Probabilidade_apresentacao
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Instituto Galileo Galilei Prof. Luis Fábio PROBABILIDADES aplicada na Teoria dos Jogos Física Genética Estatística O que é sorte? Eu definiria como “eventos que influenciam nossas vidas (ou dos outros) e que, pelo menos aparentemente, estão fora de nosso controle”. A Física moderna (mecânica quântica) já mostrou que o Universo funciona de fato com fatores aleatórios. Do ponto de vista da Filosofia, esse é também um ponto a ser considerado: qualquer um que acha que tem controle rígido e detalhado de suas vidas está vivendo uma ilusão. Em algumas situações, é possível ampliar suas chances de sucesso ao adotar determinadas posturas e procedimentos que minimizem riscos. Isso é estudado na Psicologia, por exemplo. Aqui entra: seu preparo profissional e acadêmico, estudo, planejamento, experiência no tema, dedicação, perseverança etc. O Universo (e a Vida) são previsíveis ou são compostos de elementos incontroláveis? Einstein acreditava que “deus não joga dados”... Essa é uma frase sempre mal citada, pois mostra um dos poucos erros dele, ao crer no ideia de universo mecânico. O fato é que “deus joga dados” (Stephen Hawking)... Física e Universo Mecânica Quântica: “deus” joga dados. Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=pCgR6kns5Mc Como o universo (e a vida) funcionam com participação de eventos probabilísticos. Texto: Revista Super – O que é Mecânica Quântica. http://super.abril.com.br/ciencia/a-revolucaoda-teoria-quantica Livro: Hawking. Tema: História do Cosmo. Vídeo – Equação de Drake e vida em outros sistemas do Universo https://www.youtube.com/watch? v=qkdCgsM46CY Probabilidade P= (o que vc quer) (total de possibilidades) Probabilidade A probabilidade pode ser expressa como fração ou como porcentagem. Universo Pode variar de 0 (zero) = 0% impossível de ocorrer até 1 (100%) – certeza que vai ocorrer. O resto está entre os dois extremos e pode ser previsto. Análise Combinatória Recorde como mapear o espaço amostral a partir desta questão do Enem 2012: Probabilidade Ex: Qual a chance de jogar uma moeda duas vezes e dar cara (K) nas duas? Mapa: KK cc Kc cK P = ¼ = 0,25 = 25% Probabilidade Ex: Probabilidade de jogar um dado, apostar que vai dar “5” e ganhar? P = 1/6 = 0,166 = 16,6% Probabilidade Ex: Probabilidade de jogar um dado, apostar que vai dar “4 ou “5” e ganhar? P = 2/6 = 1/3 = 0,333 = P=33,3% Probabilidade Ex: Probabilidade de jogar um dado apostando que a face seja par, e ganhar? P = 3/6 = 0,5 = 50% Probabilidade Ex: Probabilidade de jogar dois dados, apostando na soma das faces igual a 11 e ganhar? Mapa: resultados P = 2/36 = 1/18 = 0,055 = 5,5% Distribuição Estatística – Simulador http://phet.colorado.edu/sims/plinkoprobability/plinko-probability_en.html Note que é a mesma que fizemos para o mapa de lançamento dos dois dados e aparece em casos de geografia, populações, medicina, etc. Jogo de Dados – Simulador http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math8/str and4/4201.htm Probabilidade Ex: Qual a probabilidade de jogar um só dado duas vezes seguidas e dar 6 nas duas vezes que você jogar? É a mesma coisa que jogar dois dados de uma só vez, apostar em soma 12 e ganhar? Solução: Jogar um dado só duas vezes: P = (1/6) . (1/6) = 1/36 1/6 1/6 Jogar os dois de uma vez (o mapa teria 36 pares possíveis): 1/36 Um baralho tem 52 cartas, divididos em 4 naipes. Cada naipe tem um ás, um rei, uma dama e um valete. Paus, Copas, Espadas, Ouros - Então cada naipe tem uma série de 13 cartas Questão: a) De um baralho completo, qual a chance de pegar uma carta sem olhar e ser um ás? Solução: 4 cartas serviriam P = 4/52 = 1/13 = 0,076 = 7,6% Questão: b) De um baralho completo, qual a chance de pegar uma carta sem olhar e ser um ás de ouros? Solução: só 1 carta serviria P = 1/52 = 0,0192 = 1,9% Questão: c) De um baralho completo, qual a chance de pegar primeiro um rei de espadas e depois tirar um valete? Solução: na primeira só 1 carta serviria e depois qualquer valete P = 1/52 . 4/51 = 4/2652 = 0,001 = P = 0,1% Questões: d) Qual a chance de tirar duas cartas, primeiro um ás e depois uma dama? e) Qual a chance de tirar duas cartas do baralho, ficando no fim com um ás e uma dama? Questões: d) Qual a chance de tirar duas cartas, primeiro um ás e depois uma dama? P = 4/52 . 4/51 = 16/2652 = 0,6% e) Qual a chance de tirar duas cartas do baralho, ficando com um ás e uma dama? P = Ás/Dama ou Dama/Ás P = 0,6 % . (2) = 1,2% Questões: f) Tirar dois valetes na sequência? P = 4/52 . 3/51 = 12/2652 P = 0,0045 = 0,4% Caixa com Sorteio Uma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são azuis, 4 são pretas e 2 são amarelas. Qual a probabilidade de: a) Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? b) Tirar uma e ela ser amarela? c) Tirar duas azuis seguidas? d) Tirar uma preta e depois uma azul? e) Tirar duas, ficando com uma azul e uma preta? f) Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? g) Tirar uma e ela não ser preta? h) Tirar uma bola vermelha? Total:16 bolas 10 azuis, 4 pretas e 2 amarelas. Tirar b) Tirar c) Tirar d) Tirar e) Tirar f) Tirar g) Tirar h) Tirar a) uma bola sem olhar e ela ser azul? uma e ela ser amarela? duas azuis seguidas? uma preta e depois uma azul? duas, ficando com uma azul e uma preta? uma só, e ela ser azul ou amarela? uma e ela não ser preta? uma bola vermelha? Total:16 bolas com 10 azuis, 4 pretas e 2 amarelas. Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? P = 10/16 = 5/8 Tirar uma e ela ser amarela? P = 2/16 = 1/8 Tirar duas azuis seguidas? P = (10/16) . (9/15) = 90/240 = 9/24 = 3/8 Tirar uma preta e depois uma azul? P = (4/16).(10/15) = 40/240 = 4/24 = 1/6 (16,6%) Total: 16 bolas com 10 azuis, 4 pretas e 2 amarelas. Tirar duas, ficando com uma azul e uma preta? P = 4/16 . 10/15 (Preta, Azul) P = 10/16 . 4/15 (Azul, Preta) Então: P = (4/24). 2 = 8/24 = 1/3 Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? P = 12/16 = ¾ (75%) Tirar uma e ela não ser preta? P = 12/16 = ¾ (veja que é a mesma que a pergunta de cima!!) Tirar uma bola vermelha? P = 0/16 = 0 (impossível)! Caça Níquel Objetivo: girar e tirar três frutas iguais. No caso mais simples: Se tem 5 tipos de frutas, para dar 3 iguais: P = 1/5 . 1/5 . 1/5 = 1/125 Logo: P = 5 (1/125) = 1/25 Caça Níquel Objetivo: tirar seu dinheiro OBMEP 2011 3 Ana 3 Bárbara 3 Carol Cada uma comprou três blusas iguais da mesma cor, uma amarela, outra verde e outra preta. Qual a chance de saírem juntas e as três com a mesma blusa? P = 3 . 3 . 3 = 27 (total de possibilidades no mapa geral) Dessas, 3 são combinações repetidas (AAA, VVV, PPP) Então: P = 3 / 27 = 1/9 Exercícios Num campeonato de Poker a tabela mostra os resultados das últimas partidas: Qual a chance de: a) O jogador A ganhar a próxima partida? b) O jogador B perder a próxima? c) C ou D ganharem a próxima? jogador A B C D jogou 12 12 12 12 ganhou 6 3 2 1 Exercícios O jogador A ganhar a próxima partida? P = 6/12 = ½ (50%) O jogador B perder a próxima? P = 9/12 = ¾ (75%) C ou D ganharem a próxima? P = 3/12 = ¼ (25%) jogador jogou ganhou A 12 6 B 12 3 C 12 2 D 12 1 Questão : Fuvest USP Nos treinos de futebol de uma equipe, o batedor de pênaltis oficial costuma acertar 4/5 das cobranças que faz. Qual a probabilidade dele entrar num jogo, ser chamado para cobrar dois pênaltis e errar os dois? Exercícios Veja: Estatística com Combinatória... Para isso ocorrer ele tem que errar os dois. A chance dele cobrar o primeiro e errar é de 1/5. Idem para errar o segundo pênalti (que não depende do primeiro). errar P = 1/5 errar . 1/5 = 1/25 ARTIGOS Senhas mais usadas na web: http://gizmodo.uol .com.br/as-25senhas-maispopulares-2015/ http://www.uol/noticias /conteudopublicitario/uolseguranca-digital-asenha-perfeita.htm BIOLOGIA Genética Eventos probabilísticos estão na base da propagação de características físicas genéticas e doenças, ao combinar genes dos pais. O estudo de Análise Combinatória permite o trabalho nesse campo da ciência. Genética Um casal planeja ter três filhos. Qual a chance deles terem três meninas? E de ter uma menina e dois meninos? Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM 3 meninas: P = 1/8 = 0,125 = 12,5% 1 menina e 2 meninos: P = 3/8 = 0,375 = 37,5% Genética Questões a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? b) Ter três homens? c) Ter três filhos todos do mesmo sexo? Genética Questões: a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? b) Ter três homens? c) Ter três filhos todos do mesmo sexo? Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM a) P = ½ (50%) b) P = 1/8 c) P = 2/8 = ¼ (25%) Genética - Teoria A cor dos olhos é uma característica transmitida geneticamente. Ela é comandada pela combinação de dois genes, que vêm um da mãe e outro do pai. O gene dominante é A e o recessivo é a Nesse caso, quando aparece na combinação o gene dominante a pessoa terá a característica marcada por esse gene. A A determina olhos castanhos, então para ter olhos azuis a pessoa deve ter genótipo aa Para cor dos olhos, o gene Genética - Teoria Veja as combinações possíveis para cor dos olhos: Aa olhos castanhos aA olhos castanhos AA olhos castanhos aa olhos azuis Genética Questão: Um casal tem o homem com genótipo aa e a mulher é Aa. Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis? Questão: Um casal tem o homem com genótipo aa e a mulher é Aa. Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis? Veja: Aa Mulher aa Homem Então o filho poderá ser (Mapa de possibilidades): Aa Aa aa aa Logo, são dois casos possíveis para ele ter olhos azuis: P = 2/4 = ½ = 0,5 = 50% Genética Questão: Um casal de olhos castanhos tem quatro filhos, três deles de olhos azuis. a) Qual o genótipo do casal? b) Qual a probabilidade deles terem um quinto filho de olhos azuis? Genética Veja: ?? Mulher ?? Homem O casal tem olhos castanhos, mas se eles têm filhos com olhos azuis, então certamente cada um deles possui codificação. Então eles só podem ser: Aa (M) a na sua Aa (H) Logo, para um possível quinto filho ter olho azul olhamos as 4 combinações possíveis que saem do cruzamento dos genótipos de H e M: Possível filho: AA Aa Aa aa P = 1/4 = 0,25 = 25% Genética - Teoria Ter cabelo loiro ou castanho também segue essa lógica matemática. O gene dominante é para cabelo castanho, então para ser loiro a pessoa deve ser aa Teoria Regra do OU (multiplica) EX: Tirar três blusas da mesma cor (3 azuis ou 3 verdes ou 3 pretas): P = 1/27 + 1/27 + 1/27 = 3/27 (mais fácil fazer direto em vez de somar frações!!) Regra do E (soma) Ex: Tirar um ás e depois uma dama: P = 4/52 . 4/51 = 16/2652 (retirada em sequência direto!!) Aplicativo de Previsão cor dos olhos http://ferramentas.guiadobebe.com.br/calculadora-da-cor-dosolhos-do-bebe/ Loteca Loteca Chance de acertar o palpite em um jogo: MAPA Ganha time A Ganha time B Empata P = 1/3 Loteca Então, escolhendo um duplo em qualquer jogo: P = (1/3).(1/3).(1/3).(1/3)....(1/3).(2/3) P = 1/ 2391485 Mega Sena Quina Monty Hall Problem Simulador auditório: do programa de http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty /monty.html Filme “Quebrando a Banca” Trailer: http://www.youtube.c om/watch?v=NGFoCt DUGy8 Quebrando a banca Um professor universitário recruta alguns de seus melhores alunos para montar um grupo que aplica cálculo mental e teoria das probabilidades nos jogos de cassino, trapaceando em Las Vegas. Filme “A grande aposta” Trailer: https://www.youtube. com/watch?v=R0aKP egDWHY A grande aposta O filme mostra os antecedentes e as consequências do colapso econômico mundial de 2008. No filme, quatro analistas, baseados em estatísticas e usando modelos de previsões, conseguem antever um colapso bancário e percebem a fragilidade do modelo usado pelas agências de risco até então. Filme “O homem que mudou o jogo” Trailer: https://www.youtube. com/watch?v=BumIYh0P1M O homem que mudou o jogo A história real de um técnico de baseball do time Oakland A's que contrata um estatístico para usar modelos matemáticos para mapear jogadores e desempenho. É mais um filme que mostra a importância da modelagem algébrica de problemas, utilizando a teoria das funções e conhecimentos de estatística.
