado. Uma malha de terra permanente de
baixa resistência é essencial para uma proteção adequada.
23
No tanque está previsto um ou dois conectores para aterramento.
A malha de terra deverá ser ligada a esses conectores por meio de um cabo nú de cobre de bitola
adequada e a mais curta possível.
Acessórios.
Desumidificador de Ar (Sílica-Gel):
A fim de que sejam mantidos elevados os índices dielétricos do óleo dos transformadores estes
são equipados com secadores de ar que absorvem a umidade do ar aspirado e que flui para o
transformador.
Rele de Gás (tipo Buchholz)
O relé Buchholz (figura abaixo) tem por finalidade proteger aparelhos elétricos que trabalham
imersos em líquido isolante, detectando as descargas parciais geradas pela isolação defeituosa do
enrolamento, do ferro ou mesmo contra a terra, podem causar avarias de grande monta caso o defeito
permaneça despercebido do operador durante algum tempo.
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Termômetro com Contatos
Com haste rígida
Este termômetro possui dois ponteiros de ligação e um de indicação de temperatura máxima
atingida em determinados períodos.
Indicador de Nível de Óleo
Os indicadores magnéticos de nível tem por finalidade indicar o nível de óleo dielétricos, são
providos de contatos para alarme NF e NA.
.
Tubo de Explosão
Destina-se a proteger o transformador contra sobre pressão súbita.
Consiste basicamente de um tubo que de um lado é conectado ao tanque do transformador e no
outro lado possui um disco de ruptura.
Em caso de súbita elevação de pressão que ultrapasse o valor de ruptura do disco haverá o
rompimento com abertura total da sessão de passagem fazendo a pressão cair rapidamente sem
danificar outras partes do transformador.
Válvula de Alívio de Pressão
A válvula de alívio de pressão de fechamento automático é instalada em transformadores imersos
em líquido isolante com a finalidade de protegê-los contra possível deformação ou ruptura do tanque,
em casos de defeito interno com aparecimento de pressão elevada. A válvula é extremamente sensível
e rápida (opera em menos de dois milésimos de segundo), fecha-se automaticamente após a operação
impedindo assim a entrada de qualquer agente externo no interior do transformador.
Relé de Pressão Súbita
O relé de pressão súbita é um equipamento de proteção para transformadores do tipo selado, é
instalado acima do nível máximo do líquido no espaço com gás compreendido entre o líquido e a
tampa do transformador.
O relé é projetado para atuar quando ocorrem defeitos no transformador que produzem pressão
interna anormal sendo sua operação ocasionada somente pelas mudanças rápidas da pressão interna
independente da pressão de operação do transformador.
Para aumentos de pressão de 0,4 atm/seg o relé opera em cerca de 3 ciclos. Para aumentos de
pressão mais rápidos (1 atm/seg) a operação dá-se em menos de um ciclo. Por outro lado, o relé não
opera devido a mudanças lentas de pressão próprios do funcionamento normal do transformador, bem
como durante perturbações do sistema (raios, sobre tensão de manobra ou curto-circuito) a menos que
tais perturbações produzam danos no transformador.
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Subestação Aérea
Subestação abrigada
27
Sub estação, muro corta fogo e poço
MUFAS
]
28
RELE BUCHOLTZ
29
Tanque de expansão
Valvula de pressão
Termômetro
Secador
30
Características do Oleo
Obs . No caso de oleos minerais ( derivados do pertroleo)
<Filminho>
Transformador de potencia a seco
Neste caso o transformador não tem líquido isolante, são constituídos segundo os mesmos
princípios que os transformadores isolados com óleo, porém não há líquido isolante. Os materiais
isolantes dos enrolamentos são substituídos por outros de maior resistência ao calor e os enrolamentos
ficam expostos.
Pode haver uma proteção mecânica, constituída por um invólucro com aberturas para permitir a
circulação do ar por convecção térmica a fim de esfriar o enrolamento.
32
Simbologia:
Designação
Forma de Ligação
Bobina
Transformador
Monofásico
Auto-transformador Monofásico
33
Variador de Tensão Monofásico (Varivolt
Monofásico)
Transformador Trifásico Ligado em
Triângulo-Estrela
Transformador Trifásico Ligado em
Estrela-Estrela
Transformador Trifásico Ligado em
Triângulo-Triângulo
34
Transformador Trifásico Ligado em
Estrela-Triângulo
Auto-Transformador Trifásico Ligado em
Triângulo
Auto-Transformador Trifásico Ligado em
Estrela
Variador de Tensão Trifásico Ligado em
Estrela (Varivolt Trifásico)
Transformador Monofásico de
Distribuição Rural
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Transformadores de medição
Os
transformadores
para
instrumentos
são
equipamentos
projetados
e
construídos
especificamente para alimentarem instrumentos elétricos de medição, controle e proteção. A função
dos TI é a redução da magnitude da tensão ou da corrente em uma proporção definida, mantendo a
posição vetorial.
Transformador de Potencial (TP)
É um transformador cujo enrolamento primário é conectado em derivação com o circuito
principal sendo seu enrolamento secundário destinado a alimentar seus sensores de potencial dos
instrumentos elétricos de medição, controle ou proteção. Sua principal função é reduzir a tensão do
circuito principal para valores facilmente mensuráveis.
Os TP’s são projetados para uma tensão secundária padrão de 115 volts.
36
Exemplo: Determinar a indicação obtida em um voltímetro ligado a um TP, de relação de
transformação 13.800/115 V, se o primário estiver ligado a uma rede de 13.200 volts.
Montando uma regra de três:
13.800 ...............115
13.200 ............... x
x = 110 volts, logo a leitura será de 110 volts.
Transformador de Corrente (TC)
É um transformador cujo enrolamento primário é conectado em serie com o circuito principal
sendo seu enrolamento secundário a alimentar os sensores de corrente dos instrumentos elétricos de
medição, controle ou proteção. Sua principal função é reduzir a corrente do circuito principal para
valores facilmente mensuráveis.
O secundário de um TC esta padronizado para uma corrente nominal de 5A.
Nas figuras abaixo vê-se os diferentes formatos dos TCs:
37
Exemplo: Um amperímetro ligado ao secundário de um TC de relação de transformação 200/5
A, indica uma leitura de 3,75 Ampéres, qual a corrente que circula pela linha?
Montando uma regra de três:
200 ............ 5
x ................ 3,75
x = 150 Ampéres, logo a corrente na linha é de 150 Ampéres.
Obs. o secundário de um TCs nunca deve ficar sem carga, pois apresenta uma alta tensão em
seus terminais o que pode originar uma falha no isolamento.
Comportamento da corrente nos componentes mais usuais num sistema elétrico
Na resistência Ir =
Na indutância IL=
V(t )
R
1
V( t ) dt
L
38
Capacitância
Ic = C
dV( t )
dt
Como a tensão V(t )  2V0 Sent , podemos concluir que a corrente Ir esta em fase com a
tensão. (multiplicação por escalar) , isto é:
Ir =
1
2V0 Sent
R
Como a corrente num indutor é a integral da uma onda senoidal, isto é - cos t
A expressão fica:
IL = 
1
 2V0 cos t
L
Isto é existe uma defasagem de 90° em atraso com a tensão V(t).
Já no caso do capacitor a corrente corresponde à derivada de uma onda senoidal, isto é + cos t
I c = C 2V0 cos t
Isto é a corrente esta adiantada 90° com relação à tensão V(t).
Nota: a defasagem a que se faz referência só existe pelo fato de ser uma função senoidal, caso
seja uma outra função não será aplicável.
Reapresentação no plano complexo:
39
Conceito de fasores
Potência Elétrica e fasores
Triângulo de Potência
Potência Aparente (S)
Corresponde ao produto do valor efetivo da tensão por o valor efetivo da corrente formando a
hipotenusa do triângulo.
Sua unidade é o VA, também existem seus múltiplos os KVA e os MVA.
Smono = V . I
Strifásico =
3 .V.I
Φ = defasagem
cos Φ = fator de potência
Potência Ativa (P)
É a potência que realmente é transformada em trabalho, sua unidade é o W seus múltiplos KW,
MW.
Pmono = V . I . cos Φ
Ptrifásico =
3 . V . I . cos Φ
Ex Placa de motor
40
Potência Reativa (Q):
É a potência que não produz trabalho mecânico, porém é obrigatoriamente consumida na geração
dos campos magnéticos dos bobinados.
Sua unidade é o Var, seus múltiplos Kvar, MVar.
Qmono = V . I . sen Φ
Qtrifásico =
3 . V . I . sen Φ
Potência complexa
Utilizando as ferramentas fasoriais também pode-se calcular as potências aparente, ativa e
reativa.
Seja A tensão efetiva Vef  Vef  v V
E a corrente efetiva I ef  I ef  i A
41
No caso da potência deve-se considerar a defasagem entre a tensão e a corrente, isto é, a
diferencia entre o ângulo da tensão e a corrente, assim para o cálculo da potência considera-se o
complexo conjugado da corrente , definido como I ef  ief    i
A expressão para a potência S = Vef  v ief    i =
Vef I ef  v   i
Onde a expressão  v   i corresponde a defasagem
Portanto, a potência ativa corresponde a parte real do produto
Vef  v ief    i e a parte
reativa corresponde á parte imaginaria de este produto.
Exercícios:
1) Calcule as potências em um sistema monofásico que possui uma tensão de 220 volts, uma
corrente de 1,4 Ampéres e um fator de potência de 0,94.
2) Calcule as potências em um sistema trifásico, onde possui uma tensão de 380 volts, uma
corrente de 60 Ampéres com um defasamento de 10o.
3) Calcule S, P e Q para um sistema trifásico que possui as seguintes características:
V= 380 volts
I= 90 Ampéres
Cos Φ = 0,89
4) Dos dados de placa de um motor trifásico, aparece:
Tensão 380V, corrente 4,86A e o fator de potência 0,81, utilize os fasores para encontrar a
potência aparente, potência ativa e a potência reativa do motor.
5) Com os mesmos dados de placa, mas considerando um rendimento de 85,5% refaça as contas.
42
A impedância nos circuitos elétricos
Viu-se a expressão da corrente através dos componentes mais usuais num sistema elétrico:
Na resistência Ir =
Na indutância IL=
Capacitância
V(t )
R
1
V( t ) dt
L
Ic = C
dV( t )
dt
É importante encontrar e expressão das resistências que cada componente apresenta ao circuito,
lembrando a lei de Ohm:
R=
V
i
De forma análoga encontra-se uma expressão para a resistência de um indutor e um capacitor,
para isto utiliza-se a transformada de Laplace uma ferramenta matemática que nos permitirá este
cálculo.
Aplicando a transformada de Laplace a nossas equações:
Na resistência Ir =
V(t )
R
/
=> Ir (s ) =
V( s)
R
=> R =
V( s )
Ir( s )
Na indutância
IL=
V( s )
1
1
V( t ) dt /  => IL(s) =
V( s ) => ZL =
= Ls = j L = jX L = X L   90

I L(s)
L
Ls
Capacitância
Ic = C
dV( t )
dt
/  => Ic (s ) = Cs V(s ) => Zc =
V( s )
I c(s)
=
1
1
1
j = -j X c = X c   90
=
=Cs
C
jC
Onde S = j  e por sua vês   2f , no caso do Brasil f= 60Hz
43
Análise de circuitos
Com os conceitos de impedância e fasores analisaremos os diferentes circuitos típicos
Circuito RL série
Composto por um indutor e uma resistência associados em série. Portanto, as características
desse circuito será uma composição das características dos circuitos puramente resistivo e puramente
indutivo.
Como sabemos pela 2ª Lei de Kirchhoff, a somatória fasorial de “VR” e “VL” deve resultar
na tensão aplicada “E”. Então, pela regra do paralelogramo, o diagrama fasorial ficará:
O ângulo entre a tensão aplicada e a corrente é o ângulo de fase do circuito.
A partir do diagrama fasorial mostrado podemos obter a série de relações abaixo:
E 2  VR2  VL2
cos  
VR
E
sen 
VL
E
tan  
VL
VR
44
Podemos também obter um diagrama de impedâncias. Basta fazer a divisão das tensões
pela corrente.
VR
R
I
VL
 XL
I
E
Z
I
Z é a oposição total oferecida a passagem da corrente e é dada em ohms (Ω).
O diagrama de impedâncias ficará então:
cos  
Z 2  R 2  X L2
R
Z
sen 
XL
Z
tan  
XL
R
Exemplo: para o circuito a seguir, calcular a corrente e as quedas de tensão, montando o
diagrama fasorial:
X L  2    f  L  X L  2    60  200  10 3  X L  75,4 
Z  R 2  X L2
I
 Z  60 2  75,4 2
 Z  96,4 
E
100
 I
 I  1,04 A
Z
96,4
VR  R  I  VR  60 1,04  VR  62,4 V
VL  X L  I  VL  75,4 1,04  VL  78,4 V
45
cos  
R
60
 cos  
 cos   0,622
Z
96,4
  51,5
Exemplo: para o circuito abaixo, calcular o valor das potências ativa, reativa e aparente e
montar o triângulo de potências.
tan  
VL
VR
I
 VR 
VR
R
100
 VR  100 V
tan 45
 I
100
 I 2A
50
P  I 2  R  P  2 2  50  P  200 W
Q  VL  I  Q  100  2  Q  200 VAr
S  P2  Q2
 S  200 2  200 2
 S  282,8 A
46
Circuito RC série
Um circuito RC série é obtido pela associação de um capacitor e um resistor em série.
Desta maneira, vai apresentar características que são comuns aos circuitos puramente capacitivo e
puramente resistivo, e é através dessas características que podemos montar o diagrama fasorial para
esse circuito.
Sabemos que VR está em fase com a corrente e VC está atrasada 90º da corrente. Sabemos
também que a soma fasorial de VR e VC nos dá a tensão aplicada E.
Podemos extrair as seguintes relações:
E 2  VR2  VC2
cos  
VR
E
sen 
VC
E
47
tan  
VC
VR
Dividindo-se todos os componentes do diagrama pela corrente, temos:
VR
R
I
VC
 XC
I
E
Z
I
Logo, o diagrama de impedâncias será:
Donde:
Z 2  R 2  X C2
cos  
R
Z
sen 
XC
Z
tan  
XC
R
Exemplo: calcular a corrente, o ângulo de fase e as quedas de tensão no circuito abaixo,
montando o diagrama fasorial.
48
XC 
1
1
 XC 
 X C  132,7 
2   f  C
2    60  20  10 6
Z  R 2  X C2
I
 Z  70 2  132,7 2  Z  150 
E
120
 I
 I  0,8 A
Z
150
VR  R  I  VR  70  0,8  VR  56 V
VC  X C  I  VC  132,7  0,8  VC  106,2 V
cos  
R
70
 cos  
 cos   0,467    62,2
Z
150
Potências
As potências num circuito RC série são as mesmas que aparecem num circuito RL série. As
fórmulas também são as mesmas, mudando apenas aquelas que estão em função da reatância (XL, XC)
ou em função da queda de tensão (VL, VC).
São elas:
P  V  I  cos 
P
Q  V  I  sen
VC2
XC
S V I
S  I2 Z
P  I2 R
P  VR  I
Q  I  XC
2
P
V R2
R
S
2
V
Z
S  P Q
2
2
cos  
P
S
sen 
Q
S
tan  
Q
P
Q  VC  I
2
49
Triângulo de potências
O triângulo de potências para um circuito RC série só difere do circuito RL série pela posição em
que fica a potência reativa. Vimos que no circuito RL a potência reativa é positiva. No circuito RC série, ela
é negativa.
Exemplo: calcular as potências ativas, reativa e aparente, montando o triângulo de potências para
o circuito abaixo:
XC 
1
1
 XC 
 X C  88,4 
2   f  C
2    60  30  10 6
Z  R 2  X C2
I
 Z  120 2  88,4 2  Z  149,05 
E
220
 I
 I  1,476 A
Z
149,05
S  E  I  S  220  1,476  S  324,7 VA
P  I 2  R  P  1,476 2  120  P  261,5 W
Q  I 2  X C  Q  1,476 2  88,4  Q  192,6 VAr
cos  
R
120
 cos  
 cos   0,805    36,4
Z
149,05
Circuito RLC série
O circuito RLC série é uma composição em série dos três tipos de circuitos puros.
50
Diagrama fasorial
Ao aplicarmos a tensão “E”, surge em todos os elementos uma queda de tensão. Essas quedas de
tensão e a corrente podem ser visualizadas num diagrama fasorial, construído observando-se as
características de cada um dos elementos. Ou seja, a queda de tensão “V R” estará em fase com a corrente,
“VL” estará adiantada 90º da corrente e “VC” estará atrasada 90º da corrente. Assim, colocando-se a corrente
na referência (eixo x), temos:
É óbvio que os valores de VL, VC e VR dependerão das respectivas reatâncias indutiva e
capacitiva e da resistência. No diagrama mostrado, VC é maior que VL, a título de exemplo. No entanto, num
circuito pode ocorrer o contrário, ou mesmo VL e VC podem ser iguais.
Podemos obter no diagrama a tensão total aplicada fazendo-se a soma fasorial das três quedas de
tensão, conforme a 2ª Lei de Kirchhoff.
51
Deste diagrama, podemos extrair as relações trigonométricas para o circuito RLC série.
sen 
VL  VC
E
cos  
tan  
VR
E
VL  VC
VR
E 2  VR2  VL  VC 
2
Dividindo-se todos os elementos do diagrama pela corrente, teremos o diagrama de impedâncias.
sen 
XL  XC
Z
cos  
tan  
R
Z
XL  XC
R
Z 2  R 2  X L  X C 
2
Exemplo: calcular a corrente, todas as quedas de tensão e montar o diagrama fasorial para o
circuito abaixo:
52
X L  2    f  L  X L  2    60  0,2  X L  75,4 
XC 
1
1
 XC 
 X C  132,7 
2   f  C
2    60  20  10 6
Z  R 2  X L  X C 
2
 Z  100 2  75,4  132,7
I
E
150
 I
 I  1,3 A
Z
115,3
2
 Z  115,3 
VR  R  I  VR  100 1,3  VR  130 V
VL  X L  I  VL  75,4 1,3  VL  98,1 V
VC  X C  I  VC  132,7  1,3  VC  172,5 V
cos  
R
100
 cos  
 cos   0,865
Z
115,3
  29,9
Potências no circuito RLC série
As potências nesse tipo de circuito são calculadas da mesma maneira que nos outros circuitos.
No entanto, como temos indutor e capacitor e as potências relativas desses componentes são opostas, vamos
identificá-las e calculá-las por:
QC  VC  I  I 2  X C 
VC2
XC
QL  V L  I  I 2  X L 
VL2
XL
QC = potência reativa capacitiva (VAr)
53
QL = potência reativa indutiva (VAr)
A potência reativa total (Q) é dada por:
Q  QL  QC
Ou:
Q  E  I  sen  S  sen  VL  VC   I  I 2   X L  X C  
VL  VC 2
X L  X C 
As demais potências são calculadas pelas mesmas fórmulas vistas nos circuitos RL e RC. O
triângulo de potências será construído, observando-se qual potência reativa é maior, se a capacitiva ou
indutiva. Se a indutiva for a maior, o triângulo deverá ficar voltado para cima, caso contrário, o triângulo
deverá ficar voltado para baixo.
Exemplo: no circuito abaixo, calcular as potências ativa, reativa e aparente e montar o triângulo
de potências:
Z  R 2  X L  X C 
2
I
 Z  40 2  60  30
2
 Z  50 
E
100
 I
 I 2A
Z
50
P  I 2  R  P  2 2  40  P  160 W
QL  I 2  X L  QL  2 2  60  QL  240 VAr
54
QC  I 2  X C
 Q C  2 2  30  Q C  120 VAr
Q  QL  QC
Q  240  120  Q  120 VAr
S  E  I  S  100  2  S  200 VA
cos  
R
40
 cos  
 cos   0,8    36,87
Z
50
Associações de componentes
Resistência equivalente
Indutância equivalente
A indutância equivalente de uma associação possui um valor tal que equivale a de todas as
indutâncias componentes da associação. A indutância equivalente é calculada da mesma maneira que a
resistência equivalente. Na associação série:
55
Le  L1  L2  L3
X Le  X L1  X L 2  X L3
Le = indutância equivalente (H)
XLe = reatância indutiva equivalente (Ω)
L1, L2, L3 = indutâncias componentes (H)
XL1, XL2, XL3 = reatâncias indutivas componentes (Ω)
Na associação em paralelo, temos:
Para duas indutâncias:
Le 
X Le 
L1  L2
L1  L2
X L1  X L 2
X L1  X L 2
Capacitância equivalente
A capacitância equivalente de associação paralela é dada pela soma das capacitâncias
componentes. A reatância capacitiva equivalente é calculada pelas mesmas fórmulas da resistência em
paralelo, ou seja:
Ce  C1  C2  C3    Cn
X Ce 
1
1
1
1
1



X C1 X C 2 X C 3
X Cn
56
Ce = capacitância equivalente (F)
XCe = reatância capacitiva equivalente (Ω)
C1, C2, C3, Cn = capacitâncias componentes (F)
XC1, XC2, XC3, XCn = reatâncias capacitivas componentes (Ω)
Para duas reatâncias:
X Ce 
X C1  X C 2
X C1  X C 2
Na associação série, a capacitância e a reatância capacitiva são dadas por:
Ce 
1
1
1
1
1



C1 C2 C3
Cn
X Ce  X C1  X C 2  X C 3    X Cn
Para duas capacitâncias:
Ce 
C1  C 2
C1  C 2
57
Exercícios de tensão alternada
1 – Calcular quanto tempo dura um semi-ciclo na freqüência de 50 Hz.
2 – Quantos ciclos ocorrem em um segundo na freqüência de 60 Hz?
3 – Quanto tempo uma corrente alternada de 60 Hz gasta para varrer o trecho compreendido entre 0 e 30º?
6 – Quanto tempo uma CA de 60 Hz gasta para atingir metade de seu valor máximo?
6.3. Exercícios de valores de uma tensão ou corrente alternada
1 – Para uma tensão alternada senoidal cujo valor eficaz é 200 V, determinar:
a) o valor máximo;
b) o valor de pico a pico;
c) o valor médio;
d) o valor instantâneo para α = 45º.
4 – Uma corrente alternada cruza o eixo das abcissas iniciando um semi-ciclo positivo em t = 0 s. Calcular
em que instante de tempo essa corrente de 60 Hz, cujo valor máximo é 10 A, atinge pela primeira vez o
valor de 6,5 A? E pela segunda vez?
58
5 – Qual o valor médio de um semi-ciclo da seguinte forma de onda?
6 – Qual o valor máximo de uma tensão senoidal que assume em t = 14 ms o valor -35 V, sendo sua
freqüência 60 Hz?
Exercícios de notação de fasores
3 – Fazer a representação senoidal e a soma de duas tensões E1máx = 60 V e E2máx = 100 V, estando E2máx
adiantada de E1máx de 45º.
4 – Determinar a resultante entre as duas tensões abaixo e calcular o ângulo formado entre a resultante e a
referência.
6.5. Exercícios de circuito puramente indutivo
1 – Calcular a corrente absorvida por um indutor de 150 mH, ligado a uma fonte de 220 V/60 Hz.
59
2 – Calcular a indutância de uma bobina que absorve uma corrente de 2,5 A, quando ligada a uma fonte de
20 V/60 Hz.
3 – Você dispõe de uma fonte de 10 V cuja freqüência pode ser variada. Nessa fonte é ligada uma bobina de
500 mH. Calcule os valores de corrente na bobina, quando a freqüência for:
a) 250 Hz;
b) 60 Hz;
c) 20 Hz
d) 0 Hz (tensão contínua).
5 – Qual deve ser a indutância de uma bobina a fim de que ela tenha uma reatância de 942  a uma
freqüência de 60 Hz?
6 – Uma bobina de resistência desprezível serve para limitar a corrente através dela em 50 mA, ao ser
aplicada aos seus terminais uma tensão de 25 V em 400 Hz. Calcule sua indutância.
7 – Uma corrente ca de 20 mA em 120 Hz está presente num indutor de 10 H. Qual é a reatância do indutor
e a queda de tensão através do indutor?
8 – Uma bobina de 20 H é ligada a uma linha de 110 V e 60 Hz. Se a bobina tiver uma resistência nula, qual
é a corrente e a potência consumida? Desenhe o diagrama de fasores.
9 – Dado o circuito com um indutor de 500 mH ligado a uma fonte v (t) = 20 sen (104 t ) determinar a
corrente do circuito, representando-a no tempo. Desenhe o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
6.6. Exercícios de circuito puramente capacitivo
1 – Calcular o valor da corrente num circuito onde a capacitância é 40 μF e a tensão aplicada 110 V/60 Hz.
2 – Determinar o valor da capacitância no circuito abaixo:
60
3 – No circuito abaixo, a fonte possui freqüência ajustável. Calcule o valor da corrente para as seguintes
freqüências:
a) 250 Hz;
b) 0 Hz.
4 – Um capacitor num circuito de telefone tem uma capacitância de 3 F. Que corrente passa através dele
quando se aplicam 15 V em 800 Hz em seus terminais?
5 – Uma corrente ca de 25 mA e 120 Hz passa por um circuito contendo um capacitor de 10 F. Qual a
queda de tensão através do capacitor?
6 – Um capacitor retira 6 mA quando ligado a uma linha de 110V e 60 Hz. Qual é a corrente que seria
consumida se tanto a freqüência quanto a capacitância fossem duplicadas?
7 – Um capacitor de 20 F num circuito amplificador de áudio produz uma queda de tensão de 5 V em 1
kHz. Calcule a corrente que passa pelo capacitor.
8 – Um capacitor é introduzido num circuito para se obter uma corrente adiantada de 5A Se a tensão for de
110V em 60 Hz, qual a capacitância?
61
Modelo real do transformador (parâmetros do transformador)
Relação de Transformação
É a relação que existe entre a tensão ou corrente do primário e a tensão ou corrente do secundário de
um transformador.
Para a figura abaixo:
Para o transformador a vazio, tem-se o que se convencionou a chamar de relação de transformação
teórica;
a=
E1
(1)
E2
Em que E1 e E2 são os valores eficazes das fem (forças eletromotrizes) induzidas nos enrolamentos
primário e secundário respectivamente. A partir da figura acima se pode construir o circuito equivalente de
um transformador a vazio, mostrado abaixo:

i1
u1
r1
x1
r2
x2
i2
u2
Z
62
Onde:
r1 → resistência do enrolamento primário;
x1 → reatância de dispersão do enrolamento primário=2 f L1
E1 → fem (força eletromotriz) induzida no primário;
r2 → resistência do enrolamento secundário;
x2→ reatância de dispersão do enrolamento secundário=2 f L2
E2 → fem (força eletromotriz) induzida no secundário.
Modelo real do transformador
Portanto
Re1 = (R1 + a2 R2)
Re1 = 2a2R2 = 2R1, do mesmo jeito para a reatância indutiva equivalente:
XLe1 = 2a2XL2 = 2XL1
R2 =
XL2 =
Re1
2a 2
R1 =
XLe1
2a 2
XL1 =
Re1
2
XLe1
2
Os valores R e1 , XL e1 e Z e1 são determinados pelos ensaios em curto circuito e circuito aberto de
transformador.
Determinação dos parâmetros no ensaio de curto circuito
Para o circuito primário tem-se uma corrente de curto circuito Icc medida e uma tensão de curto
circuito Vcc mede-se também a potência de curto circuito.
Ze 1 =
Vcc
I cc
Impedância equivalente primária calculada a partir dos valores de corrente e tensão
na condição de curto circuito
Pcc = I2cc Re1
=> Da potência de curto circuito podemos calcular Re1
63
Pcc
I cc2
Re1 =
12)
Ze1 =
Re1  XLe1
XLe1 =
2
2
Z e1  Re1 => Podemos calcular a reatância indutiva primária
2
2
Os parâmetros do transformador em função dos valores obtidos no ensaio de curto circuito e circuito
aberto:
2a2R2 = Re1
2R1 = Re1
2a2XL2 = XLe1
2XL1 = XLe1
Determinação dos parâmetros no ensaio de circuito aberto
Como vemos no desenho do modelo de transformador real existe uma corrente de magnetização,
necessária para que o transformador trabalhe, a potência dissipada por esta corrente é chamada de perdidas
de ferro.
Como o fio de cobre apresenta uma resistência ôhmica pura ao circular uma corrente por ela se produz
uma potência por efeito Joule I2Rcu, esta potência perdida no cobre depende da magnitude da corrente que
circula. No entanto a perda de ferro e um valor fixo.
Para obter as perdas no cobre Pcc no ensaio e curto circuito ao valor do watimetro em curto circuito
devemos diminuir as perdas do ferro achadas no ensaio de circuito aberto já que estas são constantes e
independem das condições de corrente das bobinados.
Assim:
Pfe = Potência indicado pelo watímetro quando o transformador esta em aberto e tem um valor fixo.
Pcu = Potência dissipada no fio de cobre em função da magnitude da corrente que circula.
64
Com a montagem do ensaio em curto-circuito, os instrumentos permitem a obtenção de:
Pcc → Potência fornecida ao transformador em curto;
Vcc → Tensão de curto-circuito medida no enrolamento de AT;
I1n, I2n → Correntes nominais nos dois enrolamentos.
Exercícios
1) Calcule a tensão de entrada no primário de um transformador ensaiado a vazio com os seguintes
parâmetros:
r1 = 32 Ω
f = 60 Hz
L1 = 45 mH
I0 = 3,2 + j4,6 A
65
E1 = 276 - j 49 V
2) Calcule a fem (força eletromotriz) induzida no primário de um transformador ensaiado a vazio,
onde foi aplicada uma tensão de entrada de 127 + j 100 volts, dando os seguintes valores:
r1 = 2,4 Ω
x1 = 32 Ω
I0 = 7,2 – j 5,6 mA
3) Um transformador distribuição de 500kva 2300/208 , 60hz teve seus testes de aceitação constando
de um ensaio a vazio e um de curto circuito, antes de ser colocado em serviço como transformador
abaixador . A partir desses ensaios deve se calcular seus parâmetros:
Ensaio a vazio: Vob = 208V Iob= 85A Po = 1800w
Ensaio de curto circuito Vcc = 95V Icc = 217,5A Pcc=8,2kw
Valores Unitários (sistema por unidade)
O sistema "por unidade", ou, mais brevemente, sistema p.u., consiste na definição de valores de base para
as grandezas (tensão, corrente, potência, etc.), seguida da substituição dos valores das variáveis e constantes
(expressas no Sistema Internacional de unidades) pelas suas relações com os valores de base pré-definidos.
Para uma grandeza G o valor em p.u. numa base Gb obtém-se então através da expressão Gpu=G/Gb.
Exemplo 1:
Numa base de corrente Ib=50 A, a corrente I=30 A terá o valor I pu 
I
30

 0,6 pu
I b 50
Os cálculos serão realizados no sistema p.u., e os resultados finais novamente convertidos para o S.I. através
de G=Gpu.Gb, ou seja, multiplicando o valor em p.u. pelo valor da base.
Bases
Dadas as relações existentes entre as unidades só poderão definir-se duas bases independentes a partir das
quais se calculam todas as outras. Num sistema de energia definem-se vulgarmente como bases
66
independentes a potência aparente total Sb para o sistema e a tensão composta Vb num barramento
determinado.
Por sua vez, as bases de impedância e corrente calculam-se através das expressões:
Vb2
S
, I b  b (caso monofásico)
Zb 
Sb
Vb
Ib 
Sb
3Vb
(caso trifásico)
Mudança de base
O valor em pu que se deseja expressar numa outra base deve-se obter primeiramente seu valor na base atual,
após dividir-se pela base nova.
Uma aplicação imediata da expressão anterior é a transformação dos valores das características das
máquinas elétrica, habitualmente dados em percentagem dos valores nominais da máquina, para valores em
p.u. nas bases do sistema. Os dois exemplos seguintes ilustram essa aplicação.
Exemplo 2:
A reatância transitória de um alternador de 50 MVA, 10 kV é x'=12%. As bases da rede são, na zona
do alternador, Sb=100 MVA e Vb=11 kV.
Calcule seu valor em p.u. na nova base
1- Obtemos o valor na base atual
Zb 
Vb2
10 2 K 2V 2
=
= 2  => X b1 = 0,12 x 2 = 0,24 
50.000KVA
Sb
2- Calcular a nova base
Z b2 
112 K 2V 2
= 1,21 
100.000 KVA

3- Expressando o valor na nova base
X b2 
0,24
 0,198 PU
1,21
Exemplo 3:
A reatância de fugas (ou tensão de curto-circuito, Ucc) de um transformador de 30 MVA, 60/16 kV, é
xf=8%. A base de potência da rede é Sb=50 MVA, e as bases de tensão nas zonas do primário e
secundário são, respectivamente, Vbp=56,25 kV e Vbs=15 kV.
Encontre a expressão para a reatância em p.u. usando como base a rede
1 Encontrar o valor de base usado
67
Zb 
Vb2
60 2 K 2V 2
=
= 120  => X f 1 = 0,08 x 120 = 9,6 
30.000KVA
Sb
2- Calcular a nova base
Z b2 
56,25 2 K 2V 2
= 63,28 
50.000KVA

3- Expressando o valor na nova base
X f2 
9,6
 0,152 PU
63,28
(Repare que igual valor se obteria se usassem 60 e 56,25 kV em vez de 16 e 15 kV).
Polaridade de Transformadores Monofásicos
A marcação da polaridade dos terminais dos enrolamentos de um transformador monofásicos indica
quais são os terminais positivos e negativos em um determinado instante, isto é, a relação entre os sentidos
momentâneos das forças eletromotrizes (fem) nos enrolamentos primário e secundário.
Usando tal notação, têm-se os arranjos da figura abaixo.
Polaridade Aditiva
Polaridade subtrativa
Com isso, pode-se observar que, na polaridade subtrativa, os terminais com índice 1 são adjacentes, o
mesmo acontecendo com os índices 2 e na polaridade aditiva, estes índices são opostos entre si.
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O Autotransformador
O transformador analisado pressupõe isolação entre o primário e o secundário, existe uma outra
combinação entre as polaridades do transformador relacionando o primário com o secundário formando um
único bobinado. Esta outra disposição não só permite outras opções de tensões se não também um aumento
de potência.
Ligações de um transformador como autotransformador abaixador e elevador.
Esta nova disposição de circuitos também segue as equações dos transformadores já vistas.
Deve-se tomar cuidado com a corrente nas configurações abaixador e elevador.
Autotransformador como abaixador,
I2= I1 + Ic
Autotransformador como elevador
I1 = I2 + Ic
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Autotransformador como elevador
Ex: Para o transformador isolado de 10KVA 1200/120 V, ligado como autotransformador com
polaridade aditiva. Calcule.
a) A capacidade original do enrolamento de 120V em Amperes.
b) A capacidade original do bobinado do enrolamento de 1200V em Amperes.
c) A capacidade do autotransformador usando a capacidade do enrolamento de 120V
d) Acréscimo percentual da capacidade do transformador em relação ao transformador isolado.
e) A capacidade original do enrolamento de 120V em Amperes.
f) A capacidade original do bobinado do enrolamento de 1200V em Amperes.
g) A capacidade do autotransformador usando a capacidade do enrolamento de 120V .
Acréscimo percentual da capacidade do transformador em relação ao transformador isolado
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Autotransformador como abaixador
Repita o exemplo anterior, para o transformador isolado de 10Kva 1200/120v, ligado como
autotransformador abaixador, com polaridade subtrativa.
Exercícios:
1- Ao realizar o ensaio de curto-circuito em um transformador:
a) Por que é o lado de baixa tensão que é usualmente curto-circuitado.
c) Por que são consideradas desprezíveis as perdas no núcleo de um transformador.
d) Como se determinam as perdas no cobre na operação em curto-circuito.
e) Qual a tensão necessária para a realização do ensaio em curto-circuito.
f) Desenhe o circuito equivalente de um transformador.
g) Defina: seus parâmetros
k) Qual a influência da polaridade em transformadores monofásicos e trifásicos.
Polaridade em transformadores trifásicos
Isolando-se eletricamente cada uma das fases podemos realizar o teste de polaridade do mesmo modo
que para os transformadores monofásicos.
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Lista de Exercícios de Transformadores
1 – Um transformador comercial de 220 V / 30 V, 3 KVA, 60 Hz tem a relação de 3 V/espira, calcule:
a) as espiras de A T;
b) as espiras de B.T;
c) A relação de transformação, a se o utilizamos como abaixador;
d) A relação de transformação, a se o utilizamos como elevador;
e) a corrente nominal de A T;
f)
a corrente nominal de B.T;
2 – Um transformador de 10 KVA, 60 Hz, 4800 / 240 V é ensaiado a vazio e a curto-circuito,
respectivamente, sendo os resultados:
Ensaio a vazio: V0 = 240 V, I0 = 1,5 A e P0 = 60 W
Ensaio de curto circuito: V = 180 V, I = 2,08 A e P = 180 W
Utilizando esses dados calcule:
a) A resistência e a reatância equivalentes relativas ao lado da A T;
b) A resistência e a reatância equivalentes relativas ao lado da B.T;
c) A regulação em tensão do transformador abaixador a F.P unitário e plena carga;
d) (Repita c) para F.P de 0,8 em atraso, à plena carga;
3 – Os seguintes dados foram levantados durante o ensaio de curto-circuito em um autotransformador com
valores nominais de 22 KVA, 440/330 V. Com o lado de baixa curto-circuitado e com tensão aplicada no
lado de alta, as leituras obtidas foram:
P = 320 W, V = 20 V, I = 50 A ;
a) Calcule a regulação de tensão para esse autotransformador em plena carga e fator de potência
unitário;
b) Se a parte não comum do enrolamento tem uma resistência de 0,064 , determine a resistência, em
ohms, da parte comum;
c) Calcule a potência transformada e condutiva para plena carga de saída, com fator de potência
unitário;
d) Quais devem ser os valores nominais (KVA e tensões) de um transformador convencional que possa
ser usado para fazer o mesmo trabalho?
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4 - Um autotransformador de 10 KVA, 2300/230 V, tem perdas no ferro de 190 W e perdas no cobre de 196
W, para tensão e corrente nominais. O enrolamento do secundário é constituído de duas seções idênticas,
cada seção conectada em série para operação em 230 V. É desejado se re-conectar esse transformador
convencional como um autotransformador, de forma a aumentar a saída de 2300 V para 2415 V e para se
entregar à máxima potência sem sobre aquecimento das bobinas. Usando todos os enrolamentos do
transformador, determine para corrente nominal:
a) O KVA entregue à carga;
b) O KVA condutivo;
c) O rendimento para um fator de potência da carga de 0,8 adiantado;
d) Os valores nominais (tensão e KVA) para um transformador convencional fazer o mesmo trabalho.
Quais as vantagens de se utilizar um autotransformador?
5 - Um transformador de 10 KVA, 2400/240 V consome 165 W , com f.p de 0,2, quando 220 V são
aplicados ao lado de baixa tensão, com lado de alta tensão em aberto. Calcule a corrente que circula no lado
de alta quando 2400 V forem aplicados no lado de alta tensão, com lado de baixa em aberto.
6 – Um transformador de 200/100 V, 60 Hz, tem uma impedância de 0,3 + j 0,8  no enrolamento de 200 V
e uma impedância de 0,1 + j 0,25  no enrolamento de 100 V. Quais as correntes nos lados de alta e baixa
se um curto-circuito ocorrer no lado de 100 V com 200 V aplicados no lado da alta tensão.
.
7 - Um transformador
de distribuição de 50 KVA, 2300/230 V, 60 Hz, consome
360 W, com fator de
potência de 0,4 com 2300 V aplicados no enrolamento de alta e com o enrolamento de baixa em circuito
aberto. Se este transformador tiver 230 V aplicados no lado de baixa, em vazio no lado de alta, qual será a
corrente no enrolamento de baixa tensão?
8 – Um transformador de dois enrolamentos tem uma bobina de alta tensão constituída de 1000 espiras e
uma bobina de baixa tensão constituída de 100 espiras. A indutância própria do primário de alta tensão é
igual a 20 H. Além disso, o enrolamento do primário tem uma indutância de dispersão de 1 H. A indutância
de dispersão do secundário é 0,01 H.
a) Calcule a indutância mútua, em Henry;
b) Determine o valor, em Henry, da indutância própria do enrolamento secundário;
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