Cap-4-Equações na forma integral

Cap. 4 – Equações básicas na forma
integral para volumes de controle
4.1 – Equações para sistema
4.2 – Relação entre as equações para sistema e a formulação para VC
4.3 – Conservação da massa para volume de controle
4.4 – Conservação da Quantidade de movimento para VC inercial
4.5 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle
sob aceleração retilínea
4.6 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle
sob aceleração arbitrária
4.7 – Quantidade de movimento angular
4.8 – Conservação da Energia
4.1 – Equações para sistema
4.1.1 – Conservação da massa:
(sem reações químicas)
dm 
0

dt Sistema


4.1.2 – Conservação da quantidade de movimento
dP 
(Força
F

(Segunda lei de Newton):
dt Sistema resultante)


(Quantidade de
P
V dm
movimento)
Sistema


dH  (Torque
4.1.3 – Conservação da quantidade de movimento angular
T
(Segunda lei de Newton-sistemas em rotação):
resultante)
dt Sistema

 
(Quantidade de
H 
r X V dm
movimento angular)
Sistema
dE 


W Q 

dt Sistema
V2
E
e dm  
(u 
 gz)  dV
Sistema
Sistema
2
4.1.4 – Conservação da energia
(Primeira lei da termodinâmica):
(Energia
total)
4.2 – Relação entre as equações para sistema e a
formulação para volume de controle
N 
Sistema
 dm  
Sistema
Propriedade Extensiva - N
Massa
Quantidade de
movimento
Quantidade de
movimento angular
Energia
Nm


N  P  mV

 
N  H  m( r xV )
NE
  dV
Propriedade Intensiva -

 1

V
 
  r xV
V2
 e u
 gz
2
Teorema de Transporte de Reynolds
    dV
 
dN 
 VC
    V.dA

SC
dt Sistema
t
fluxo da propriedade N
através da superfície
de controle
taxa de variação da
propriedade N no
volume de controle
taxa de variação da
propriedade N para
sistemas
4.3 – Conservação da massa para volume de controle


  dV
 
dm 
VC
  V.dA
 0
SC
dt Sist.
t
fluxo de massa
através da superfície
de controle
taxa de variação da
massa no volume de
controle
taxa de variação
da massa para
sistemas é zero
Equação da Conservação da massa
0

V

dA
  dV
VC
t

SC
 
V.dA
Velocidade paralela ao vetor área
(sempre para o exterior do V.C.):
Escoamento uniforme
( uma entrada / uma saída ):

SC
 
V.dA  0
 
V.dA  0
saídas
entradas
 
V.dA  s Vs A s  e Ve A e
Exemplo 4.1: Calcule a
velocidade média na
seção 4 do misturador da
figura:
0

  dV
VC
t


SC
 
V.dA
2
1
3
A1 = 25 cm2
V1 = 2 m/s
A3 = 50 cm2
V3 = 10 m/s
em regime permanente e escoamento uniforme:
4 A = 25 cm2
4
V4 = ?
 sai   m
 ent
0 0 m
 3 m
 4 m
 1 m
2
0m
A2 = 50 cm2
V2 = 5 m/s
0  A 3 V3  A 4 V4  A1V1  A 2 V2
0  x50x10  x25xV4  x25x2  x50x5
0  500  25xV4  50  250
V4  8 [m / s]
 500  300  200  25xV4 Valor negativo implica que a direção é
contrária a dir. suposta inicialmente.
Exemplo 4.2: Calcule a vazão em volume e a velocidade média na seção
da tubulação da figura, sendo que o perfil de velocidades é parabólico,
umáx = 1 m/s e R = 1 m.

V


V  Vz (r ) z
escoamento uni-dimensional
  r 2 
Vz (r )  umáx 1    
  R  
 
Q   V.dA
vazão em volume
A
Q
A


Vz (r ) z . 2rdr z
R
Q
0
  r 2 
umáx 1     2rdr
  R  
R
Q  2.umáx 
0

r3 
 r  2  dr
 R 
perfil de velocidades
parabólico
 R2
R4  umáx .R2

Q  2.umáx .

2 
2
 2 4.R 
 
Q
Q   V.dA  VA  V 
A
A
umáx
Q umáx .R2 1
V 
. 2 
A
2
R
2
Q  1,57 [m3 / s]
V  0,5 [m / s]
Exemplo 4.3: Esboçar graficamente
a variação da altura de líquido com
o tempo no tanque da figura.
 s  9L m / 0,3048 [lb / s]
m
 s  9L m / 0,3048 0,453 [kg / s]
m
 s  13,37L m  [kg / s]
m
dmVC 
 ent
0
 msai  m
dt
dm VC
dL
 A m
dt
dt

0  A

A=3 [ft2]
1 [lb] = 0,453 [kg]
1[ft] = 0,3048 [m]
 e  13,6 [kg / s]
m
A=0,279 [m2]
 = 998 [kg/m3]
L [ft]
 s  9L [lb / s]
m
mVC  V  ALm
dLm
 0,048 Lm  0,049
dt
Lm  1,02 1  e0,048 t
 = 62,4 [lb/ft3]
 e  30 [lb / s]
m
dLm 
 e 0  998 x 0,279 dL m  13,37L m  13,6
 ms  m
dt
dt
dy
 C1 y  C2
dt
y

C2
1  e C1t
C1

C2 
L[m]
t[s]
e
m
A
s L
m
C1 
A
Exemplo: Considerando o conceito de camada-limite, modelo de
escoamento próximo a uma placa plana onde o perfil da velocidade na
direção x é dado pela equação u=f(y,d), determine a vazão em massa
através da superfície bc do volume de controle mostrado na figura,
sendo que a largura da placa, W, é 0,6 [m].
U
U
b
c
d  5 [mm]
a
d
perfil da velocidade na camada
u
y y
 2    
U
d d
Eq. da conservação da massa
(regime permanente)
2
0
SC
 
V.dA
Conservação da massa aplicada ao VC abcd
0
ab
 
 
 
V.dA   V.dA   V.dA
bc
cd
U
U
b
c
u
y y
 2    
U
d d
2
d  5 [mm]
a
0
ab
 
 
 
V.dA   V.dA   V.dA
bc
cd
 
   U (dW )   V.dA
m
d
 
   V.dA
0    U (dW )  m
cd
   U (dW )   u( Wdy )
m
cd
cd
  y   y 2 
   U (dW )   U2     ( Wdy )
m
0
  d   d  
d
2
2
3



 y y  
2 y
 
1
y





m


U
W
d


m   U W d   2     dy
 
 
2
cd
d 2 d 3 0 


  d   d   
 



d


m   U W d  d   m
  UWd m
  1,24 x30 x0,6 x0,005  0,037 kgs
3

3
3
d

4.4 – Conservação da Quantidade de movimento
para volume de controle inercial




  V  dV
  
  
d(mV ) 
VC

F

F

F

   V V.dA
C
S

SC
dt Sist.
t

V1

V2

F
Exemplo típico: Curva de 90o
Mudança de quantidade de 
movimento
do escoamento de V1

para V2 através da aplicação
da

força externa F

  
F  FC  FS  VC

V  dV
t

SC
  
 V V.dA
Conservação da
Quantidade de movimento
para volume de controle
inercial
fluxo da quantidade de
movimento através da
superfície de controle
taxa de variação da
quantidade de movimento no
volume de controle
taxa de variação da quantidade de movimento
para sistemas é igual a força externa aplicada
(soma das forças de campo e de superfície)
Exemplo 4.4: Calcular a força de
reação que atua sobre o anteparo
devido ao jato de d´água com vazão
em massa de 1 kg/s e velocidade de 1
m/s.
V2
 
R X R X A
Injetor
r
z
V1
Equação da Quant. de Mov.
 
F  VC

V  dV
t

SC
  
 V V.dA
0
Em regime permanente o termo
da taxa de variação da
quantidade de mov. no VC é zero
  
  
F  FC  FS    V V.dA
SC
Desprezando a força peso:
Base do anteparo

FC  0

  

FS  RX .z    V V.dA
SC
  

 RX .z    V V.dA 
V2
SC
  
  
   V V.dA    V V.dA
 
R X R X A
Injetor
r
z
1


V1  V1 z
V1


V2  V2 r
  
 

1  V V.dA  1V1z V1z.dA(z)
  
 

  V V.dA   V2 r V2 r .dA r
RXA  1 [N]
2
  

2 
2
1  V V.dA   V1 1z dA   V1 A1z
  
2 
  V V.dA  V2  r dA  0
2
2
2


 V1 z
 RX z  m
 V1
RX  m
2


 V1( z)
R X  m
Sobre o fluido



R X A  mV1( z)
Sobre o anteparo
Exemplo 4.5: Calcular a
força que atua sobre a
estrutura
curva,
que
descarrega
água
na
atmosfera, para mantê-la
fixa,
considerando
os
seguintes dados:

V1

F

V2
p1 = 221 kPa (absoluta)
pATM = 101 kPa
V2 = 16 m/s
A1= 0,01 m2
A2 = 0,0025 m2
Equação da Quant. de Mov.
em regime permanente
Desprezando as forças de
campo gravitacional
  
  
F  FC  FS    V V.dA



  
FS  Fpres  R    V V.dA
SC
SC
V.C.

V1

R
Decompondo a equação
vetorial nas direções x e y:


 
 
Fpx  Rx    u V.dA    u V.dA
1
y

V2
x
V.C.
x
1
pATM
Fp y  p ATM .A S  p ATM .A S
Fp x  p1rel .A 1
pATM
2
Fp x  p1abs .A1  p ATM .( A L  A1 )  p ATM .A L
AL
y


 
 
Fpy  Ry    v V.dA    v V.dA
Determinação das forças de
pressão nas direções x e y:
pATM
AS
A1
2
Fp  y  0

V1
V.C.


R x R y E
R x E

Ry
y
x

 
 
p1rel A1  Rx    u V.dA    0 V.dA
1
2

 
 
0  Ry    0 V.dA    v V.dA
1

V2
2

 
Rx  p1rel A1    u V.dA
1

 
Ry    v V.dA
2

 

Rx  p1rel A1  V1  V.dA
Rx  p1rel A1  V1(Q)
1

 

Ry  (V2 ) V.dA
R y  V2Q
2



 V1 RxE  p1rel A1  m
 V1
Rx  p1rel A1  m
R x E  1,36 [kN]



 V2
 V2
R y  m
R y E  m
R y E  0,64 [kN]
Exemplo 4.6: Um reservatório metálico com altura de 1 [m] e área de 2
[m2] pesa 2.000 [N]. Este é colocado sobre uma balança e água escoa
para o reservatório através de uma entrada no topo, e para fora através
de duas aberturas iguais nas laterais, conforme esquema. Sob
condições de escoamento permanente, a altura da água no tanque é
0,9 [m], determine a leitura da balança.
Dados :
V1 = 1,6 [m/s]
V1
A1 = A2 = A3 = 0,1 [m2]
V2
V3
Balança
Como a área total de
escoamento na saída é o dobro
da entrada, pela conservação da
massa, a velocidade nas seções
de saída serão a metade da
velocidade na entrada :
V2 = V3 =0,8 [m/s]
  
  
F  FC  FS    V V.dA
V1
SC
V2
V3
y
x
Balança
V1
Como
o
fluxo
da
quantidade de movimento da
saída pelas duas laterais do
reservatório se anulam (direção x),
a equação será aplicada somente
para a entrada (direção y):
 
FCy  FSy    v V.dA
SC
 
 WR  WA  FBal    v V.dA
SC
VC
WA
 V1
 WR  WA  FBal  m
WR
 V1
FBal  WR  WA  m
 .1,6
FBal  2.000   x (2x0,9)  m
FBal
FBal  2.000  17.640  160.1,6  19.896 [N]
4.4.1 – Análise do Volume de Controle diferencial
Equação da Conservação da
Massa em regime permanente
+
Equação da Quant. de Mov.
em regime permanente
 Vs2 
dp
  g dz  0
 d

 2 
V
dp
 d

 2
2
s

  g dz  0

Equação de Bernoulli
Exemplo 4.6 :
Bocal
Expressar a vazão em
volume, Q, como função
de p1, sendo D1 = n D2
(n>1) e p2 = pATM.
Fluido incompressível:
p Vs2

 gz  cte
 2
p1 V12
p2 V22

 gz1 

 gz2

2

2
p1 V12
p2 V22

 gz1  cte 

 gz2

2

2
Simplificações:
z1  z2
p2  pATM  0
(Pressões relativas)
V1  Q
p1 V12 V22



2
2
p1 Q2  1
1 
 2  2 


2  A 2 A1 
Q  A1
Conservação da massa:
Q  V1A1  V2 A 2

p1 Q2  A12


 1
2 
2
 2A 1  A 2

p1
2
 (n 4  1)
A1
V2  Q
A2
p1 Q2
Q2


2
 2A 1 2A 22


p1 Q2 4

n 1
2
 2A 1
n2
Q  A1 p1  0,365
n3
Q  A1 p1  0,158
Equação de Bernoulli:
para escoamento sem perdas por atrito
  ou  
p1 V12
p2 V22

 gz1  cte 

 gz2

2

2
Seção 1
J
kg
m2
s2
Seção 2
p
= pressão estática na seção
V 2 = pressão dinâmica na seção
2
 g Z = pressão de "posição"
Linhas de corrente
V
V
p1 
  g Z1  p2 
  g Z2
2
2
2
1
2
2
Unidade => N/m2
Exemplo: Descarga de um reservatório
através de uma tubulação para
atmosfera, calcule a velocidade de saída.
1
Bernoulli: escoamento sem perdas
H=30 m
V12
V22
p1 
  g Z1  p2 
  g Z2
2
2
2
Condições do problema:
Z
1
Z
2
p1  p2  pATM
V12
V22

2
2
V22
 g ( Z1  Z 2 ) 
2
Z1  Z2  H
V2  2gH
V2  2x9,81x30  24,26 m / s
Quais são as transformações
de energia que ocorrem em
um escoamento deste tipo ?
1
V12
V22
p1 
  g Z1  p2 
  g Z2
2
2
2
p1 V12
p2 V22

 g Z1 

 g Z2

2

2
Unidade => m2/s2 = J/kg
p
fora de escala
V 2
2
energia potencial (Z)
para
energia de pressão (p)
energia de pressão (p)
para
energia cinética (V2/2)
g.Z
1
2
energia potencial (Z)
para
energia de pressão (p)
4.4.2 – Volume de Controle movendo em
velocidade constante
Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de
referência xyz, movendo-se a velocidade constante , Vrf, em relação a
um sistema de referência fixo (e inercial) XYZ, também é inercial, visto
que não possui aceleração em relação a XYZ.
Vrf
xyz
XYZ
 






F  FC  FS   Vxy z  dV   Vxy z  Vxy z .dA
SC
t VC

Vxy z
Velocidades no volume de controle em
relação ao sistema de referência xyz (móvel)
Exemplo) O esquema mostra uma aleta de ângulo de curvatura a igual
a 60o, que se move em velocidade constante U igual a 10 [m/s],
recebendo um jato d´água que sai do bocal estacionário a uma
velocidade V igual a 30 [m/s]. Sabendo que o bocal tem uma área de
saída de 0,003 [m2], calcule a força externa que atua na aleta.
V = 30 [m/s]
a
Bocal
U = 10 [m/s]
Equação da Cons. da Quant. de Movimento, em regime permanente :
  



F  FC  FS   Vxy z  Vxy z.dA
SC
Desconsiderando as
forças de campo
(massa da água)
a
V = 30 [m/s]




FS   Vxy z  Vxy z.dA
Bocal
SC
U = 10 [m/s]
V2  20
a 


V2  20 (cos a i  sen a j )


V1  20 i
x


FS y FSx



V2  10 i  17,32 j )

 

 




 FSx  1( V1 i )  Vxy z .dA  2( V2 i )  Vxy z .dA
FS   Vxy z  Vxy z.dA 
 

 

SC
FSy   ( V1 j )  Vxy z .dA   ( V2 j )  Vxy z .dA
1



V2  10 i  17,32 j


V1  20 i
x


FS y FSx
a
2



 )  (10 i )(  m
)
FSx  (20 i )(  m



 )  (17,32 j )(  m
)
FS y  (0 j )(  m
  AV  1.000 x 0,003 x 20  60 [kg / s]
m



 (10  20) i  600 i [N]
FSx  m



 17,32 j  1.039,2 j [N]
FS y  m
4.5 – Conservação da Quantidade de movimento
para volume de controle sob aceleração retilínea
Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de
referência xyz, que se move com aceleração retilínea, arf , em relação a
um sistema de referência inercial (fixo) XYZ, não é inercial, visto que
possui aceleração em relação a XYZ.

arf
XYZ
xyz



d VXYZ dm
dVXYZ
Segunda lei de Newton:  dPXYZ 
sist


dm

F


sist
(Força resultante)
dt
dt
dt Sistema




(Quantidade de
PXYZ  
VXYZ dm
F   a XYZdm
movimento)
Sistema
sist



a XYZ  a xy z  arf
Quando o movimento é somente de translação :

F

aXYZdm  
sist

F
sist

F
sist

arf dm  
sist
sist

axy zdm
d

arf dm  sist

Vxy zdm
dt

axy zdm  
sist

F
sist

F

arf dm

arf dm  
sist

dVxy z
sist

arf dm 
dt
dm

dPxy z
dt








FC  FS   arf  dV   Vxy z  dV   Vxy z  Vxy z .dA
VC
SC
t VC
Equação da Conservação da Quantidade de movimento para volume
de controle sob aceleração retilínea
Exemplo) Uma aleta de ângulo de curvatura a igual a 60o, é fixada a
um carrinho. O carrinho e aleta, de massa M=75 [kg], rolam sobre uma
pista nivelada. O atrito e a resistência do ar podem sere desprezados. A
aleta recebe um jato d´água, que parte de um bocal estacionário
horizontalmente, com V=35 [m/s]. A área de saída do bocal é de 0,003
[m2]. Determine a velocidade, U, do carrinho como função do tempo.
a
V = 35 [m/s]
Bocal
U








FC  FS   arf  dV   Vxy z  dV   Vxy z  Vxy z .dA
VC
SC
t VC
Não há forças
resistentes ao movimento (dir. x)
atuando no V.C. :
FS x  0
e
FC x  0



  arf  x  dV   u xy z  dV   u xy z  Vxy z .dA
SC
VC
t VC
Pode-se desprezar a variação da quantidade de
movimento no V.C. se considerarmos que a massa
de água é bem menor que a massa do carrinho :
a
V = 35 [m/s]
Bocal

u xy z  dV  0

t VC
U
  arf x  dV  
VC
SC


uxy z  Vxy z.dA
 ax   dV  ( V  U) [( 1) ( V  U)A]  ( V  U) cos a [ ( V  U)A]
VC
 ax   dV  ( V  U) [( 1) ( V  U)A]  ( V  U) cos a [ ( V  U)A]
VC
 ax   dV  (cos a  1)( V  U)2 A
VC
ax M  (1 cos a)( V  U)2 A
V = 35 [m/s]
Bocal
dU
M  (1  cos a )( V  U)2 A
dt
dU
(1  cos a)A
a

dt
2
( V  U)
M
U
4.6 – Conservação da Quantidade de movimento
para volume de controle sob aceleração arbitrária
4.7 – Quantidade de movimento angular
Lei da conservação da quantidade de movimento angular:


  

 
T  r  Fs   r  gdm  Teixo  VC
 
r  V dV
t


SC
   
r  V  V.dA
4.8 – Conservação da Energia
dE 


QW 

dt Sistema
+
_
Q>0
Q<0
W>0
Sistema
  e  dV
 
dE 
 VC
   e V.dA

SC
dt Sistema
t
V2
E
e dm  
(u 
 gz)  dV
Sistema
Sistema
2
+
W<0
_
Equação da energia para Vez:
  e  dV
 
dE 
VC

  e  V.dA

SC
dt Sistema
t
fluxo de energia
específica através da
superfície de controle
taxa de variação de
energia específica no
volume de controle
taxa de variação da
propriedade energia
para sistemas
V2
e u
 gz
2
4.8.1 – Taxa de trabalho realizado em um Volume de Controle
 W
 W



W
e
normal  Wcisalhamento  Woutros
1 – Trabalho de eixo

W
e
Trabalho de eixo que cruza a superfície de controle
Ex.: Motor elétrico, turbina ou bomba hidráulica, compressores e etc.
2 – Trabalho realizado pelas tensões normais (pressão) na superfície de controle
 
 
 
d
W
F
.
d
s
  lim
W
 lim
 F.V
dW  F.ds
t 0 t
t 0 t

 
 

dWnormal  dF.V  nndA.V  nn V.dA
 
 

O sinal – aparece devido a
W
normal   nn V.dA   p V.dA
sc
sc
convenção de sinais para sist.
3 – Trabalho realizado pelas tensões de cisalhamento na superfície de controle
 
 

dW
cisalhamento  dF.V  dA.V  .V dA



W
cisalhamento   .V dA
sc
Nas


Nas paredes, se V  0 , tem-se, W
cisalhamento  0
 

entradas e saídas, se V   , tem-se, W
cisalhamento  0
Portanto, em geral, tem-se:
4 – Outros trabalhos

W
outros  0

W
cisalhamento  0
Equação da energia para VCs:
 W
 
Q
  e  dV
VC
t
 W
 W

Q
e
normal 

  
V2
   u 
 gz   V.dA
SC
2


  e  dV
VC
t

  
V2
   u 
 gz   V.dA
SC
2


2
    e  dV
 


V
VC
 W
  p V.dA 
Q
   u 
 gz   V.dA
e
SC
SC
t
2


 W
 
Q
e
  e  dV
VC
t

  
p V2
   u  
 gz   V.dA
SC
 2


Definição de entalpia

p
h   u  


Equação da energia para VCs:
 W
 
Q
e
  e  dV
VC
t

  
V2
   h 
 gz   V.dA
SC
2


Em regime permanente:
2
 


V
 W
  h 
Q
e
SC  2  gz   V.dA
4.7)
Determine a taxa de transferência de calor de um compressor
cuja potência mecânica é de 600 [HP] e vazão em massa de 20 [lbm/s]
sendo que as condições de entrada e saída são dadas na figura.
p1 = 14,7 [psia]
p2 = 50 [psia]
T1 = 70 [F]
T2 = 100 [F]
compressor
V1 = 0
A2 = 1 [ft2]
  600 [HP]
W
e
Equação da energia em
regime permanente:
Desprezando a energia
potencial e considerando
escoamento uniforme :
2
 


V
 W
  h 
Q
e
SC  2  gz   V.dA
2
2




V
V
2
1


  h2 
  h1 


Q  We  m

m



2 
2 


p1 = 14,7 [psia]
p2 = 50 [psia]
T1 = 70 [F]
T2 = 100 [F]
compressor
V1 = 0
A2 = 1 [ft2]
2
2




V
V
2
1




  m h1 

Q  We  m h2 
2 
2 


Considerando o ar
como gás perfeito:
2


V
2



 h1

  m
Q  We  m h2 
2 

2
V
2
 W
 m




Q
c
T

T

m
e
p
2
1
2
  20 [lbm / s] x0,4536 [kg / lbm]  9,072 [kg / s]
m
T2C  (T2F  32) x 5 / 9  37,7 oC
T1C  (T1F  32) x 5 / 9  21,1 oC
  600 [HP] x 746 [ W / HP]  4,476x105 [ W ]
W
e
p2  50 [psia] x6.895 [N / m2 / psia]  344.750 [Pa]
A 2  1 [ft 2 ] x0,0929 [m2 / ft 2 ]  0,0929 [m2 ]
c p  1.006 [J / kg.K ]
p1 = 14,7 [psia]
p2 = 50 [psia]
T1 = 70 [F]
T2 = 100 [F]
compressor
V1 = 0
p2  2RT2 2  p2 / RT2
2  3,86 [kg / m3 ]
A2 = 1 [ft2]
2  344.750 / 287x310,85
  2 A 2 V2  V2  m
 /(2 A 2 )
m
V2  9,072 /(3,86x0,0929)  25,3 [m / s]
2
V
2
 W
 m




Q
c
T

T

m
e
p
2
1
2
2
25
,
3
  ( 4,47x105 )  9,072 x 1.006 x 37,7  21,1  9,072
Q
2
  292.600 [ W ]
  151.500  2.903  447.000
Q
Q
  292,6 [kW ]
Q
Equação da energia para VC em regime permanente:
2
 


V
 W
  h 
Q
e
SC  2  gz   V.dA
Se a troca de calor e o trabalho de eixo forem iguais a zero :

  
V2
0    h 
 gz   V.dA
SC
2


Para um VC com uma entrada e uma saída, em escoamento uniforme:
2
2




V
V


0  m h 
 gz   m h 
 gz 
2
2

S

E




p V2
p V2
 u  
 gz    u  
 gz 
 2
 2

S 
E
Em temperatura
constante
p1 V12
p2 V22

 gz1 

 gz2

2

2
Equação de
Bernoulli
Exercício 4.8) A vazão da bomba instalada no caminhão mostrado na
figura é 42,5 [l/s] e o jato d água lançado pelo canhão deve alcançar o
plano distante 18,3 [m] do hidrante. A pressão da água na seção de
alimentação da mangueira, que apresenta diâmetro igual a 102 [mm],
é 69 [kPa].
Determine
a
potência transferida à
água pela bomba.
2
 


V
 W
  h 
Q
e
SC  2  gz   V.dA
 0
Q
T  cte
2
 


p
V
   
W
e
SC   2  gz   V.dA
Considerando escoamento uniforme, a seção de entrada na seção após o hidrante
(onde z=0 ) e a seção de saída onde a velocidade é praticamente zero (ponto mais
alto da trajetória do jato), tem-se:
2
2




p
V
p
V
2
2
1
1

 
 
 We  m
 gz2   m
 gz1 


2
2




z1  0
V2  0
2





p
p
V
2
1
1

   gz 2    

 We  m

2 
 
 
p1 = 69.000 [N/m2] e p2 = 0 (atmosfera)
2


p
V
1
1



 We  m gz2  

2 

Determinação de V1
Q
4Q
4 x 0,0425
m
V1 



5
,
2
[
]
2
2
s
A 1 D1
 0,102
2


69
.
000
5
,
2


 We  1.000 x 0,0425 9,8 x 18,3 

1.000
2 

  42,5 179,34  69  15,52 W
   4.030 [ W]
W
e
Se p1 = 0
e
  42,5 179,34  15,52
W
e
   6.962 [ W ]
W
e
Exercício 4.9) A vazão de óleo
no tubo inclinado mostrado na
figura é 142 [l/s].
Sabendo
que
a
densidade do óleo é igual a 0,88
e que o manômetro de mercúrio
indica uma diferença entre as
alturas das superfícies livres do
mercúrio igual a 914 [mm],
determine a potência que a
bomba transfere ao óleo.
Eq. da energia para um VC com uma entrada e uma saída, em escoamento
uniforme, em temperatura constante:
2
2
 W





Q
p
V
p
V
e
2
2
1
1
  
 gz2    
 gz1 

m
2
2

 

 0
Q
Q = 142 [l/s] d=0,88
2
2





W
p

p
V
V
e
2
1
2
1
  
  g( z2  z1 )
 


m
2 
 O   2
2
1
Manometria :
p2  p1   OH   HgL   OL   OH   Oh
p2  p1  gHgL  gOL  gOh
p2  p1 gHgL

 gL  gh
O
O
2
2

gd
L


W
V
V
Hg
e
2
1
  g(h)

 gL  gh  


m
dO
2 
 2
2
2

gd
L


W
V
V
Hg
e
2
1


 gL  


m
dO
2 
 2
Q = 142 [l/s] d=0,88
2

gdHgL
V
W
V 
e


 gL  


m
dO
2 
 2
2
2
Q
4Q
V1 

A 1 D12
2
1
1
Q
4Q
V2 

A 2 D22
2
2

gd
L


W
8
Q
8
Q
Hg
e

 gL   2 4  2 4 

m
dO
  D2  D1 
2

d


 1
8
Q
1 
Hg

 We  OQ gL
 1  2  4  4 
   D2 D1 
  dO
2

13
,
6
8
x
0
,
142
1 


 1

 We  880 x 0,1429,8 x 0,914
 1 


2
4
4 

0,305 
 0,88 
 0,152

  124,96 129,47  28,73
W
e
  19.768 [ W]  19,8 [kW ]
W
e