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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Aula 10 – Análise de Tensões
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Analisar as tensões principais;
 Verificar as tensões de cisalhamento
máximas;
 Reconhecer o Circulo de Mohr para
tensões.
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ANÁLISE DE TENSÕES PRINCIPAIS
• O estado geral de tensão é caracterizado por seis tensões
independentes (3 normais e 3 cisalhantes);
• O estado geral de tensão não é comum em engenharia;
• Engenheiros fazem simplificações e tornam este estado
em um plano de tensão, ou seja, um único plano e com
três componentes (2 normais e 1 cisalhante).
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ESTADO GERAL DE TENSÃO
z
yz
xz
xy
y
x
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL
y
xy
•
z = 0;
•
yz = 0;
•
xz = 0.
xy
x
x
xy
xy
y
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL
Na prática da engenharia, muitas vezes é importante
determinar a orientação dos planos para encontrar
situações particulares (tensões máxima e mínima).
As tensões normais e as tensões de cisalhamento variam
continuamente quando os eixos são rotacionados através
do ângulo q, nos planos em que as tensões agem. Observe
a figura a seguir.
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO
y
y’
xy
x'
x'y’
xy
q
x
x
xy
y'
x'
xy
x'y’
y
x x’
y y’
xy  x’y’
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO - EXPRESSÕES
Abaixo temos as relações que fazem as transformações
x x’
 x' 
 y' 
 x  y
2
 x  y
2
 x' y'  


y y’
 x  y
2
 x  y
 x  y
2
2
xy  x’y’
. cos(2q )   xy .sen(2q )
. cos( 2q )   xy .sen(2q )
.sen(2q )   xy . cos( 2q )
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo
elemento da figura. Determine o estado de tensão no ponto
em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em
relação à posição mostrada.
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
50 MPa
25 MPa
80 MPa
q   300
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
Da figura e observando a convenção de sinais temos que:
x= - 80 Mpa; y= + 50 Mpa ; xy = - 25 Mpa e
 x' 
 x  y
2

 x  y
2
q = - 30º
. cos(2q )   xy .sen(2q )
 80  50  80  50
 x' 

. cos( 60º )  25.sen(60º )
2
2
 x '  15  65.(1 / 2)  25.( 3 2 )  25,8MPa
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
 y' 
 x  y
2

 x  y
2
. cos( 2q )   xy .sen(2q )
 80  50  80  50
 y' 

. cos( 60º )  (25).sen(60º )
2
2
 y '  15  65.(1 / 2)  25.( 3 2 )  4,15MPa
 x' y'  
 x' y'
 x  y
.sen(2q )   xy . cos( 2q )
2
 80  50

.sen(60º )  25. cos( 60º )  68,8MPa
2
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO
Para determinarmos tais valores devemos derivar a seguinte
equação e igualar a zero:
 x' 
Assim,
 x  y
2

 x  y
2
. cos(2q )   xy .sen(2q )
 x  y
d x '
 2.
.sen(2q )  2 xy . cos( 2q )  0
dq
2
2. xy
tg (2q p ) 
( x   y )
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO
Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q
 qp1 e q  qp2) onde as tensões normais são máxima e
mínima. Fazendo as substituições devidas, teremos:
 1, 2 
 x  y
2
 (
 x  y
2
) 2  ( xy ) 2
Dependendo do sinal utilizado, determinaremos o valor
máximo ou mínimo.
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO
Para determinarmos este valor devemos derivar a seguinte
equação e igualar a zero:
 x' y'  
Assim,
d x ' y '
dq
 x  y
2
 2.
.sen(2q )   xy . cos( 2q )
 x  y
2
. cos( 2q )  2 xy .sen(2q )  0
tg (2q p ) 
 ( x   y )
2. xy
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO
Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q
 qp1 e q  qp2) onde a tensão cisalhante é máxima. Os planos
para tal condição são aqueles rotacionados de 45º em
relação aos planos de tensão principal.
 máxima  (
 x  y
2
) 2  ( xy ) 2
Neste plano, ocorre uma tensão normal denominada média e
dada por:
 média 
 x  y
2
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Suponha que uma torção T seja aplicada a uma barra e
produza um estado de cisalhamento puro no material.
Determine:
a) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão
média associada;
b) As tensões principais.
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
• x = y= 0 e xy= -
 máxima  (

 x  y
2
) 2  ( xy ) 2
00 2
 máxima  (
)  ( ) 2   
2
 x  y
 média 
2
00
 média 
0
2
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
• x = y= 0 e xy= 
2
2. xy
2.
tg (2q p ) 

( x   y ) 0  0
q  450
q p1  45º e q p 2  135º
 x' 
1
 x  y
2

 x  y
2
. cos(2q )   xy .sen(2q )
 2   e  1  
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
2. xy
2.
tg (2q p ) 

 q p1  45º e q p 2  135º
( x   y ) 0  0
•
Substituindo 45º e 135º
 x '   e  y '  
2= - 
q  450
1= 
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES.
Neste tópico, é possível mostrar que as equações para
transformação da tensão no plano têm uma solução
gráfica que muitas vezes é mais conveniente.
Além disso, essa abordagem nos permite “visualizar” qual
será a variação das componentes de tensão normal e
tensão de cisalhamento, à medida que o plano em que
agem é orientado em diferentes direções.
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES.
A partir das equações:
 x' 
 x  y
2

 x  y
2
. cos(2q )   xy .sen(2q )
 x' y'  
 x  y
2
.sen(2q )   xy . cos( 2q )
É possível escrever que:
[ x '  (
 x  y
2
)]  
2
2
x' y'
(
 x  y
2
) 2   xy2
( x '   médio ) 2   x2' y '  R 2
R (
 x  y
2
) 2   xy2
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES.
(x – y)/2
()
C
xy
R
médio
A
()
x
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
Devido a carga aplicada a um cilindro maciço um ponto A
fica submentido ao estado de tensão abaixo. Desenhe o
círculo de Mohr.
12 MPa
6 MPa
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
Pela convenção: x = -12 MPa; y= 0 e xy= -6MPa
• Centro do círculo: X C  (
 x  y
2
• Ponto inicial A:
X A  6 MPa 
 x  y
YA   xy  6MPa
• Raio R:
R (
2
 12
 6 
 12 MPa
2
 x  y
2
)  6MPa
) 2   xy2  8,49MPa
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
12
A
R
6
2qp

C
6

ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:




As tensões principais;
As tensões de cisalhamento máximas;
O círculo de Mohr para tensões;
Aplicações.
ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10