md1-10 - DECOM-UFOP

BCC101 – Matemática Discreta
Demonstração de Teoremas
Prova por contradição
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Mais estratégias de prova
 Teorema: Sejam a e b números inteiros.
Então a2 – 4b ≠ 2.
 Quais são as hipóteses?
 Qual é a conclusão?
 Que estratégia podemos usar para provar o
teorema?
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Prova por contradição
 Suponha que queremos provar uma
conclusão C.
A idéia de uma prova por contradição é
supor que a conclusão a ser provada é
falsa, isto é, supor ¬C, e mostrar que
essa suposição nos leva a uma
contradição.
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Prova por contradição
 Teorema: se a,b ∈ Z então a2-4b≠2
Prova: Suponha, por contradição, que a2-4b=2.
Então
a2 = 2+4b = 2(1+2b), ou seja a2 é par
Portanto, a é par, ou seja, a = 2k, p/ algum k∈ Z.
Substituindo a por 2k na equação acima:
(2k)2 = 2(1+2b) => 4k2 = 2 (1+2b)
Dividindo ambos os lados por 2:
2k2 = 1+2b => 1 = 2b – 2k2 = 2(b-k2)
Como b,k ∈ Z, isso significa que 1 é par- absurdo!
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Portanto a2-4b≠2.
Prova por contradição – outro exemplo
Um número real x é racional se x=a/b,
para algum a∈Z e b∈Z, b≠0
x é irracional, se ele não é racional.
Teorema: √2 é um número irracional
 Quais são as hipóteses?
 Qual é a conclusão?
 Que estratégia podemos usar para provar o
teorema?
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Teorema: √2 é um número irracional
Prova: Suponha, por contradição, que √2 é racional,
isto é, √2 =a/b, para a,b∈Z, b≠0.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que a e
b são primos entre si -- mdc(a,b)=1.
Temos:
(a/b)2=(√2)2=2 ⇒ a2=2b2, ou seja a2 é par
Portanto, a é par, i.e., a=2k, para algum k∈Z.
Então
b2=a2/2=(2k)2/2=2k2, ou seja, b2 é par
Portanto, b é par.
Mas isso contradiz o fato de que a e b são primos
entre si. Portanto, concluimos que √2 é irracional
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Prova por contradição - outro exemplo
Teorema: O conjunto dos números primos
é infinito.
 Quais são as hipóteses?
 Qual é a conclusão?
 Como pode ser expressa a negação dessa
conclusão?
 Como podemos obter uma contradição, a
partir da negação da conclusão?
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Exercícios
Prove que a soma de um número racional
e um número irracional é um número
irracional.
Sejam a e b inteiros. Então 18a+6b≠1
Prove que log23 é irracional.
Seja A um conjunto. Prove que A∩ = 
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Erros em Provas
O que está errado com a seguinte prova de que
1=2 ?
A prova consiste dos passos a seguir, onde a e b
são dois inteiros iguais
Passos
Justificativa
1. a = b
Hipótese
2. a2 = ab
Multiplicando (1) por a
3. a2 −b2 =ab−b2
Subtraindo b2 em (2)
4. (a−b)(a+b)=b(a−b) Fatorando os 2 lados de (3)
5. a+b=b
Dividindo (4) por a − b
6. 2b = b
Subst. a por b em (5), pois a = b
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7. 2=1
Dividindo (6) por b