resolução do simulado _ 2 _ 2005 de matemática

COLÉGIO ANCHIETA-BA
SIMULADO DE MATEMÁTICA_2 - 2005 - UNIDADE IV
ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA
Questões de 01 a 08
Assinale as proposições verdadeiras some os valores correspondentes e marque os
resultados na Folha de Respostas.
Questão 01 - Um tanque cilíndrico, subterrâneo, de altura 5 m e diâmetro das bases
igual a 0,8m, conforme a figura, contém gasolina comum em quantidade igual à metade
do volume desse tanque.
Admitindo-se  = 3 pode-se afirmar:
01) O volume de gasolina no tanque é igual a 1200 litros.
02) O nível da gasolina está 1,60m abaixo do nível do terreno.
04) Se o tanque estivesse com seu eixo em posição vertical, o nível da gasolina estaria
2,50m acima de sua base inferior.
08) Antes de sua colocação o tanque foi totalmente pintado com tinta anti-ferrugem. A
área pintada é igual a 12,96m2.
16) O tanque que já contém gasolina comum ficará completamente cheio em 10 minutos
se nele for colocada gasolina pura à razão de 2 litros por segundo.
32) Se a porcentagem de álcool na gasolina comum é de 20%, com o enchimento total
com gasolina pura a porcentagem de álcool na nova mistura passa a ser de 15%.
RESOLUÇÃO:
01) Verdadeiro.
Gasolina contida no tanque:
1
3
2
  0,4  5   0,16  5  1,2m 3  1200dm 3  1200 litros .
2
2
02) Falso.
O nível da gasolina está a 1,40 m do nível do terreno.
04) Verdadeiro.
08) Verdadeiro.
230,4 5 + 2(0,4)2  3 = 24 + 0,96 = 12,96.
16) Verdadeiro.
O volume do tanque é de 2400 litros. Como já contém 1200 litros, para ficar cheio
totalmente são necessários mais 1200 litros = 60  10  2 litros.
32) Falso.
Como a porcentagem de álcool na gasolina comum é de 20%, e como os 1200 litros de
gasolina existentes no tanque é do tipo comum, a quantidade de álcool é de 0,21200
litros = 240 litros.
Colocando-se no tanque 1200 litros de gasolina pura a porcentagem de álcool na nova
240
10

 10% .
mistura passará a ser de
2400 100
Questão 02
Em Lógica é verdade que:
01) A implicação p, se (p  q)  p é verdadeira.
02) O
p  q argumento é inválido.
pq
p
04) Ser par é condição suficiente para um número ser múltiplo de 4.
08) Ser maior que 1 é condição necessária para um número real ser maior que zero.
16) x  A  B se, e somente se, x  A  B.
32) Em R+ x > y, somente se
x y.
RESOLUÇÃO:
01) Verdadeiro.
A implicação p, se (p  q)  p equivale a [(p  q)  p]  p.
Fazendo a tabela correspondente:
p
q
pq
(p  q)p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
[(p  q)p] 
p
V
V
V
V
02) Verdadeiro.
O
p  q argumento equivale à proposição composta: [(pq) (pq)]  p.
pq
p
Construindo a tabela:
p
q
pq
(p  q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
Assim
(pq)(p
q)
V
F
V
F
 : [(pq) (pq)] 
p.
V
F
V
F
p  q o argumento é inválido
pq
p
04) Falso.
Seja p: Um número é par.
q: Um número é múltiplo de 4.
p  q: Se um número é par, então ele é múltiplo de 4.
Contra exemplos: 2, 10, 22, etc.
08) Falso.
Seja p: Um número maior que zero.
q: Um número maior que 1.
p  q: Se um número é maior que zero, então ele é maior que 1
Contra exemplos: 0,2; 0,85; 0,976; etc.
16) Falso.
x  A  B se, e somente se, x  A  B.
A
A
B
B
x
x
x  A  B (V)
x  A  B (V)
Verdadeiro: Se x  A  B , x  A  B.
Contra exemplo:
x  A  B (V)
x  A  B. (F)
Falso: Se x  A  B, então x  A  B.
32) Verdadeiro.
Em R+ quando as raízes têm o mesmo índice e os radicandos x e y são tais que x > y,
então x  y , e se x  y então x > y.
Questão 03
 1 2 4


Considere o sistema S tal que AX = B, onde A =  2 3 a  , X =
 1 4 2


x
 
 y e B =
z
 
1
 
 3 .
b
 
01) S é determinado se a  0.
4  x  1 
1 2

  

02) S equivale ao sistema escalonado  0  1 a - 8   y  =  1 
 0 0 2a - 18   z   b  1

  

04) S é impossível, se a = 9.
08) S é indeterminado, se a = 9 e b = -1.
16)  y  R, (-3y, y, y+1) é solução geral de S, se S é indeterminado.
32) O sistema homogêneo AX = X admite a única solução (0, 0,0), se a  -10.
RESOLUÇÃO:
01) Falso.
S é determinado se
a  9.
02) Verdadeiro.
1 2 4
2 3 a  0  6 + 32 + 2a – 12 – 4a – 8  0  2a = 18 
1 4 2
 1 2 4  x   1 

    
S :  2 3 a   y  =  3  . Multiplicando a primeira linha por – 2 e depois por – 1 e
 1 4 2  z   b 

    
somando os resultados, respectivamente, à segunda e terceira linha, temos:
4  x  1 
1 2

   

a  0  1 a - 8   y  =  1  . Multiplicando a segunda linha por 2 e somando o resultado
 0 2 - 2   z   b - 1

   

4 
1 2


à terceira, temos:  0  1 a - 8 
 0 0 2a - 18 


x  1 

  
 y = 1  .
 z   b  1

  
04) Falso.
Para S ser impossível devemos ter: 2a – 18 = 0 e b + 1  0  a = 9 e b  - 1.
08) Verdadeiro.
Para S ser indeterminado devemos ter: 2a – 18 = 0 e b + 1 = 0  a = 9 e b = - 1.
16) Falso.
4 
1 2


Em  0  1 a - 8 
 0 0 2a - 18 


x  1 
1 2 4  x  1


    
  
 y  =  1  fazendo a = 9 e b = - 1:  0  1 1   y  =  1  .
0 0 0  z  0
 z   b  1


    
  
 y  z  1  z  y  1

Calculando x e z em função de y, temos: e
x  2y  4(y  1)  1  x  3  6y

Logo a solução do sistema é a terna: (-3 – 6y, y, y+1).
32) Verdadeiro.
 1 2 4  x   x 
0

    

O sistema homogêneo AX = X   2 3 a  ,  y  =  y    2
 1 4 2  z   z 
1

    

0 2 4
única solução (0, 0,0), se 2 2 a  0  32 + 2a – 8 –
1 4 1
2 4  x   0
   
2 a   y  =  0  admite a
4 1   z   0 
4  0  2a  -20 
a  -10
Questão 04
Dado o conjunto de algarismos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, é verdade que.
01) O número de seis algarismos distintos, terminados em zero, formados com os
algarismos de A, tendo 1, 2 e 3 sempre juntos é igual a 36.
02) Com os algarismos de.A podem ser formados 96 números com 4 algarismos
distintos, começados e terminados por algarismos ímpares.
04) O número de números pares com 4 algarismos distintos que podem ser formados
com os algarismos de A é igual a 156.
3
2
08) Se C n 1  C n 
10n
, então n  A.
3
0
1
2
n
16) Se C n  C n  C n  ....  C n  32 , então n  A.
RESOLUÇÃO:
01) Verdadeiro.
Como o zero está fixado na ordem das unidades e os algarismos 1, 2 e 3 devem
permanecer juntos em qualquer ordem, raciocinaremos, inicialmente como se tivéssemos
apenas 3 símbolos diferentes disputando as três ordens da esquerda, então, 3! = 6 e a
seguir multiplicaremos o resultado pelo número de permutações entre os algarismos 1, 2
e 3, por 3! = 6 .
123
123
0
0
3!  3! =36
02) Falso.
Impares
5
Impares
3
Para a ordem das unidades de milhar temos 3 possibilidades (1, 3 ou 5). Escolhido o
algarismo dessa ordem, o 5 por exemplo) restam 2 possibilidades par a ordem das
unidades simples ( o 1 ou o 3) . Escolhido o 3, por exemplo, para as outras duas ordens
restam os algarismos 0, 1, 2 ou 4, 4  3 = 12 possibilidades de preenchimento.
Total de números atendendo às condições estabelecidas: 3  2  12 = 72.
04) Verdadeiro.
Pensemos inicialmente nos números pares terminados em zero.
pares
0
Para a ordem das unidades de milhar temos 5 possibilidades (1, 2, 3, 4 ou 5). Escolhido o
algarismo dessa ordem, restam 4 possibilidades para a ordem das centenas, e 3 para a
ordem das dezenas.
Total de números terminados em zero: 5  4  3 = 60.

Pensemos agora nos números pares terminados em 2 ou 4.
pares
1
2
Para a ordem das unidades simples temos 2 possibilidades (2 ou 4 ). Escolhido o
algarismo 2 para essa ordem, restam 4 possibilidades ( 1, 3, 4 ou 5 ) para a ordem das
unidades de milhar, 4 possibilidades (0, 3, 4 ou 5 ) para as centenas, e 3 para a ordem
das dezenas.
Total de números terminados em 2 ou 4: 2  4  4  3 = 96.
O total de números pares é então: 60 + 96 = 156.
08) Falso.
3
2
Resolvendo a equação C n 1  C n 
10n
n  1n n  1  n n  1  10n 

3
3 2
2
3
n  1n  1  n  1  10  n 2  1  3n  3  20  n 2  3n  18  0  n  3 ou
6
2
3
n  6.
6  A.
16) Verdadeiro.
C 0n  C1n  C 2n  ....  C nn  2 n  2 n  32  n  5  A ,
Questão 05
Sobre gráficos de relações, é verdade que;
01) O gráfico da relação em R, (x – 2) (y + 1) = 0 é a união de duas retas paralelas.
02) Em R, o gráfico de x2 – 4  0 é uma faixa (região entre duas retas paralelas).
04) O gráfico do semiplano y  x + 1 contém o segmento de reta de extremidades
A = (-2, 2) e B = (0, 2).
08) A área do triângulo obtido pela interseção dos semiplanos y  0, y  x e y  -x + 2 é
igual a 1u.a.


16) O gráfico de F = (x, y)  R 2 ; (x - 1) 2  (y - 2) 2  0 possui apenas um ponto.

32) O gráfico de R  N é um conjunto de retas paralelas.
RESOLUÇÃO:
01) Falso.
O gráfico da relação em R, (x – 2) (y + 1) = 0 é a união de duas retas perpendiculares
y
x-2=0
0
x
y+1=0
02) Verdadeiro.
x2 – 4  0  (x – 2) (x + 2)  0
y
0
x
04) Verdadeiro.
y
A
B
0
08) Verdadeiro.
A intercessão das retas y = x e y = -x + 2 é o ponto (1,1).
x
y
(1,1)
0
2
x
A área do triângulo determinado pela interseção das três regiões é
2 1
1
2
16) Verdadeiro.
É a equação de uma circunferência de centro (1,2) e raio 0, logo seu gráfico é o ponto
(1,2).
y
0
x
32) Falso.


Na relação R  N , x  R
paralelas.
e y  N , então o seu gráfico é um conjunto de semi retas
Questão 06
O interior do quadrado ABCD tal que A = (0, 0) e B = (a, 0) está contido no 4o quadrante.
Sabendo que a área desse quadrado é igual a 16u.a. pode-se afirmar que:
01) a = 4.
02) O centro do círculo inscrito nesse quadrado é o ponto E = (2, -2)
04) A equação da reta suporte do segmento BD é y = 2x – 8.
08) A equação da reta simétrica da reta BD em relação à origem é y = x + 4.
16) O simétrico do quadrado ABCD em relação à 1 a bissetriz é o quadrado de vértices
A’ = (0, 0), B’ = (0,4), C’ = (-4, 4) e D’ = (-4, 0).
32) Os pontos do eixo dos x cujas distâncias ao centro E do quadrado são menores que
4, são tais que 2  3  x  2  3 .
RESOLUÇÃO:
01) Verdadeiro.
Se a área do quadrado é 16u.a. , então o seu lado mede 4 e então a = 4.
02) Verdadeiro.
O centro do círculo inscrito nesse quadrado é o ponto médio de suas diagonais que é o
40 04
,
ponto E = (2, -2), pois E = 
  (2,2) .
2 
 2
04) Falso.
A equação da reta suporte do segmento BD y = x – 4.
08) Verdadeiro.
A equação da reta simétrica da reta BD: y = x – 4 em relação à origem é -y = - x + 4 
y = x - 4.
16) Verdadeiro.
32) Verdadeiro.
Generalizemos os pontos do eixo dos x cujas distâncias ao centro E do quadrado são
menores que 4 como sendo (x,0) e determinemos a sua distância ao ponto E= (2,-2) de
acordo com a condição apresentada:
(x  2) 2  (0  2) 2  4 
0< (x  2) 2  (0  2) 2 < 16  x2 – 4x – 8 < 0.
As raízes do trinômio x2 – 4x – 8 são 2  3 e 2  3 . Estudando a variação do sinal
desse trinômio vemos que assume valores negativos para 2  3  x  2  3 .
Questão 07
 x  1, se  1  x  2
Considere a função f tal que: 
.
x  1, se 2  x  4
É verdade que:
01) f(f (0)+1) = 4
02) A imagem de f é o conjunto ] – 1, 2]  [3,5]
04) f é injetora.
08) f é sobrejetora.
16) Existe a função f -1.
32) f possui um único zero que é igual a 1.
64) f é uma função par.
RESOLUÇÃO:
y
5
3
2
-1
0
-1
1
2
4
x
01) Falso.
f(f (0)+1) = f(1+1) = 3
02) Verdadeiro.
Examinando o gráfico vemos que a imagem de f é o conjunto ] – 1, 2]  [3,5].
04) Verdadeiro.
f é injetora.
08) Falso.
O conjunto imagem ] – 1, 2]  [3,5] é diferente do contra domínio R.
16) Falso.
A função f não é bijetora, portanto não tem inversa.
32) Verdadeiro.
O gráfico da função f intercepta o eixo dos x em um único ponto, o de abscissa 1.
64) Falso.
f (-1) = 2  f (1) = 0 é uma função par.
Questão 08
Na figura, vemos os polígonos de freqüência das notas obtidas por alunos da turma A
(linha cheia) e da turma B (linha interrompida) numa prova de Matemática.
É verdade que:
01) O número de alunos da turma A é 60% superior ao número de alunos da turma B.
02) A freqüência relativa dos alunos da turma A que obtiveram nota 10 é de 20%.
04) A média das notas da turma B é 6.
08) A moda das notas da turma A é a nota 3.
16) A mediana das notas da turma A é a nota 8.
32) O desvio padrão da distribuição de freqüência da turma B é igual a
5.
RESOLUÇÃO:
01) Falso.
Número de alunos da turma A: 4+2+6+3 = 15.
Número de alunos da turma B: 2+4+3+1 = 10.
n(A) 15

 150%B  1,5B  B  50%B .
n(B) 10
02) Verdadeiro.
n(Alunos de A com nota 10) 3 1

  20% .
n(A)
15 5
04) Verdadeiro.
2  3  4  5  3  8  1  10 60

 6.
Ma =
2  4  3 1
10
08) Falso.
As notas da turma A: 3, 3, 3, 3, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 10.
A moda das notas da turma A é 8.
16) Verdadeiro.
As 15 notas da turma A dispostas em ordem crescente:
3, 3, 3, 3, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 10.
15  1
 8 , logo ela é a nota 8.
A nota mediana ocupa a posição de número:
2
32) Verdadeiro.
O
desvio
padrão
da
distribuição
de
freqüência
da
turma
26  3  46  5  36  8  16  10
18  4  12  16
50



2  4  3 1
10
10
2
2
2
B
2
5.
Questões 09 e 10.
Efetue os cálculos necessários e marque os resultados na folha de respostas.
Questão 09
Considere a função f definida em R tal que f (x – 2) = 2x + 4.
Calcule | a | sendo a a solução da equação f (a + 3) = f -1 (a).
RESOLUÇÃO:
Se f (x – 2) = 2x + 4  f(x) = 2(x+2)+4  f(x) = 2x + 8  f-1(x) =
x 8
2
é
igual
a
f (a + 3) = f
-1
(a)  2(a+3) + 8 =
a 8
a 8
.  2a + 14 =
 4a + 28 = a – 8 
2
2
3a = - 36. a = -12  |a| = 12.
Questão 10
Um dado não viciado é lançado 3 vezes.
Seja p a probabilidade dos resultados obtidos serem diferentes ou terem soma igual a
seis. Calcule o valor da expressão 54p.
RESOLUÇÃO:
O número n(E) do espaço amostral é L1  L2  L3 = 6  6  6 = 216.
O número de ocorrências diferentes: L1  L2  L3 = 6  5  4= 120.
Nas ocorrências com soma igual a 6 podemos ter: (1,1,4), (1,2,3), ( 2,2,2), logo o número
3!
total destas ocorrências é:  3!  1  3  6  1  10.
2!
Notemos que as ocorrências com os resultados 1, 2 e 3 ( em qualquer ordem) estão
contadas como resultados diferentes e como resultados com soma 6, logo o número do
evento dos resultados obtidos serem diferentes ou terem soma igual a seis é
120 + 10 – 6 = 124.
A probabilidade p =
 31 
54p = 54   31.
 54 
124 31

.
216 54